	2012학년도 서울시립대학교 자연계열 모의 논술고사 해설

Ⅰ. 모의 논술고사 문제

[문제 1]

중심 [eqn: P]가 [eqn: (0`,`r)]이고 반지름 [eqn: r]인 원과 [eqn: y`=`4`-x ^{2}]인 곡선이 아래의 그림과 같이 두 점 [eqn: A]와 [eqn: B]에서  접하고 있다. 이때 다음 물음에 답하시오.

(a) 반지름 [eqn: r]과 두 점 [eqn: A]와 [eqn: B`]를 구하시오. (10점)

(b) 두 점 [eqn: A]와 [eqn: B]에서의 접선의 방정식을 각각 구하시오. (4점)

(c) 각 [eqn: ANGLE APB]의 값을 [eqn: alpha `]라디안이라 할 때, [eqn: tan` alpha ``]의 값을 구하시오. (6점)

(d) 각 [eqn: ANGLE APB]의 값을 [eqn: alpha `]라디안이라 할 때, 빗금친 면적을 구하시오. (10점)

[문제 2]
윷놀이에서 사용하는 막대기의 단면은 반원과 유사한 모양을 하고 있다. 평면 위에서 막대기의 평평한 면이 위로 향하면 ‘배’라 하고, 둥근 면이 위로 향하면 ‘등’이라 한다. 네 개의 막대기를 던져서 배가 한 개만 나오면 ‘도’, 배가 두 개만 나오면 ‘개’, 배가 정확히 세 개 나오면 ‘걸’, 네 개 모두 배가 나오면 ‘윷’, 네 개 모두 등이 나오면 ‘모’라 한다. 각각의 막대기에서 배가 나올 확률은 [eqn: p]로 일정하다. 이때 다음 물음에 답하시오.

(a) 확률 [eqn: p]가 [eqn: {1} over {2}]일 때, 도, 개, 걸, 윷, 모가 나올 확률을 각각 구하시오. (10점)

(b) 확률 [eqn: p]를 사용하여 도, 개, 걸, 윷, 모가 나올 확률을 각각 구하시오. 확률 [eqn: p]의 값을 잘

선택하면, 도, 개, 걸, 윷, 모 차례로 나올 확률이 점차 작아지거나 같게 만들 수 있는 지

판단해 보시오. (10점)

(c) 걸이 나올 확률이 가장 높고, 개, 도, 윷, 모 순서로 나올 확률이 점차 작아지거나 같게

나오도록 하기 위한 확률 [eqn: p]의 값의 범위를 구하시오. (단, [eqn: {root {3} of {4}} over {1+ root {3} of {4}}][eqn: =0.614]로 계산한다) (10점)

[문제 3]
매질의 굴절율 [eqn: n]은 자유공간 내 빛의 속도 [eqn: c]와 매질 내 빛의 속도 [eqn: v] 사이의 비로 다음과 같이 정의된다.   [eqn: n= {c} over {v}]

이러한 굴절율이 각각 [eqn: n _{1}]과 [eqn: n _{2}]인 서로 다른 두 매질이 아래 그림 (a)와 같이 맞닿아 있을 때  빛의 경로는 매질마다 빛의 속도가 다르므로 휘게 된다.  이때 빛이 휜 정도는 아래 그림 (a)와 같이 경계면에 수직인 선을 기준으로 [eqn: theta _{1}]과 [eqn: theta _{2}]를 정의하게 되면 스넬의 법칙에 의해 다음과 같이 정의된다.

[eqn: {sin theta _{1}} over {sin theta _{2}} = {n _{2}} over {n _{1}}]

(a)                                           (b)

(a) 스넬의 법칙을 활용하여 매질 1([eqn: n _{1}])에서 입사한 빛이 매질 2([eqn: n _{2}])로 굴절되지 않고 매질 1로 전반사(total reflection)되기 위해서는 굴절율 [eqn: n _{1}]과 [eqn: n _{2}]는 어떠한 관계를 만족해야 하는지 기술하고, 그 근거를 제시하시오. (10점)

(b) 빛의 전반사가 일어나기 시작하는 입사각([eqn: theta _{1}])인 임계각([eqn: theta _{c}])을 구해보시오. (10점)

(c) 이러한 빛의 전반사 현상을 이용하게 되면 초고속 유선 인터넷망을 구현하는 데에 널리 사용되고 있는 광섬유를 제작할 수 있다.  일반적으로 광섬유는 광원에서 발생한 빛을 효율적으로 전달하는 역할을 수행한다. 그림 (b)와 같이 굴절율이 1인 공기 중에서 발생한 빛을 굴절율이 [eqn: n _{g}]인 원통형 유리막대로 제작된 광섬유를 통해 전달하기 위해서 입사각 [eqn: theta _{1}]은 어떠한 조건을 만족해야 하는지 굴절율을 이용하여 나타내 보시오. (20점)

[문제 4]

화합물은 원자들의 결합을 통하여 구성된다. 이러한 화합물을 표기하는 방법 중 가장 간단한

방법은 화학식을 이용하는 것이다. 따라서 새로운 화합물을 합성했을 때, 그 물질의 화학식을

알아내고 표현할 수 있는 것은 매우 중요한 일이다.

탄소(C), 수소(H), 질소(N)로 구성되어 있는 새로운 화합물을 만들었다고 가정하자. 이 새로운 화합물 0.12g을 산소와 반응시켰더니 0.16g의 CO2와 0.17g의 H2O가 생성되었다. 단, 새로운 화합물에 포함되어 있는 탄소와 수소는 모두 산소와 반응하여 생성물로 변화되었다고 가정하자. (질량과 몰의 계산결과는 소수 둘째자리까지만 유효숫자로 표현하도록 한다.)

