자연계 문제 1-A  채점기준

▶출제의도

본 문제는 현실에서 직면하는 다양한 의사결정 상황을 해결하기 위해 수학적 모형을 작성하여 그 해를 구함으로써 최적의 의사결정을 도모하는 방법인 수리계획법(Mathematical Programming)에 관한 것이다. 본 문제를 해결하기 위해서는 먼저 결정하고자 하는 변수를 정의하고, 정의된 변수를 사용하여 최대화하고자 하는 목적함수(총판매액)를 구한다. 또한 문제에서 주어진 제약조건을 부등식의 영역으로 나타내고, 주어진 제약조건 하에서 총판매액을 최대화하는 변수 값을 구한다.

▶예시답안

(1) 총판매액([eqn: z])을 [eqn: x]와 [eqn: y]의 함수로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: z`=`f(x,`y)`=`10,000`x`+`20,000`y]

원료 사용량에 따른 제약조건을 부등식으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: 0.1`x ^{2`} +`0.2`y ^{2} ` LEQ 30], [eqn: x GEQ 0,`y GEQ 0]

이를 [eqn: xy]-좌표평면 상에 도해하면 다음 그림과 같다.

[eqn: 10 sqrt {3}]

[eqn: 5 sqrt {6}]

(2) 아래의 그림으로부터 총판매액 [eqn: z]가 최대가 되도록 하는 [eqn: (x _{0} ,``y _{0} )] 값은 직선 [eqn: 10,000`x`+`][eqn: `20,000`y`=`k]가 타원과 접할 때이다. 이때 타원의 접선의 기울기와 직선의 기울기([eqn: =-0.5])가 같아지므로 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: 10 sqrt {3}]

[eqn: 5 sqrt {6}]

[eqn: `10,000`x`+`20,000`y`=`k]

[eqn: (x _{0} ,``y _{0} )]

타원 위의 점 [eqn: (x _{0} ,``y _{0} )]에서 접선의 기울기를 구하기 위해 음함수 미분법을 이용하면

[eqn: 2 TIMES 0.1x`+`2 TIMES 0.2y` {dy} over {dx} =0`]

[eqn: {dy} over {dx} `=`- {x} over {2y}]

이다. 따라서 점 [eqn: (x _{0} ,``y _{0} )]에서 접선의 기울기는 [eqn: - {x _{0}} over {2y _{0}} `]가 되고 이 값이 [eqn: -0.5]이므로 [eqn: x _{0} `=`y _{0}]가 된다. 이를 [eqn: x _{0} ^{2} +2y _{0} ^{2} =300]과 연립하여 풀면 [eqn: x _{0} =y _{0} =10]이다. ([eqn: x _{0} GEQ 0,`y _{0} GEQ 0]이어야 하므로) 즉 제품 A를 10kg, 제품 B를 10kg 생산할 때 총판매액이 최대가 되며, 이때 총판매액은 300,000원이다.

자연계 문제 1-B 채점기준

▶출제의도

본 문제는 조건부 확률의 개념을 이해하여 논제의 상황에 맞는 수식을 도출하고, 행렬을 이용하여 이를 해결하는 능력을 평가하는데 그 목적이 있다. 본 논제를 해결하기 위해서는 주어진 조건부 확률로부터 상태 변화의 확률을 행렬로 표현하고, 이 행렬을 이용하여 현재의 어떤 상태로부터 미래의 상태변화를 수리적으로 모형화하여 정확히 계산하는 능력이 필요하다.

▶예시답안

(1) 어느 날의 일과시간과 일과시간 이후 상태의 변화와 이에 대응하는 확률을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

일과 시작시                 일과 종료시              다음날 일과 시작시

0.2

0.5

1

2

1

1

2

2

0.8

1

0.5

1

[eqn: p _{11} `=`0.8` TIMES `1`+`0.2` TIMES `0.5`=`0.9],	[eqn: p _{12} `=`1` TIMES `0.5``=`0.5],

[eqn: p _{21} `=`0.2` TIMES `0.5`=`0.1],	[eqn: p _{22} `=`1`times`0.5`=`0.5].

그러므로 [eqn: P`=` {bmatrix{0.9&````0.5#0.1&````0.5}}]이다.

