	2018학년도 서울시립대학교 자연계열 모의 논술고사 해설

[문제 1] (100점)

좌표평면에서 점 [eqn: rm `A(-2,`0)]을 지나는 직선이 원 [eqn: (x-1)^2 +y^2 =1]과 제1사분면의 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 점 중에서 점 [eqn: rmA]에 가까운 점을 [eqn: rm P]라 하자. [eqn: ANGLE rm PAO= theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0 ^{+}} {{{bar{rm AP it}} -2} over {theta ^{2}}}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rm`O]는 원점이다.)

[예시답안]

그림과 같이 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하고, [eqn: ANGLE rm PO prime H= alpha] 라 하자. (단, [eqn: rm O'(1,``0)]이다.)

이제 [eqn: bar{rmAP} =x]라 하자. 그러면 두 직각삼각형 [eqn: rm PAH]와 [eqn: rm PHO']으로부터 [eqn: bar{rm PH} `=` x sin`theta `=` sin` alpha]이고 [eqn: bar{rm AO'} `=` x cos ` theta + cos` alpha]인데, [eqn: bar{rm AO'}=3]이므로

[eqn: 1 `=` cos^2`alpha + sin^2`alpha`=` (3-x cos` theta)^2 + (x sin`theta)^2]

이다. 그리고 이차방정식 [eqn: x^2 - 6 cos` theta`x + 8=0]을 풀면

[eqn: x = 3 cos `theta +- sqrt{ 9 cos^2` theta - 8 }]

이다. 그런데 직선은 원과 두 점에서 만나야 하므로 [eqn: theta]의 값은 직선이 원에 접할 때의 각 보다 작아야 한다. 원의 반지름이 [eqn: 1]이고 [eqn: bar{rm AO'} = 3]이므로

[eqn: {2sqrt2} over 3 < cos` theta < 1]

이다. 따라서 [eqn: 9cos ^{2} ` theta -8>0]이고, [eqn: lim _{theta ` -> `0 ^{+}}` x =2]이므로 [eqn: x = 3 cos `theta - sqrt{ 9 cos^2` theta - 8 }]이다. 그러므로

[eqn: lim _{theta ` -> `0 ^{+}} {} {x-2} over {theta ^{2}} `=` lim _{theta ` -> `0 ^{+}} {} {(3cos` theta -2)- sqrt {9cos ^{2} ` theta -8}} over {theta ^{2}} `=` lim _{theta ` -> `0 ^{+}} {} {12(1-cos` theta )} over {theta ^{2} left((3cos` theta -2)+ sqrt {9cos ^{2} ` theta -8} right)}]

이고, [eqn: lim _{theta ` -> `0 ^{+}} { 1- cos`theta } over {theta ^{2}} `= ` lim _{theta ` -> `0 ^{+}} { 1- cos^2`theta } over {theta ^{2} (1+ cos` theta)} ` =` lim _{theta ` -> `0 ^{+}} { sin^2`theta } over {theta ^{2} (1+ cos` theta)} = 1 over 2], [eqn: ` lim _{theta ` -> `0 ^{+}} {} {12} over { left((3cos` theta -2)+ sqrt {9cos ^{2} ` theta -8} right)} =6]이므로

[eqn: lim _{theta ` -> `0 ^{+}} {{x} -2} over {theta ^{2}}}` =` 3]

이다.

[문제 2] (100점)

한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정사각형 [eqn: \ABCD]를 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 3]인 사각뿔 [eqn: \V-ABCD]에서 밑면의 중심을 [eqn: \O]라 하고, 삼각형 [eqn: rm VAB], [eqn: \VBC]의 무게중심을 각각 [eqn: \P], [eqn: \Q]라 하자. 꼭짓점 [eqn: \V]의 밑면 위로의 정사영이 선분 [eqn: \AC]에 있다고 할 때, [eqn: cos( ANGLE rm POQ)]의 최솟값을 구하여라.

