	2017학년도 서울시립대학교 모의 논술고사 해설 (자연계열)

[문제 1] (총 100점)

자연수 [eqn: n]에 대하여 연립부등식

[eqn: cases{``` ``` 0<x<10n # ````x ^{2} -14nx+48n ^{2} `>`0 # ``` sin`{pi`x}over{4n} `- ` cos`{pi`x}over{4n} ` < ` 1 }]

을 만족하는 [eqn: x]의 집합을 [eqn: S_n]이라 하고, 다음 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: (p,`q)]의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자.

[eqn: p], [eqn: q], [eqn: {p+q} over 2]는 모두 집합 [eqn: S_n]에 속하는 서로 다른 자연수이다.

(a) 일반항 [eqn: a_n]을 구하여라. (70점)

(b) [eqn: sum_{k=2}^{n} `` {k^2 - k } over { a_k a_{k+1} - 2a_k - 2a_{k+1} + 4 }]의 값을 구하여라. (30점)

[예시답안]

(a) 삼각함수의 덧셈정리에 의해

[eqn: sin`{pi`x}over{4n} `- ``cos`{pi`x}over{4n} ``=`` sqrt 2` sin` left( {pi`x}over{4n} - pi over 4 right) `<` 1]

이므로 [eqn: 0 <x < 10n]의 범위에서 이를 풀면

[eqn: 0 < x < 2n] 또는 [eqn: 4n < x < 10n]

이다. 또한 [eqn: 0 <x < 10n]의 범위에서 [eqn: x ^{2} -14nx+48n ^{2} = (x - 6n)(x-8n) > 0]의 해는

[eqn: 0 < x < 6n] 또는 [eqn: 8n < x < 10n]

이다. 따라서

[eqn: S_n = (0, ``2n) cup (4n,`` 6n) cup (8n,`` 10n)]

이다.

순서쌍 [eqn: (p,``q)]가 문제의 조건을 만족하면, [eqn: p]와 [eqn: q]가 모두 홀수 혹은 모두 짝수이고, 또한 다음의 두 가지 경우 중 하나이다.

(i) [eqn: p]와 [eqn: q]가 모두 [eqn: (0,``2n)] 또는 [eqn: (4n,``6n)] 또는 [eqn: (8n,``10n)]에 포함되는 경우

(ii) [eqn: p in (0,``2n)]이고 [eqn: q in (8n,``10n)] 또는 [eqn: p in (8n,``10n)]이고 [eqn: q in (0,``2n)]인 경우

한편 [eqn: (0,``2n)], [eqn: (4n,``6n)], [eqn: (8n,``10n)]에는 각각 [eqn: n]개의 홀수와 [eqn: n-1]개의 짝수가 있다.

따라서 (i)인 경우 순서쌍 [eqn: (p,``q)]의 개수는 각 세 집합에서 동시에 두 홀수를 선택하거나 혹은 동시에 두 짝수를 선택하는 경우의 수인데 [eqn: p<q]와 [eqn: p > q] 두 가지 경우가 있으므로 전체 경우의 수는

[eqn: 2 cdot 3 cdot (`` _n{\C}_2 + _{n-1}{\C}_2 `` )]

이다.

(ii)인 경우 순서쌍 [eqn: (p,``q)]의 개수는 [eqn: p in (0,``2n)]이고 [eqn: q in (8n,``10n)]인 경우 동시에 홀수 혹은 짝수를 선택하는 경우의 수와 [eqn: p in (8n,``10n)]이고 [eqn: q in (0,``2n)]인 경우 동시에 홀수 혹은 짝수를 선택하는 경우의 수의 합이므로 전체 경우의 수는

[eqn: 2 cdot ( n^2 + (n-1)^2 )]

이다. 그러므로

[eqn: a_n ``=`` 3left{ n(n-1) + (n-1)(n-2) right} + 2 left{n^2 + (n-1)^2 right} ``= `` 10n^2 - 16n + 8]

이다.

(b) 자연수 [eqn: k]에 대해서 [eqn: a_k -2 `=` 2(5k-3)(k-1)]이므로

[eqn: a_k a_{k+1} - 2 a_{k} -2 a_{k+1} + 4 `=` (a_{k} -2 )(a_{k+1} -2 ) `=` 4 (5k-3 ) (k-1) (5k+2 ) k]

이다. 따라서 문제의 식은

[eqn: sum _{k=2} ^{n} `` {k ^{2} -k} over {a _{k} a _{k+1} -2a _{k} -2a _{k+1} +4} &` `=`` {1} over {4} sum _{k=2} ^{n} `` {1} over {(5k-3)(5k+2)} # &``=`` 1 over 20 sum_{k=2}^n left( 1 over{5k-3} - 1 over {5k+2} right) # &``=`` 1 over 20 left( 1over7 - 1 over {5n+2} right) # &``=`` n-1 over {28(5n+2)}]

이다.

