2013학년도 숭실대학교 모의 논술고사(자연계)

※ 주의사항(인문, 경상, 자연 공통사항)

① 답안지에 제목과 소제목을 달지 마시오.

② 답안지에 자신을 드러내는 표현을 쓰지 마시오.

③ 제시문의 문장을 직접 인용할 경우에는 인용 표시(“  ”)를 하시오.

④ 제시문의 문장을 직접 인용하는 경우 외에는 본문의 일부를 그대로 옮겨 쓰지 마시오.

⑤ 연필 또는 흑색필기구만 사용하여 답안을 작성하시오(그 이외 색필기구는 부정행위에 해당).

문제 1-A  다음 논제에 답하시오. (20점)

어떤 기업에서 두 가지 제품 A, B를 생산하고 있다. A와 B를 만드는데 공통의 원료가 사용되며, A 제품을 [eqn: q] kg 생산하는데 이 원료가 [eqn: 0.1q ^{2}] kg 사용되며, B 제품을 [eqn: q] kg 생산하는데 이 원료가 [eqn: 0.2q ^{2}] kg 사용된다. 제조공정의 특성상 이 두 제품은 여러 번 나누어서 생산할 수 없으며, 한 번의 공정으로 전량 생산해야 한다. 두 제품을 생산하는데 이 원료를 최대 30 kg까지 사용할 수 있으며, A와 B의 kg 당 판매가는 각각 10,000원, 20,000원이다. 이러한 상황에서 총판매액을 최대화하기 위한 각 제품의 생산량을 결정하고자 한다.

(1) A의 생산량을 [eqn: x], B의 생산량을 [eqn: y]로 정의(단, [eqn: x GEQ 0,`y GEQ 0])할 경우 총판매액([eqn: z])을 [eqn: x,``y]의 함수로 나타내시오. 또 원료 사용량에 따른 제약조건을 부등식으로 나타내고, 이를 [eqn: xy]-좌표평면 상의 영역으로 도해하시오.

(2) 총판매액을 최대화하는 A와 B의 생산량을 구하시오. 이 때 총판매액은 얼마인지 구하시오.

문제 1-B  다음 논제에 답하시오. (30점)

[eqn: {bmatrix{eqalign{p _{11}# }&eqalign{````````````````````````````````````````p _{12}# }#p _{21}&````````````````````````````````````````p _{22}}}]어떤 공장에서 사용하고 있는 기계장비는 매일 일과시간 사용 중 20%에서 고장이 발생한다. 하루의 일과를 마친 후 장비의 상태를 점검하여 고장이 발생한 장비 (이전에 고장이 난 장비를 포함) 가운데 50%의 수리를 그날 마친다. 매일 일과를 시작할 때 정상적으로 작동하는 장비의 비율에 대한 변화를 조사하기 위해 다음의 [eqn: 2` TIMES `2] 행렬 [eqn: P]를 이용하고자 한다. 일과를 시작할 때의 장비 상태를 정상은 1, 고장은 2로 나타내고, 행렬 [eqn: P]의 [eqn: (i,``j)]-원소 [eqn: p _{ij}] (여기서 [eqn: i,`j`]= 1 또는 2)는 어느 날 일과 시작시 [eqn: j] 상태에 있던 장비가 그다음 날 일과 시작시 [eqn: i] 상태에 있을 확률로 정의한다. 예를 들어 [eqn: p _{21}]은 어느 날 일과 시작시 정상(1) 상태에 있던 장비가 그다음 날 일과 시작시 고장(2) 상태에 있을 확률이다.

정상(1)

고장(2)

정상(1)

고장(2)

어느 날

그다음 날

(1) 행렬 [eqn: P]를 구하시오.

(2) 어느 날 일과 시작시 모든 장비가 정상 작동하고 있다면, 이로부터 이틀 후 일과 시작시 정상 작동하는 장비는 전체의 몇 %인지 구하시오.

(3) 매일 일과 시작시마다 정상 작동하는 장비의 비율이 동일하게 유지된다면, 정상 작동하는 장비는 전체의 몇 %인지 구하시오.

문제 2-A  다음 논제에 답하시오. (30점)

(1) 다음은 동물의 크기와 무게를 측정한 연구결과이다.

Stahl과 Gummerson은 타마린, 긴꼬리원숭이, 비비 등과 같은 영장류 동물의 몸통 둘레를 측정하여 체중과의 상관관계를 도출하였다. 약 0.2~30 kg 사이의 다양한 개체들을 측정한 결과 (체중)x 에 비례하여 몸통둘레가 증가한다는 것을 확인하였다.