(a) 새로운 화합물을 구성하고 있는 탄소, 수소, 질소의 질량을 각각 구하시오. (15점)

(b) 새로운 화합물을 구성하는 탄소, 수소, 질소의 몰 비율을 구하시오. (15점)

(c) 새로운 화합물의 실험식을 결정하시오. (5점)

(d) 화학식의 종류 중 실험식과 분자식의 차이점을 설명하시오. 만약, 새로운 화합물의

분자식을 결정할 수 있다면 분자식을 적고, 불가능하다면 그 이유를 설명하시오. (5점)

[문제 5] 다음 제시문을 읽고 아래의 물음에 답하시오.

[가] 1901년 오스트리아 과학자 란트슈타이너에 의해 발견된 ABO식 혈액형 판정에 의하면, 사람의 혈액형은 A, B, AB, O형으로 나눠진다. 혈액을 헤파린이라는 항응고제가 들어있는 튜브에 채취한 뒤 원심분리하면 적혈구와 혈장을 분리할 수 있다. 적혈구의 막표면에는 다양한 형태의 당사슬이 존재하고, 이것이 ABO식 혈액형을 결정하게 된다. 19번 염색체상에 존재하는 H 대립유전자는 푸코실전달효소를 암호화하여, 적혈구 막표면 단백질 또는 세라미드에 푸코오스, 갈락토오스, N-아세틸글루코사민 당사슬이 붙어있는 H 항원을 만든다. 9번 염색체상에 존재하는 A, B, O 대립유전자중, A 대립유전자는 H 항원의 갈락토오스에 N-아세틸갈락토사민을 결합시키는 글리코실전달효소를 암호화하여 A 항원을 만들게 되고, B 대립유전자는 H 항원의 갈락토오스에 또 다른 갈락토오스를 결합시키는 글리코실전달효소를 암호화하여 B 항원을 만들게 된다. O 대립유전자는 A 대립유전자의 돌연변이에 의한 것으로, 효소를 만들지 못하여 H 항원을 변형시키지 않는다. 즉, H 항원은 A 항원과 B 항원의 전구체라고 할 수 있으며, A형인 사람의 적혈구 막표면에는 A 항원이, B형의 경우에는 B 항원이, AB형의 경우에는 A, B 항원 모두가, O형의 경우에는 변형되지 않은 H 항원만 존재한다.

[나] 아주 드물기는 하지만, H 대립유전자에 돌연변이가 일어나서 H 항원이 만들어지지 않게 될 수도 있다. 이것은 열성형질(hh)로써 인도의 봄베이 지역에서 처음 발견되었기 때문에 봄베이 혈액형이라고도 한다. 즉, A 대립유전자 또는 B 대립유전자를 갖고 있더라도, H 항원이 없기 때문에, A 항원과 B 항원을 만들지 못하여, O형과 같은 표현형이 된다. ABO식 혈액형 판정법에서는 항 A 혈청(B형 표준 혈청)과 항 B 혈청(A형 표준 혈청)만을 이용하기 때문에, O형과 봄베이 혈액형을 구분해 낼 수가 없다.

(a) 철수의 혈액형은 B형이고, 영희는 본인의 혈액형을 모른다. 철수와 영희는 보건소에서 각자

혈액을 헤파린이 들어있는 튜브에 채취하여 원심분리한 뒤, 침전물과 상등액을 얻었다.

상등액은 조심스럽게 새 튜브로 옮긴 후, 각각 X와 Y라고 명명하였다. 침전물은 생리식염수로

조심스럽게 세척한 후, 다시 원심분리하여 상등액을 제거하였다. 이러한 세척과정을 한 번 더

반복하고 나서, 침전물에 생리식염수를 적당량 가한 후, 각각 X'과 Y'이라고 명명하였다.

	철수	영희
상등액	X	Y
침전물	X'	Y'

X 튜브와 Y' 튜브에서 취한 액체를 슬라이드 글라스 상에서 섞어주었을 경우, 응집 반응이

일어났고, X' 튜브와 Y 튜브에서 취한 액체를 슬라이드 글라스 상에서 섞어주었을 경우, 응집

반응이 일어나지 않았다면, 이 결과로부터 영희의 혈액형을 판정할 수 있는지 여부와 판정할 수

없다면 그 이유를 밝히고, 판정할 수 있다면 그 이유와 영희의 혈액형을 밝히시오. (20점)

(b) ABO식 혈액형 판정법에 의해 O형 판정을 받은 부와 B형 판정을 받은 모에서 태어난 아이의

혈액형이 A형이라는 판정이 나왔다. H 항원, A 항원, B 항원의 유전자형을 이용하여, 어떻게

이 아이의 혈액형이 A형이 될 수 있는지를 설명하시오. (10점)

(c) 봄베이 혈액형을 가진 사람은 봄베이 혈액형을 가진 사람으로부터만 수혈을 받을 수 있고,

일반적인 A형, B형, O형을 가진 사람들로부터는 수혈을 받을 수 없다. 그 이유를 설명하시오.

단, Rh식 혈액형은 일치한다고 가정하자. (10점)

Ⅱ. 모의 논술고사 문제 해설

[문제 1]

1. 출제 의도

- 미분 및 적분에 대한 이해도

- 삼각함수에 대한 이해도

2. 예시 답안 및 채점 기준

(a) (총 10점)

원의 방정식은 [eqn: x ^{2} `+`(y`-`r) ^{2} ``=`r ^{2}]이고 [eqn: y`=4`-x ^{2}] 과 접하고 있으므로 다음의 식이 성립한다.