[문제 2] (총 100점)

좌표평면 위에 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] [eqn: (a>b>0)]이 주어져 있다. 원점 [eqn: \O]와 타원 위의 점 [eqn: \A]에 대하여 벡터 [eqn: vec {\OA}]와 수직이고 원점을 지나는 직선이 주어진 타원과 만나는 점을 [eqn: \B,`C]라 하자.  [eqn: k `=` vec{\AB} `` BULLET vec{\AC} `]라 할 때 다음 물음에 답하여라.

(a) [eqn: k = 0]이 되는 점 [eqn: \A]를 구하여라. (60점)

(b) [eqn: k]의 최솟값과 최댓값을 구하여라. (40점)

[예시답안]

[eqn: {vec{\AB}} `` BULLET {vec{\AC}} & `=( {vec{\OB}} - {vec{\OA}} ) BULLET ( {vec{\OC}} - {vec{\OA}} ) #&= {vec{\OA}} ` BULLET {vec{\OA}} - {vec{\OA}} BULLET ( {vec{\OB}} `+` {vec{\OC}} )`+ {vec{\OB}} BULLET {vec{\OC}} #&=|` {vec{\OA}} `| ^{2} -| {vec{\OB}} `| ^{2}]

이므로 [eqn: k=|` {vec{\OA}} `| ^{2} -| {vec{\OB}} `| ^{2}]이다.

(a) [eqn: k=0]에서  [eqn: {bar{\OA}} = ` {bar{\OB}}]이므로 타원의 대칭성으로부터 점 [eqn: \A]와 점 [eqn: \B]는 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축 대칭이다.

따라서 점 [eqn: \A]와 점 [eqn: \B]는 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축 대칭이고, 직선 [eqn: {{\OA}}]와 직선 [eqn: {{\OB}}]가 서로 수직이므로 직선 [eqn: {{\OA}}]와 직선 [eqn: {{\OB}}]의 기울기 중 하나는 [eqn: 1]이고 다른 하나는 [eqn: -1]이다. 그러므로 점 [eqn: \A]는 주어진 타원과 직선 [eqn: y=x]의 교점인  [eqn: left( {ab} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} ,`` {ab} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} right)], [eqn: left( -{ab} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} ,`` -{ab} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} right)] 또는 주어진 타원과 직선 [eqn: y=-x]의 교점인 [eqn: left( {ab} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} ,`` -{ab} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} right)], [eqn: left( -{ab} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} ,`` {ab} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} right)]이다.

(b) [eqn: k]가 최대가 되려면 [eqn: |` {vec{\OA}} `|]의 길이가 최대이고, [eqn: | {vec{\OB}} `|]의 길이가 최소가 되며 두 벡터가 수직이어야 한다.

점 [eqn: \A]가 장축에 있고 점 [eqn: \B]가 단축에 있을 때, 조건을 만족하며 최댓값 [eqn: a ^{2} -b ^{2}]을 가진다. 같은 이유로 점 [eqn: \A]가 단축에 있고 점 [eqn: \B]가 장축에 있을 때, 조건을 만족하며 최솟값은 [eqn: b ^{2} -a ^{2}]을 가진다.

[문제 3] (총 100점)

함수 [eqn: f(x)`=`x ^{3} `+`ax ^{2} `+`bx``]와 [eqn: g(x)`=`9x`]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(a) 곡선 [eqn: y`=`f(x)``]와 직선 [eqn: y`=`g(x)`]가 [eqn: x = c``][eqn: (c`>`0)]에서 접할 때, [eqn: LEFT | {b} over {a+c} RIGHT |]의 최솟값을 구하여라. (40점)

(b) 곡선 [eqn: y`=`f(x)``]와 직선 [eqn: y`=`g(x)`]으로 둘러싸인 두 영역의 넓이가 같고 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0], [eqn: alpha], [eqn: beta][eqn: `(`0`<` alpha `<` beta )]일 때 [eqn: {beta } over {alpha }]의 값을 구하여라. (60점)

[예시답안]

(a) (총 40점)

함수 [eqn: h(x)`=`f(x)`-g(x)``]라 하면 [eqn: h(x)`=`x ^{3} `+ax ^{2} +`bx`-`9x`=`x(x ^{2} +ax+b-9)``=`x(x-c) ^{2}]이다.

곡선 [eqn: y`=`f(x)``]와 직선 [eqn: y`=`g(x)`]가 [eqn: x = c``][eqn: (c`>`0)]에서 접하므로 [eqn: a`=`-2c]이고 [eqn: b`=`c ^{2} `+9]이다.