(2) 어느 날 정상 상태에 있는 장비가 이틀 후 정상 상태에 있기 위해서는 일과 시작시 장비의 상태 변화 과정이 다음의 두 가지 경우가 가능하다.

① 정상 ==> 정상 ==> 정상

② 정상 ==> 고장 ==> 정상

①의 확률은 [eqn: 0.9 TIMES 0.9=0.81]이고, ②의 확률은 [eqn: 0.1 TIMES 0.5=0.05]이므로 이 둘을 합하여 정상 작동하는 장비의 비율을 구하면 86%이다.

※ 행렬의 연산을 이용한 풀이 방법

(2) 어느 날 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율을 [eqn: p _{1}], 고장 상태인 장비의 비율을 [eqn: p _{2}]라 하면

다음 날 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율: [eqn: q _{1} =`p _{11} ` TIMES ``p _{1} `+`p _{12} ` TIMES `p _{2}]

다음 날 일과 시작시 고장 상태인 장비의 비율: [eqn: q _{2} `=`p _{21} ` TIMES ``p _{1} `+`p _{22} ` TIMES `p _{2}]

이를 행렬로 표현하면 [eqn: {bmatrix{q _{1}#q _{2}}} `=` {bmatrix{p _{11}&`````p _{12}#p _{21}&`````p _{22}}} ` {bmatrix{p _{1}#p _{2}}}]이 된다. 마찬가지로 이틀 후 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율과 고장 상태인 장비의 비율은

[eqn: {bmatrix{p _{11}&`````p _{12}#p _{21}&`````p _{22}}} ` {bmatrix{q _{1}#q _{2}}} `=` {bmatrix{p _{11}&`````p _{12}#p _{21}&`````p _{22}}} {bmatrix{p _{11}&`````p _{12}#p _{21}&`````p _{22}}} {bmatrix{p _{1}#p _{2}}}]

이다. [eqn: {bmatrix{0.9&````0.5#0.1&````0.5}} {bmatrix{0.9&````0.5#0.1&````0.5}} {bmatrix{1#0}} `=` {bmatrix{0.86#0.14}}]이므로 정상 작동하는 장비는 전체의 86%이다.

(3) 어느 날 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율을 [eqn: p _{1}], 고장 상태인 장비의 비율을 [eqn: p _{2}]라 하면

다음 날 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율: [eqn: q _{1} =`p _{11} ` TIMES ``p _{1} `+`p _{12} ` TIMES `p _{2}]

다음 날 일과 시작시 고장 상태인 장비의 비율: [eqn: q _{2} `=`p _{21} ` TIMES ``p _{1} `+`p _{22} ` TIMES `p _{2}]

매일 일과 시작시 [eqn: p _{1}], [eqn: p _{2}]의 값이 동일하게 유지되므로 [eqn: p _{1} =q _{1}], [eqn: p _{2} `=`q _{2}]이다.

따라서 [eqn: p _{1} =0.9p _{1} +0.5p _{2}], [eqn: p _{2} =0.1p _{1} +0.5p _{2}]이다. 여기서 정상 및 고장 상태인 장비의 비율의 합은 1이므로 [eqn: p _{1} `+`p _{2} `=`1]이다. 이를 이용하여 [eqn: p _{1}]을 구하면 [eqn: p _{1} `=` {5} over {6} `]이므로 정상 작동하는 장비는 전체의 [eqn: {500} over {6} %`(약``83.33%)]이다.

※ 행렬의 연산을 이용한 풀이 방법

(3) 매일 일과 시작시마다 정상 작동하는 장비의 비율을 [eqn: p _{1}], 고장 상태인 장비의 비율을 [eqn: p _{2}]라 하자. [eqn: p _{1}], [eqn: p _{2}]의 값이 동일하게 유지되므로 [eqn: p _{1}], [eqn: p _{2}]는

[eqn: {bmatrix{p _{1}#p _{2}}} `=` {bmatrix{p _{11}&`````p _{12}#p _{21}&`````p _{22}}} ` {bmatrix{p _{1}#p _{2}}}]

을 만족해야 한다. 따라서

[eqn: {bmatrix{p _{1}#p _{2}}} `=` {bmatrix{0.9&````0.5#0.1&````0.5}} {bmatrix{p _{1}#p _{2}}}]과 [eqn: p _{1} `+`p _{2} `=`1] (정상 및 고장 상태인 장비의 비율의 합은 1이므로)

을 연립하여 [eqn: p _{1}]을 구하면 [eqn: p _{1} `=` {5} over {6} `]이므로 정상 작동하는 장비는 전체의 [eqn: {500} over {6} %`(약``83.33%)]이다.