[eqn: {cases{x ^{2} `+`(y-r) ^{2} ``-`r ^{2} `=`0#x ^{2} ``+`y`-`4`=`0}}][eqn: LRARROW] [eqn: {cases{x ^{2} `=2ry`-`y ^{2}#x ^{2} ``=4-y}}] [eqn: LRARROW] [eqn: 2ry`-`y ^{2} `=`4-`y] [eqn: LRARROW] [eqn: `y ^{2} `-`(2r+1)y`+`4`=`0]

여기서, [eqn: `y ^{2} `-`(2r+1)y`+`4`=`0].

따라서 접하므로 이식은 완전제곱식이 된다. 따라서 [eqn: r`=` {3} over {2}]이고, [eqn: y`=`2]이다.   (5점)

이 값을 가지고 [eqn: x]를 구하면 [eqn: x`=`± sqrt {2}]가 된다.

따라서 [eqn: A`=`(- sqrt {2`} ,`2)`,```B`=( sqrt {2} ,`2)]가 된다.                                 (5점)

(다른 방법)

접하고 있으므로 접하는 두 점 [eqn: A]와 [eqn: B]에서의 접선의 기울기가 같으므로 다음식이 성립한다.

원의 접선의 기울기 : [eqn: 2x+2(y-r)y prime =0``` LRARROW ``y'``=`- {x} over {(y-r)}]

곡선의 접선의 기울기 :  [eqn: y`'``=`-2x]

따라서, [eqn: - {x} over {(y-r)} `=`-2x``` LRARROW ```x` LEFT ( 2`-` {1} over {(y-r)} RIGHT ) `=`0``` LRARROW ``y`=`r`+` {1} over {2} `]

[eqn: y`=`r+ {1} over {2}]를 [eqn: `y ^{2} `-`(2r+1)y`+`4`=`0]에 대입하면 [eqn: r`=` {3} over {2}]이고 [eqn: y`=`2]이다.           (5점)

따라서 [eqn: A`=`(- sqrt {2`} ,`2)`,```B`=( sqrt {2} ,`2)]가 된다.                                 (5점)

(b) (총 4점)

두 점은 [eqn: A`=`(- sqrt {2`} ,`2)`,```B`=( sqrt {2} ,`2)] 이고 [eqn: y`'``=`-2x]이다.

따라서 [eqn: A]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -2 sqrt {2}]이므로 접선은 다음과 같다.

[eqn: y`-`2`=`-2 sqrt {2} `(`x`+` sqrt {2} `)```` LRARROW ````y`=-2 sqrt {2} `x`+`6`]                         (2점)

또한 [eqn: B]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2 sqrt {2}]이므로 접선은 다음과 같다.

[eqn: y`-`2`=`2 sqrt {2} `(`x`-` sqrt {2} `)```` LRARROW ````y`=2 sqrt {2} `x`+`6`]                            (2점)

(c) (총 6점)

[eqn: ANGLE APB]의 값을 [eqn: alpha]이라 하면, [eqn: cos` LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT ) `=` {1} over {3}] 이고 [eqn: tan` LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT ) `=`2 sqrt {2}]를 만족한다.    (3점)

따라서 [eqn: tan alpha ``=` {2tan LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT )} over {1`-`tan ^{2} LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT )} `=` {2 CDOT 2 sqrt {2}} over {1-(2 sqrt {2} ) ^{2}} `=`- {4 sqrt {2}} over {7}]                          (3점)

(d) (총 10점)

S = [eqn: int _{- sqrt {2}} ^{`` sqrt {2}} {` LEFT [ (4-x ^{2} )`-` LEFT ( {3} over {2} `+` sqrt {{9} over {4} -x ^{2}} RIGHT ) ` RIGHT ] ``dx}]                                    (4점)

= [eqn: 2 int _{0} ^{`` sqrt {2}} {` LEFT ( {5} over {2} `-`x ^{2} RIGHT ) ``dx```-2 int _{0} ^{`` sqrt {2}} {sqrt {{9} over {4} -x ^{2}}} `dx}]

= [eqn: {11} over {3} sqrt {2`}] - [eqn: 2` int _{0} ^{{alpha } over {2}} {LEFT ( {3} over {2} cos` theta RIGHT ) LEFT ( {3} over {2} cos` theta RIGHT ) `d theta }]                                     (2점)

= [eqn: {11} over {3} sqrt {2`}] - [eqn: {9} over {2} ` int _{0} ^{{alpha } over {2}} {cos ^{2} ` theta `d theta }]  = [eqn: {11} over {3} sqrt {2`}] - [eqn: {9} over {2} ` int _{0} ^{{alpha } over {2}} {{1+cos`2 theta `} over {2} d theta }]

= [eqn: {11} over {3} sqrt {2`}] - [eqn: {9} over {4} ` LEFT [ theta ``+` {1} over {2} `sin`2 theta RIGHT ] _{0} ^{{alpha } over {2}}] = [eqn: {11} over {3} sqrt {2} `-` {9} over {8} alpha `-` {9} over {8} sin`` alpha]                   (2점)

= [eqn: {11} over {3} sqrt {2} `-` {9} over {8} alpha `-` {9} over {4} sin`` {alpha } over {2} `cos` {alpha } over {2}] = [eqn: {11} over {3} sqrt {2} `-` {9} over {8} alpha `-` {9} over {4} {2 sqrt {2}} over {3} {1} over {3}]

= [eqn: {19} over {6} sqrt {2} `-` {9} over {8} alpha `]                                                         (2점)

(다른 방법)

빗금친 부분의 면적 [eqn: S] 는 다음과 같이 구할 수 있다.