따라서 [eqn: LEFT | {b} over {a+c} RIGHT |]는 다음과 같다.

[eqn: LEFT | {b} over {a+c} RIGHT | `=` LEFT | {c ^{2} +9} over {-2c`+`c} RIGHT | `=` LEFT | c+` {9} over {c} RIGHT | GEQ 2 sqrt {c` CDOT {9} over {c}} ``=`2 sqrt {9} =6]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: a=-6], [eqn: b=18], [eqn: c=3]일 때 [eqn: 6]이다.

(b) (총 60점)

함수 [eqn: h(x)`=`f(x)`-g(x)``]라 하면, [eqn: h(x)`=`x ^{3} `+ax ^{2} +`bx`-`9x`=`x(x- alpha )(x- beta )``]이다.

삼차함수와 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이가 같으므로 다음 식이 성립한다.

[eqn: int _{0} ^{alpha } {h(x)dx} ``= int _{alpha } ^{beta } {-h(x)dx.} `]

[eqn: int _{0} ^{alpha } {h(x)dx`+ int _{alpha } ^{beta } {h(x)dx`=` int _{0} ^{beta } {h(x)dx`=`0`.```} ``} ``}]

함수 [eqn: h(x)]의 한 부정적분 함수를 [eqn: H(x)]라 하자.

[eqn: H(x)`=` {1} over {4} x ^{4} `-` {1} over {3} ( alpha + beta )x ^{3} `+` {1} over {2} alpha beta x ^{2} .]

그러면 다음이 성립한다.

[eqn: int _{0} ^{beta } {h(x)dx`=`[H(x)] _{0} ^{beta }} ``=`H( beta )`-`H(0)`=`0.]

따라서 [eqn: H( beta )`=`H(0)`=`0.]

[eqn: H( beta )`=` {1} over {4} beta ^{`4} `-` {1} over {3} ( alpha + beta ) beta ^{`3} `+` {1} over {2} alpha beta ^{`3} `=` {1} over {12} beta ^{`3} LEFT{ 3 beta `-`4( alpha + beta )+6 alpha RIGHT }`= {1} over {12} beta ^{`3} `(`2 alpha `-` beta )`=`0.`]

여기서 [eqn: {1} over {12} beta ^{`3} ` != 0] 이므로 [eqn: beta `=`2 alpha]이다. 따라서 [eqn: {beta} over {alpha} `=` {2 alpha} over {alpha } `=`2]이다.

[문제 4] (총 100점)

[eqn: 0<x< {pi } over {2}]에서 부등식 [eqn: (1+sin`x) ^{1+cos``x} >(1+cos`x) ^{1+sin`x}]을 만족하는 [eqn: x]의 범위를 구하여라.

[예시답안]

[eqn: X=1+sin`x], [eqn: Y=1+cos`x]라고 하자. [eqn: 0<x< {pi } over {2}]이므로 [eqn: 1<X`<2<e]이고 [eqn: Y]의 범위도 [eqn: 1<Y<e]이다.

주어진 부등식은 [eqn: X ^{Y} >Y ^{X}]가 된다.

함수 [eqn: y=lnx]가 증가함수이므로 이 부등식의 양변에 자연로그를 취하여도 부등호의 방향은 변하지 않는다.

그러므로 주어진 부등식은

[eqn: Y`lnX>X`lnY]

와 동치이다.

[eqn: X>1]이고 [eqn: Y>1]이므로 위 부등식을 [eqn: XY]로 나누어도 부등호의 방향은 변하지 않는다. 그러므로 주어진 부등식은

[eqn: {ln`X} over {X} > {ln`Y} over {Y}]	(1)

와 동치이다.

이 부등식을 풀기 위하여 다음과 같은 함수를 생각하자.

[eqn: f(x)= {lnx} over {x} ``(x>1)]

이 때, 부등식 (1)은

[eqn: f(X)>f(Y)]	(2)

와 같다.

[eqn: f(x)]를 미분하면

[eqn: f prime (x)= {1-ln`x} over {x ^{2}}]

이다. [eqn: 1<x<e]에서 [eqn: f'(x)>0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: 1<x<e]에서 증가한다.

그러므로 주어진 [eqn: X], [eqn: Y]의 범위에서([eqn: 1<X<e], [eqn: 1<Y<e]) 부등식 (2)는 [eqn: X>Y]와 동치이다

[eqn: 0<x< {pi } over {2}]에서 부등식 [eqn: X=1+sin`x>Y=1+cos`x]을 풀면 구하는 범위는 [eqn: {pi } over {4} <x< {pi } over {2}]이다.