[예시답안]

[eqn: \A(-3, ``-3,``0)], [eqn: \B(3,``-3,``0)], [eqn: \C(3,``3,``0)], [eqn: \D(-3,``3,``0)]이고, 꼭짓점 [eqn: \V]의 [eqn: z]좌표가 [eqn: 3]이 되도록 좌표축을 정하자. 그러면 [eqn: \O(0,``0,``0)]이고, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm C]를 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=x], [eqn: z=0]이므로 [eqn: {\V}(3x,``3x, ``3)] ([eqn: |x| le 1])로 나타낼 수 있다. 한편, [eqn: {\P}(x,``x-2,``1)], [eqn: {\Q}(x+2,``x, ``1)]이므로 [eqn: {\ {{vec{OP}} BULLET {vec{OQ}}}} ``= 2x^2 +1]이다. 그리고 [eqn: LEFT | {vec{rmOP}} RIGHT | ``= sqrt {2x ^{2} -4x+5}], [eqn: left|{vec{rm OQ}}} right|``= root{2x^2 +4x+5 }]이므로 내적의 정의에 의해

[eqn: cos( ANGLE {rm POQ)} ``= {2x^2 +1 } over { root{2x^2 -4x+5} ``root{2x^2 +4x+5}}]

이고, [eqn: cos( ANGLE rm POQ)>0] 이다.

이제 [eqn: t= 4x^4 +4x^2 +25]라 하면 [eqn: |x| le 1]이므로 [eqn: 25le t le 33]이고

[eqn: left( {2x^2 +1 } over { root{2x^2 -4x+5} ``root{2x^2 +4x+5}} right)^2 = {4x^4 +4x^2 +1 } over {4x^4 +4x^2 +25} = 1- 24 over t]

이다. 따라서 [eqn: left( {2x^2 +1 } over { root{2x^2 -4x+5} ``root{2x^2 +4x+5}} right)^2]의 최솟값이 [eqn: 1 over 25]이므로 [eqn: cos( ANGLE \POQ)]의 최솟값은 [eqn: 1 over 5]이다.

[문제 3] (100점)

흰 공과 빨간 공이 각각 [eqn: 1]개씩 들어 있는 주머니가 있다. 세 명의 학생 A, B, C가 A, B, C 순서로 주머니에서 [eqn: 1]개의 공을 임의로 꺼내고, 공을 꺼낼 때마다 바로 공 [eqn: 1]개를 다시 채워 넣는다. 이때 A, B, C가 채워 넣는 공이 빨간색일 확률은 [eqn: p]이고, 흰색일 확률은 [eqn: 1-p]이다.

(a) B가 공을 채워 넣은 후 주머니에 흰 공과 빨간 공이 각각 1개일 확률을 구하여라. (50점)

(b) C가 꺼낸 공이 빨간 공일 확률을 구하여라. (50점)

[예시답안]

(a) A가 공을 채워 넣은 후 주머니에 빨간 공이 2개일 확률은, 흰 공을 꺼내고 빨간 공을 넣어야 하므로 [eqn: p over 2]이고,

흰 공과 빨간 공이 각각 1개일 확률은, 빨간 공을 꺼내고 빨간 공을 넣거나 흰 공을 꺼내고 흰 공을 넣어야 하므로 [eqn: p over 2 + 1-p over 2 = 1 over 2]이며, 흰 공이 2개일 확률은 빨간 공을 꺼내고 흰 공을 넣어야 하므로 [eqn: 1-p over 2]이다.

B가 공을 채워 넣은 후 주머니에 흰 공과 빨간 공이 각각 1개인 경우는, A가 공을 채워 넣은 후 주머니에 있는 흰 공의 개수 [eqn: n]에 따라 다음의 3가지 경우가 있다.

(i) [eqn: n=0]인 경우: 흰 공을 넣어야 하므로 확률은 [eqn: p over 2 cdot(1-p)]이다.

(ii) [eqn: n=1]일 경우: 빨간 공을 꺼내고 빨간 공을 넣거나, 흰 공을 꺼내고 흰 공을 넣어야 하므로 확률은

[eqn: {1} over {2} cdot LEFT{ {1} over {2} CDOT p+ {1} over {2} CDOT (1-p)right}= {1} over {4}]이다.

(iii) [eqn: n=2]일 경우: 빨간 공을 넣어야 하므로 확률은 [eqn: 1-p over 2 cdot p]이다.

따라서 구하는 값은 [eqn: 1 over4 + p(1-p)]이다.

(b) 같은 방법으로 B가 공을 채워 넣은 후 주머니에 빨간 공이 2개일 확률은 [eqn: p over 2 cdot p + 1 over 2 cdot 1 over2 cdot p = p over 4 + p^2 over 2]이다.