S = [eqn: int _{- sqrt {2}} ^{`` sqrt {2}} {(4-x ^{2} )`dx}] - [eqn: S _{1}](호의 면적) - [eqn: S _{2}](오각형 면적).                   (4점)

[eqn: S _{1}] = [eqn: {1} over {2} LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} theta] = [eqn: {9} over {8} alpha]                                                  (2점)

[eqn: S _{2}] = [eqn: 2 {1} over {2} {1} over {2} sqrt {2} `+`2 {3} over {2} sqrt {2}] = [eqn: {7} over {2} sqrt {2}]                                      (2점)

따라서, S = [eqn: int _{- sqrt {2}} ^{`` sqrt {2}} {(4-x ^{2} )`dx}] - [eqn: S _{1}] - [eqn: S _{2}] = [eqn: 2 LEFT [ 4x`-` {x ^{3}} over {3} RIGHT ] _{0} ^{sqrt {2}}]- [eqn: {9} over {8} alpha] - [eqn: {7} over {2} sqrt {2}]

= [eqn: {20} over {3} sqrt {2} `-` {9} over {8} alpha `-` {7} over {2} sqrt {2}]  = [eqn: {19} over {6} sqrt {2} `-` {9} over {8} alpha]                        (2점)

[문제 2]

1. 출제 의도

- 확률에 대한 이해도

- 현실상황을 수학적으로 이해하는 능력

2. 예시 답안 및 채점 기준

(a) (총 10점)

도가 나올 확률 P(도)=[eqn: {} _{4} C _{1} ( {1} over {2} )( {1} over {2} ) ^{3} = {1} over {4}]

개가 나올 확률 P(개)=[eqn: {} _{4} C _{2} ( {1} over {2} ) ^{2} ( {1} over {2} ) ^{2} = {3} over {8}]

걸이 나올 확률 P(걸)=[eqn: {} _{4} C _{3} ( {1} over {2} ) ^{3} ( {1} over {2} )= {1} over {4}]

윷이 나올 확률 P(윷)=[eqn: {} _{} ( {1} over {2} ) ^{4} = {1} over {16}]

모가 나올 확률 P(모)=[eqn: {} _{} ( {1} over {2} ) ^{4} = {1} over {16}]

각각의 점수 2점을 다섯 개 합쳐서 10점이다.

조합식 없이 답만 쓰면 2점 중에서 1점만 준다.

조합식은 맞았지만 답이 틀리면 역시 2점 중에서 1점만 준다.

(b) (총 10점)

도가 나올 확률 P(도)=[eqn: {} _{4} C _{1} ```p`(1-p) ^{3}]

개가 나올 확률 P(개)=[eqn: {} _{4} C _{2} ```p ^{2} `(1-p) ^{2}]

걸이 나올 확률 P(걸)=[eqn: {} _{4} C _{3} ```p ^{3} `(1-p) ^{}]

윷이 나올 확률 P(윷)=[eqn: {} _{} p ^{4}]

모가 나올 확률 P(모)=[eqn: {} _{} (1-p) ^{4}]

이때 P(도)[eqn: GEQ] P(개)[eqn: GEQ] P(걸)[eqn: GEQ] P(윷)[eqn: GEQ] P(모)를 만족하는 [eqn: p] ([eqn: 0 LEQ p LEQ 1])의 값이 존재하는지

판단하면 된다.                                                           (3점)

조건 P(도)[eqn: GEQ] P(개) [eqn: RARROW ````4p(1-p) ^{3} GEQ 6p ^{2} (1-p) ^{2} ```` RARROW ````2(1-p) GEQ 3p```` RARROW ````p LEQ {2} over {5}]     (3점)

조건 P(윷)[eqn: GEQ] P(모) [eqn: RARROW ````p ^{4} GEQ (1-p) ^{4} ```` RARROW ````p GEQ 1-p```` RARROW ````p GEQ {1} over {2}]                  (3점)

위의 두 조건으로부터 만족하는 [eqn: p]의 값을 구할 수 없다.

결론: 문제에서 원하는 경우는 발생하지 않는다.                           (1점)

(c) (총 10점)

P(걸)[eqn: GEQ] P(개)[eqn: GEQ] P(도)[eqn: GEQ] P(윷)[eqn: GEQ] P(모)를 만족하는  [eqn: p] ([eqn: 0 LEQ p LEQ 1])의 범위를 구하면된다.

(b)에서 구한 확률의 값을 이용하여 대입하면

[eqn: ````4p ^{3} (1-p) ^{} GEQ 6p ^{2} (1-p) ^{2} ``` GEQ `4p(1-p) ^{3} GEQ `p ^{4} ``` GEQ (1-p) ^{4}] 이 얻어진다.                       (3점)

첫 번째 부등식  [eqn: RARROW `````2`p GEQ 3(1-p`)``` RARROW ````p GEQ {3} over {5}]                                          (1점)

두 번째 부등식  [eqn: RARROW `````3`p GEQ 2(1-p`)``` RARROW ````p GEQ {2} over {5}]                                          (1점)

세 번째 부등식  [eqn: RARROW `````4(1-`p) ^{3} GEQ p ^{3} ``` RARROW ```( root {3} of {4} (1-`p)) ^{3} GEQ p ^{3} ``` RARROW ``` root {3} of {4} (1-`p) GEQ p``` RARROW ````p LEQ {root {3} of {4}} over {1+ root {3} of {4}}] (2점)

네 번째 부등식  [eqn: RARROW ``````p ^{4} GEQ (1-p`) ^{4} ``` RARROW ``p GEQ 1-p```` RARROW ````p GEQ {1} over {2}]                                (1점)

위 네 개의 부등식 조건을 모두 고려하면 다음의 결과를 얻게 된다.