다음 설명들을 이용하여 위의 [eqn: x]값을 유추하되 그 과정을 단계별로 보이시오.

(가) 동물의 몸은 높이 [eqn: h]와 지름 [eqn: d]인 원통으로 생각할 수 있다.

(나) 부피와 체중은 비례하다고 생각할 수 있다.

(다) McMahon은 높이가 약 2~100 m 사이인 다양한 종의 나무 576 그루의 높이(height)와 밑동 지름(diameter)에 대한 분포도를 오른쪽 그림과 같이 보인 바 있다. 그림은 가로축을 지름의 로그, 세로축을 높이의 로그로 하여 데이터들을 점으로 찍은 것인데, 점들은 거의 일직선상에 놓였고 그 기울기가 2/3이었다. 이 결과를 영장류 동물에도 적용할 수 있다고 가정한다.

	질량 (kg)	반지름 (m)
지구	6.0 × 1024	6.4 × 103
행성 X	9.6 × 1025	1.6 × 103

(2) 지구와 행성 X의 질량과 반지름이 오른쪽 표와 같다.

(2-1) 천체 표면에서의 중력은 천체의 질량에 비례하고 중심으로부터의 거리의 제곱에 반비례한다. 행성 X 표면에서의 중력은 지구 표면에서의 중력의 몇 배인지 표에 나온 값을 이용하여 계산하시오.

(2-2) 동물의 뼈의 굵기가 몸통 둘레에 비례한다고 가정하자. 이 때, 만약 지구상의 동물이 행성 X의 표면에서 산다면 뼈의 굵기가 몇 배 늘어나야 될지 (1)의 결과를 이용하여 유추해 보시오.

문제 2-B  다음 논제에 답하시오. (20점)

동물이나 나무와 같이 큰 물체의 크기를 잴 때는 개별측정이 쉽지만 수많은 작은 입자들이 있는 경우에는 그 각각의 크기를 모두 측정하는 것은 현실적으로 불가능하다. 이때는 다양한 기기분석을 이용할 수 있는데, 흔한 방법들 중 하나는 다양한 크기의 구멍을 지니는 체를 이용하는 것이다. 아래 사진과 같이 구멍의 크기가 작은 체가 밑으로 오도록 여러 체를 쌓은 후 전체 분말을 제일 위에 놓고 오랫동안 흔들어 주면, 개별 입자는 자신의 크기보다 구멍이 작은 체와 큰 체 사이에 놓이게 된다. 이렇게 세분된 분말들의 무게를 측정하면 평균 입자크기를 계산할 수 있다.

위에서 설명한 방법으로 내부밀도가 균일하고 크기가 다양한 구형의 분말을 분리했다. 850 μm보다 큰 입자를 거르는 체는 모두 통과했지만, 50 μm보다 큰 입자를 거르는 체는 어느 것도 지나지 못했다. 이 두 체 사이에는 550, 450, 150 μm로 크기를 제한하는 세 가지 체가 있었으며, 아래의 표처럼 입자가 분리되었다. 입자의 지름을 표에 나온 크기 범위의 중간값으로 추정하여 [eqn: D _{i} `], 이에 해당되는 입자 개수를 [eqn: N _{i} `], 표면적을 [eqn: S _{i} `]라 쓰자. [eqn: i]는 1부터 [eqn: n]까지의 입자분류 범위를 표시하고, 다음 표의 경우 [eqn: n]은 4이다. 총표면적([eqn: N _{i} S _{i}])으로 가중치를 준 평균지름 [eqn: bar{D _{2}}]는 다음의 식으로 주어지는데, 표에 있는 정보를 활용하여 [eqn: bar{D _{2}}]를 구하시오.

[eqn: bar{D _{2}} ``= {sum _{i=1} ^{n} (N _{i} S _{i} D _{i} )} over {sum _{i=1} ^{n} (N _{i} S _{i} )} = {sum _{i=1} ^{n} (N _{i} pi D _{i} ^{2} D _{i} )} over {sum _{i=1} ^{n} (N _{i} pi D _{i} ^{2} )} = {sum _{i=1} ^{n} (N _{i} D _{i} ^{3} )} over {sum _{i=1} ^{n} (N _{i} D _{i} ^{2} )} ``]

크기 범위 (μm)	세분된 분말의 무게 (g)
550 ~ 850	28
450 ~ 550	30
150 ~ 450	33
50 ~ 150	29