따라서 구하는 값은 [eqn: 1 over 2 cdot left{1 over4 + p(1-p) right} + p over 4 + p^2 over 2 = 1 over 8 + 3p over 4]이다.

[문제 4] (100점)

자연수 [eqn: n]과 세 함수

[eqn: f(x)`=`x``2 ^{`x}],       [eqn: g(x)`=`x`-`[`x`]],      [eqn: h(x)`=` {cases{````` {x} over {n} `````````(x GEQ 0)#````-x``````(x<0)}}]

에 대하여, 합성함수 [eqn: y`=`g CIRC f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y`=`h(x)]의 그래프와의 교점의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자. (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

(a) 필요하면 [eqn: lim_{x -> -infty} `x`2^x = 0]을 이용해서, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형을 그려라. (40점)

(b) [eqn: sum _{k=1} ^{n} ``a _{k+1}^2 over{a_k a_{k+2}}]을 구하여라. (60점)

[예시답안]

(a) [eqn: f` prime (x) `=` 2^x` (1``+``x``ln`2)]이고 [eqn: f` prime prime (x) `=` 2^x` (2``+``x``ln`2) ln 2]이다. 따라서 [eqn: x`=`- {1}over{ln 2}]일 때 [eqn: f'(x)=0]이고 [eqn: f left( - 1 over{ln2} right)`=` - 1 over {ln 2}`` 2^{- 1 over {ln 2}} `=` - 1 over {` 2^{ {log_2 e}} ``ln 2 } = - 1 over{e ln2}] 이므로, 함수 [eqn: f`(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -`2 over {ln `2}]	[eqn: cdots]	[eqn: -`1 over {ln `2}]	[eqn: cdots]	0	[eqn: cdots]
[eqn: f`prime(x)]	-	-	-	0	+	1	+
[eqn: f`prime prime (x)]	-	0	+	+	+	+	+
[eqn: f`(x)]	□	[eqn: -` {2} over {e^2`` ln`2}]	□	[eqn: -` {1} over {e`` ln`2}]	□	0	□

그런데 [eqn: 2 < e < 4]이므로 [eqn: 1<log_{`2}``e = 1 over {ln`2} < 2]이고 [eqn: 0< {1} over {e ln`2} <1]이다. 또한[eqn: lim _{x```` -> ```- INF } {} f(x) `=` 0]이고 [eqn: lim _{x```` -> ``` INF } {} f(x)`=` INF]이므로, 함수 [eqn: y=f(`x)]의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

(b) 고정된 정수 [eqn: k]에 대해서 어떤 구간에 포함되는 모든 [eqn: x]가 [eqn: k le f`(x) < k+1]을 만족시키면

[eqn: g circ f`(x) = f`(x) ``- ``[`f`(x)`] = f`(x) ``-`` k]

이므로, 주어진 그 구간에서 [eqn: y`=`g CIRC f(x)]의 그래프는 [eqn: y`=` f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축으로 [eqn: -k]만큼 평행이동한 그래프와 같다. 따라서 함수 [eqn: y`=`g CIRC f(x)]의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

(i) [eqn: x < 0]일 때, [eqn: g CIRC f`(x)=f`(x)``+``1]이므로 [eqn: x < 0]에서 [eqn: y`=`g CIRC f(x)]의 그래프와 [eqn: y`=` -x]의 그래프와의 교점의 개수는 1이다.

(ii) [eqn: x ge 0]일 때, [eqn: f`(0)=0], [eqn: f`(n)=n``2 ^{`n}], [eqn: f'(0)=1]이므로 [eqn: x ge 0]에서 [eqn: y`=`g CIRC f(x)]의 그래프와 [eqn: y = x over n]의 그래프와의 교점의 개수는 [eqn: f`(n)-1`=`n``2 ^{`n} -1] 이다.

따라서 [eqn: a _{n} =n`2 ^{`n}] 이므로

[eqn: sum_{k=1}^n ` a_{k+1}^2 over{ a_k a_{k+2}} = sum_{k=1}^n ` {(k+1)}^2 over{ k (k+2)} = sum_{k=1}^n left(1 + 1 over{k(k+2)} right) = n + 1 over 2 sum_{k=1}^n left( 1 over k - 1 over{ k+2} } right) = 3 over 4 + n - {2n+3} over {2(n+1)(n+2)}]

이다.