답:  [eqn: {3} over {5} LEQ `p`` LEQ `` {root {3} of {4}} over {1+ root {3} of {4}}]  [eqn: (0.6`` LEQ `p`` LEQ `0.614] 로 써도 무방하다.)                 (2점)

[문제 3]

1. 출제 의도

- 전반사 현상에 대한 이해도

- 빛의 전반사에 의한 전달과정을 이해하는 능력

2. 예시 답안 및 채점 기준

(a) (총 10점)

[eqn: 0 LEQ theta _{1,2} LEQ 90 ^{o}]의 범위에서 [eqn: sin] 함수는 증가함수임에 착안하다.

i) [eqn: n _{1} <n _{2}]인 경우에는 스넬의 법칙 [eqn: n _{1} `sin theta _{1} =n _{2} `sin theta _{2}]로부터 [eqn: theta _{1} > theta _{2}]이므로 [eqn: theta _{1} =`90 ^{o}]인 경우에도

[eqn: theta _{2} <`90 ^{o}] 이므로 전반사가 일어날 수 없다.	(5점)

ii) [eqn: n _{1} >n _{2}]인 경우에는 스넬의 법칙 [eqn: n _{1} `sin theta _{1} =n _{2} `sin theta _{2}]로부터 [eqn: theta _{1} < theta _{2}]이므로 [eqn: theta _{1} <`90 ^{o}]인 경우에

[eqn: theta _{2} =`90 ^{o}] 인 경우가 생길 수 있고, 이 [eqn: theta _{1}]보다 큰 입사각에서는 [eqn: theta _{2} >`90 ^{o}]가 되어 전반사가 일어날

수 있다.	(5점)

따라서 두 매질의 굴절율이 [eqn: n _{1} >n _{2}] 인 경우에만 전반사가 발생한다.

(b) (총 10점)

빛의 전반사가 일어나기 시작하는 [eqn: theta _{1} = theta _{c}]는 [eqn: theta _{2} =90 ^{o}]인 경우에 해당하므로

스넬의 법칙으로부터

[eqn: n _{1} `sin theta _{1} =n _{2} `sin theta _{2}]

[eqn: n _{1} `sin theta _{c} =n _{2} `sin90 ^{0} =n _{2}]	(5점)

[eqn: sin theta _{c} = {n _{2}} over {n _{1}}]	(5점)

(c) (총 20점)

빛의 전반사는 유리와 공기의 경계면에서 발생하며, 전반사가 일어나기 위한 최소 입사각[eqn: theta _{c,`min}] 는

[eqn: sin theta _{c,`min} = {1} over {n _{g}}]이다.	(5점)

이때 [eqn: theta _{2,max}]는 [eqn: sin theta _{2,`max} =cos theta _{c,`min`} = sqrt {1-( {1} over {n _{g}} ) ^{2}}]이므로	(5점)

[eqn: n _{1} `sin theta _{1} =n _{2} `sin theta _{2}]로부터 [eqn: theta _{1}]의 최대값은 [eqn: `sin theta _{1,`max} =n _{g} `sin theta _{2,`max} = sqrt {n _{g} ^{2} -1}]	(5점)

따라서 이보다 작은 값을 갖는 [eqn: theta _{1}]로 입사되는 빛은 전반사 현상에 의한 전달 가능   (5점)

[문제 4]

1. 출제 의도

- 화합물을 표현하는 화학식에 대한 이해도

- 질량, 몰, 분자량의 관계를 이용하여 실험식, 분자식을 결정하는 능력

2. 예시 답안 및 채점 기준

(a) (총 15점)

주어진 정보로부터 화합물에 포함된 원소의 질량을 계산하는 방법을 정확하게 제시할 수 있는지를

평가한다. 탄소의 질량은 CO2의 질량으로부터 측정할 수 있다.

각각 생성물에서 탄소, 수소의 질량 백분율을 정확하게 계산하였을 경우(5점)

전체 구성물 각각의 성분에 해당하는 질량을 정확하게 계산했을 경우 추가로 (10점)

[eqn: CO _{2} `내`탄소의`질량`백분율`(%)`=` {12} over {12+16 TIMES 2} TIMES 100=`27.27%]

[eqn: CO _{2} 내`탄소의`질량=`0.16g` TIMES `0.2727`=`0.04g]

동일한 방식으로 수소의 질량은 H2O의 질량으로부터 측정이 가능하다.

[eqn: H _{2} O`내`수소의`질량`백분율`(%)`=` {2} over {16+1 TIMES 2} TIMES 100=`11.11%]

[eqn: H _{2} O내`수소의`질량=`0.17g` TIMES `0.1111`=`0.02g]

미지 물질은 탄소, 수소, 질소만으로 구성되었음으로

[eqn: 질소의`질량=0.12g-`0.04g-`0.02g=`0.06g]

(b) (총 15점)

질량백분율을 기준으로 하여 구성성분의 몰비를 계산할 수 있는지를 평가하며, 이로부터 실험식의

도출이 가능하도록 한다. 화합물에서 탄소, 수소, 질소의 질량백분율을 계산하였을 경우 (5점).