자연계 문제 2-A 채점기준

▶출제의도

본 문제는 주어진 상관관계를 이해하여 최종적으로 얻고자 하는 비례관계를 도출하는 능력을 평가하는데 그 목적이 있다. 본 논제를 해결하기 위해서는 과학적인 관측값을 수학적인 관계식으로 해석하고 계산하는 능력이 필요하다.

▶예시답안

(1) 동물의 몸을 높이 [eqn: h]와 지름 [eqn: d]인 원통으로 생각하면, (부피)는 [eqn: hd ^{2}]에 비례한다. 부피증가와 체중증가는 동일하므로, (체중)은 [eqn: hd ^{2}]에 비례한다. 다양한 종의 나무들을 분석한 결과는 높이 [eqn: h]가 [eqn: d ^{2/3}]에 비례하였으며, 이를 영장류 동물에 적용한다면 (체중)은 [eqn: d ^{8/3}]에 비례한다. 즉, 지름 [eqn: d]는 (체중)3/8에 비례한다. 몸통둘레는 [eqn: d]에 비례하므로, 몸통둘레는 (체중)3/8에 비례하여 증가한다. 따라서 논제의 [eqn: x]는 3/8이 되어야 한다.

(2)

(2-1) 천체표면의 중력이 질량에 비례하고 중심으로부터의 거리의 제곱에 반비례하므로 다음 관계식을 쓸 수 있다.

[eqn: {W _{X}} over {W _{E}} = {M _{X} /r _{X} ^{2}} over {M _{E} /r _{E} ^{2}} == {M _{X}} over {M _{E}} LEFT ( {r _{E}} over {r _{X}} RIGHT ) ^{2} =16 CDOT 4 ^{2} =256]

즉, 행성 X 표면에서의 중력은 지구 표면에서의 중력의 256배이다.

(2-2) 행성 X 표면에서는 동물의 체중이 지구 표면에서보다 256배 크다고 할 수 있다. 즉, 체중이 256배 늘어나면 몸통둘레는 (1)의 결과에 따라서 (256)3/8 = (28)3/8 = 8배 늘어나게 된다. 뼈의 굵기가 몸통 둘레에 비례한다면, 뼈의 굵기도 8배 늘어나게 된다.

자연계 문제 2-B 채점기준

▶출제의도

본 논제에서는 입자의 크기가 다양한 분포로 존재할 때 평균값을 정의하고 측정하는 방법을 제시하고 있다. 본 논제의 해결을 위해서는 평균지름 [eqn: bar{D _{2}}]의 정의를 물리적으로 측정하는 무게로 변환하고, 정확히 계산하는 능력이 필요하다. 본 문제는 과학적 측정법을 논리적으로 파악하고 수학적으로 표현하는 능력을 평가하는데 그 목적이 있다.

▶예시답안

논제의 입자는 구형이며 밀도가 균일하기 때문에, 평균지름 [eqn: bar{D _{2}}]의 정의를 물리적으로 측정하는 무게를 포함하게 변환하면 다음과 같다.

[eqn: bar{D _{2}} ``= {sum _{i=1} ^{n} (N _{i} D _{i} ^{3} )} over {sum _{i=1} ^{n} N _{i} D _{i} ^{2}} ``= {sum _{i=1} ^{n} 6M _{i} /( pi rho )} over {sum _{i=1} ^{n} 6M _{i} /( pi rho D _{i} )} `=` {sum _{i=1} ^{n} M _{i}} over {sum _{i=1} ^{n} M _{i} /D _{i}}]

크기범위 (μm)	크기 범위의 중간값, Di (μm)	세분된 분말의 무게, Mi (g)	Mi/Di (g/μm)
850-550	700	28	0.04
550-450	500	30	0.06
450-150	300	33	0.11
150-50	100	29	0.29

∑Mi = 120 g 이고, ∑(Mi/Di) = 0.50 g/μm 이다.

따라서, 평균지름 [eqn: bar{D _{2}}]는 240 μm이다.