추가로 화합물에서 차지하는 각 성분의 몰비를 정확하게 계산하였을 경우 (10점)

[eqn: C=` {0.04} over {0.12} TIMES 100=`33.33%# H= {0.02} over {0.12} TIMES 100=`16.67%# N= {0.06} over {0.12} TIMES 100=`50.00%]

- 몰 비율

위의 질량 백분율을 이용하여 전체가 100g이라고 생각하면(%를 간단히 해석하기 위해),

[eqn: C=`33.33g TIMES ` {1mol} over {12g} =`2.78mol# H=`16.67g TIMES ` {1mol} over {1g} =`16.67mol# N=`50.00g TIMES ` {1mol} over {14g} =`3.57mol]

(c) (총 5점)

계산된 몰비를 이용하여 간단하게 표현할 수 있는 실험식의 도출에 대하여 알아보는 것으로 간단한

정수비로 표현된다.

[eqn: C _{2.78} H _{16.67} N _{3.57} =C _{5} H _{30} N _{6}]

(d) (총 5점)

실험식이란 화합물 내 원자들의 개수 비를 간단한 정수비를 나타낸 식이고, 분자식은 실제로 결합을

이루고 있는 원자들의 개수를 고려해준 식이다. 실험식과 분자식은 동일할 수도 있으나,

C2H6(ethane)의 경우를 예를 들어보면 실험식은 CH3, 분자식은 C2H6로 서로 다르다. 따라서, 위에

주어진 정보만으로 미지 물질의 분자식을 구하는 것은 불가능하다. 위의 정보를 통하여 탄소, 수소,

질소 간의 상대적인 몰 비율을 구하는 것이 가능하나 몰 비율만으로는 정확한 분자식을 구할 수

없다. 따라서, 분자식을 구하기 위해서는 분자량을 추가적으로 알아야 한다.

[문제 5]

1. 출제 의도

- 혈액형 판정에 대한 이해도

- 생물학적 실험결과를 분석하는 능력

2. 예시 답안 및 채점 기준

(a) (총 20점)

상등액에는 항체가, 침전물에는 적혈구가 존재한다. 철수가 B형이므로, X'에는 B형 적혈구 (응집

원 B)가 X에는 항 A 항체(응집소 a)가 존재한다. X와 Y'을 섞었을 때, 응집이 일어났으므로, Y'은

A형 적혈구(응집원 A) 또는 AB형 적혈구(응집원 A,B)일 것이다. 따라서 Y에는 항 B 항체(응집

소 b)가 존재하거나, 항체(응집소)가 존재하지 않을 것이다. 그런데, X'과 Y를 섞었을 때, 응집이

일어나지 않았으므로, Y에 항 B 항체(응집소 b)가 존재하면 안된다. 따라서 Y에는 항체가 없어야

하고, 이는 즉 영희의 혈액형이 AB형임을 의미한다.

- 위와 같이 설명하고, 영희의 혈액형을 맞췄을 경우 (20점)

- 단순히 혈액형을 판정할 수 있다고 답하고, 영희의 혈액형을 맞췄을 경우 (5점)

(b) (총 10점)

부의 O형은 봄베이 혈액형을 오판한 것이다. 실제로 부의 유전자형이 AO, hh 또는 AB, hh라면,

모의 유전자형이 BO, HH일 경우, 그 아이의 유전자형은 AO, Hh일 수 있다. 이 경우, 아이의

혈액형은 A형이고, 이 아이는 이형접합성 H 유전자를 갖으며, 봄베이 혈액형이 아니다.

- 위와 같이 유전자형을 정확하게 기술하여 설명하였을 경우 (10점)

- 부의 유전자형을 AO, hh 또는 AB, hh라고 하지 않고, 이중 하나라고 가정하여도 무방함.

(c) (총 10점)

봄베이 혈액형을 가진 사람의 경우, H 항원이 없기 때문에, H 항체를 갖고 있다.

마찬가지로, A 항원, B 항원도 없으므로, A 항체, B 항체도 갖는다.

- 위의 사실만 기술하였을 경우 (5점)

따라서 일반적인 A형, B형, O형을 가진 사람들의 적혈구(A 항원, B 항원, H 항원)와 반응하여

응집반응을 일으키므로, 수혈을 받을 수 없다. 오직 봄베이 혈액형을 가진 사람의 적혈구(A, B, H

항원 모두 없음) 만이 응집반응을 일으키지 않으므로, 수혈을 받을 수 있다.

- 위의 사실을 추가로 기술하였을 경우 (5점)

Ⅲ. 모의 논술고사 문항별 우수답안

[문제 1]

[문제 2]

[문제 3]

[문제 4]

[문제 5]

Ⅲ. 모의 논술고사 채점강평

[문제 1]

[1] 문항은 크게 네 개의 질문을 하고 있다.

(a) 반지름 [eqn: r]과 두 점 [eqn: A]와 [eqn: B`]를 구하시오. (10점)

(b) 두 점 [eqn: A]와 [eqn: B] 에서의 접선의 방정식을 각각 구하시오. (4점)

(c) 각 [eqn: ANGLE APB]의 값을 [eqn: alpha] 라디안이라 할 때, [eqn: tan` alpha ``]의 값을 구하시오. (6점)

(d) 각 [eqn: ANGLE APB]의 값을 [eqn: alpha] 라디안이라 할 때, 빗금친 면적을 구하시오.(10점)

모의 논술에 응시한 대부분의 학생들이 질문 (a)와 (b) 에는 제대로 답하였다.  질문 (c)에는 40-50% 정도의 학생들이 답을 구했다. 하지만 질문 (3)에 제대로 답한 학생은 거의 없었다.  질문 (a)와 (b)는 방정식을 풀고 미분만 하면 쉽게 구할 수 있는 문제이지만, (c)는 삼각함수의 성질에서 탄젠트 함수의 2배각의 공식을 구해야 하는 문제로 약간 어려워 하는 경향이 있었다. 그리고 (d) 문항의 경우 복잡한 적분을 구해야 하는 문제로 정확하게 푼 학생의 거의 없었다.

앞에서 예시로 든 모범 답안 학생 답안지는 질문 (a), (b), (c), (d)를 모두 답한 학생의 답안지로 전체 풀이 중 1% 내에 드는 우수한 답안지이다. (a)와 (b)는 예상대로 거의 90% 이상의 학생이 쉽게 계산하였다. (c)의 계산도 비교적 예상보다 많은 비율의 학생이 정확히 계산하였다. 하지만 (d)의 경우, 예상은 한 5% 내외의 학생을 예상하였으나 의외로 1% 미만의 학생만 제대로 답하였다. 학생들이 생각보다 복잡한 함수의 적분을 어려워하고 있으며 특수각이 아닌 삼각함수의 값을 제대로 계산하지 못하였다.

학생들의 답안지들을 보면서 느낀 점은 교과서나 참고서에 나온 익숙한 문제의 계산은 쉽게 하는 반면, 익숙하지 않은 계산이나 복잡한 계산식을 제대로 하지 못하였다. 또한 복잡한 함수라고 식을 올바르게 세우는 방법을 잘 하지 못하였다. 자기주도적이고 자발적인 학습 능력 배양을 통해 논리적 사고력을 키워나야가 할 것이다.

[문제 2]

[2]번 문항은 10점 소 문항 (a), (b), (c) 세 개의 질문을 하고 있다.

모의 논술에 응시한 대부분의 학생들이 질문 (a)에는 제대로 답을 구했다. 대략 80%정도의 학생들이 정답을 썼다.

문항(b) 에는 25%정도의 학생들이 10점 만점 중 5점 이상을 받았다.

문제 (c)에 제대로 답한 학생은 거의 없었는데. 대략 80% 정도의 학생들이 0점을 받았다. 웬만큼 풀이를 쓴 학생은 5점 이상을 받았다. 점수의 편차가 심했다.  질문 (a)와 (b)와 (c)모두 원리는 간단한 이항 분포에 관한 문제로 원리를 알고 식을 풀면 쉽게 구할 수 있는 문제이지만, 왠일인지 (c)의 점수가 상당히 안좋았다. 접해보지 않은 형식이었던지 아니면 확률에 관한 문제를 논술문제로 많이 안 풀어 보았던 지 (c)문항을 약간 어려워하는 경향이 있었다. 문제 출제 시에는 너무 문제가 쉬어서 걱정이 있었지만 그것이 괜한 걱정임을 알게 되었다.

앞에서 예시로 든 모범 답안 학생 답안지는 질문 (a), (b), (c)를 모두 답한 학생의 답안지로 전체 풀이 중 1% 내에 드는 우수한 답안지이다. (a)는 예상대로 거의 80% 이상의 학생이 10점 만점을 받았고 쉽게 계산하였다. (b)의 경우 예상(20%이상)외로 10%정도의 학생들이 정답을 구했다.

(c)의 경우에도 (b)와 유사한 예상을 하였으나 한 10% 내외의 학생들이 10점 만점 중 8점 이상의 점수를 받았다.

위 학생은 (a)에서 10점, (b)에서 10점, (c)에서 9점을 받아서 30점 만점에 29점으로 최고점수이다. (c)에서의 1점 감점은 부등식에서 등호부분을 정확히 고려하지 않아서 감점이 있었다.

2번 문제에서도 앞의 1번 문항처럼 학생들의 답안지들을 보면서 느낀 점은 상당히 유사하다. 교과서나 참고서에 나온 익숙한 문제의 계산은 쉽게 하는 반면, 익숙하지 않은 유형이나 문제형식에 약한 모습을 보였다. 평소 생각을 많이 하고 응용문제에 대한 개념파악 노력이 필요해 보인다.

[문제 3]

(1) 이 문제는 빛의 전반사 현상에 대한 기본적인 이해를 묻는 문제이다. 굴절에 대한 스넬의 법칙을 주고 두 매질의 상대적인 굴절률의 크기가 어떤 관계를 만족할 때 입사된 빛이 전반사 현상을 일으킬 수 있는지를 판단하는 문제인데 전반사에 대한 기초적인 개념을 갖고 있는 학생이라면 쉽게 해결할 수 있는 문제라 하겠다. 예측한 바와 같이 대부분의 학생들이 어느 정도의 이해를 하고 있다고 보여지나 (60% 이상) 간혹 전혀 이해를 못하고 있는 학생들도 있고 (20% 정도) 단순히 암기를 한 수준에서 부등호의 방향을 반대로 착각하거나 근거를 논리적으로 제시하지 못한 경우도 보인다.

(b) 위의 전반사가 일어나기 시작하는 입사각인 임계각을 찾는 문제이다. a)의 문제를 제대로 해결한 학생이라면 문제없이 b)의 문제도 해결할 수 있는 문제이다. 다만 a)의 문제에서 논리적인 근거를 제시하지 못하고 암기에 의존하여 답한 학생들 중 임계각에 대한 이해에 오류가 있는 경우가 있었다.

(c) 이 문제는 빛의 굴절과 전반사를 위한 조건을 단순히 결합한 문제이다. 따라서 위의 두 가지 결과를 논리적으로 연결할 수 있는지를 평가하고 있다. 그러나 예측과는 달리 a)와 b)를 해결한 학생들 중에서도 c)에 대한 답을 정확히 얻지 못한 경우가 많았다. 이는 약간은 긴 전개과정에서 단순한 실수에서 오는 경우도 많았으나 주로 논리적으로는 단순하지만 약간 복잡한 문제를 해결하는데 있어서 학생들의 집중력 결여에 기인한다고 보여진다. 이 정도의 난이도를 제시해도 정답률이 20% 이하로 떨어진다는 것은 예상외의 결과라 생각된다. 단순한 문제의 반복적인 학습보다 약간은 복잡한 문제를 집중력을 갖고 해결해 나가는 훈련이 필요하겠다. 출제자의 입장에서는 문제의 난이도를 판단하는데 큰 도움이 되었다고 생각한다.

[문제 4]

화합물을 표현하는 방식에 대하여 알아보는 것으로 화합물을 구성하고 있는 원소의 원자량, 분자를 구성하는 분자량, 분자량에서 차지하는 원소의 비율 등에 대하여 정확한 이해를 요구한다. 각각 문항에 대한 계산에 있어서는 유효숫자의 개념의 이해를 알아보기 위하여 소수 둘째 자리까지만 표현하도록 제시하였다.

(a) 이 문항은 주어진 정보로부터 새로운 화합물 내에 차지하는 탄소, 수소, 질소의 질량백분율을 소수 둘째자리까지 계산하고, 이를 이용하여 탄소, 수소, 질소의 질량을 계산하는 문제이다. 본 문제를 선택한 학생들의 대부분은 해당 원소의 질량을 정확하게 계산했지만, 표현하는 방식에 있어서 유효숫자의 개념을 이해하는 학생은 70% 수준에 불과한 것으로 나타났다. 계산결과의 유효숫자를 처리하는 방법에 따라 이후의 결과들이 영향을 받으므로, 제시한 유효숫자를 따라서 계산하는 것이 중요함을 알아야 할 것으로 나타났다.

(b) 이 문항은 (a)에서 얻어진 질량을 이용하여 몰비를 계산하는 문제이다. 새로운 화합물에서 질량백분율을 먼저 계산한 후, 이를 이용하여 화합물에서 원소들이 구성하는 몰비를 계산하여야 한다. 하지만 대부분의 수험생들은 질량백분율만 계산하였으며, 원소의 몰비를 바탕으로 (c)에서 제시하여야 하는 실험식을 잘못 표현하는 것으로 나타났다. 따라서 화합물에서 원소의 질량백분율과 원소의 몰비에 대한 정확한 이해가 부족한 것으로 나타났다.

예시 답안은 문제 (a)에서 요구하는 결과를 유효숫자를 포함하여 정확하게 표현하였으나, (b)에서 요구하는 결과는 질량백분율까지만 계산하여 최종의 결과에는 도달하지 못함을 보여준다.

(c) 이 문항은 (b)에서 몰비가 정확하게 계산되면 정수비로 나타내면 되는 것으로 대부분 학생들은 이를 이해하고 있는 것으로 나타났다.

(d) 또한 대부분의 학생들이 실험식으로부터 분자식을 알아내기 위해서는 실제로 결합을 이루고 있는 원자들의 개수를 알기 위한 정보가 필요하다는 것을 인지하고 있었으며 본 문제에 주어진 정보만으로는 분자식을 결정할 수 없다고 제시하고 있었다.

[문제 5]

전체 응시자의 약 45%가 물리, 화학, 생물 중에서 생물 문제인 본 문제를 선택하였다. 문제를 푼 학생들은 대부분 (a), (b), (c) 문항을 모두 풀었으며, 부분적으로 푼 학생들은 10% 미만이었다.

(a) 문항을 푼 학생 중 약 40%가 정답을 맞혔으며, 대부분의 학생들은 ABO식 혈액형 판정을 위한 실험이 어떻게 수행되는지에 대한 개념을 확립하고 있었다. 정답을 맞힌 학생들은 대부분 20점을 받았으며, 부분점수 5점을 받게 되는 구체적인 설명 없이 영희의 혈액형을 맞힌 경우는 거의 없었다. 오답 학생들 중에는 혈액형을 판정할 수 없다고 답한 학생들과 혈액형을 잘못 판단한 학생들이 반반의 비율로 존재하였다.

(b) 문항의 경우 약 20%의 학생이 부의 혈액형이 봄베이 혈액형을 오판한 것임을 밝혔고, 이 경우 아이의 혈액형이 A형이 될 수 있다는 것을 증명하였으나, 문제에서 물어본 대로 H 항원, A 항원, B 항원의 유전자형 모두를 이용하여 정확하게 답한 학생은 1% 미만이었고, 나머지 학생들은 A 항원과 B 항원만의 유전자형을 이용하여 답하였다. 따라서 1% 미만의 학생만이 10점을 받았고, 나머지 학생들에게는 5점을 부여하였다.

(c) 문항의 경우, 봄베이 혈액형을 가진 사람은 H 항원, A 항원, B 항원 모두 없기 때문에 H 항체, A 항체, B 항체를 모두 갖게 되는데, H 항체에 대해서 언급한 학생은 1% 미만이었다. 그러나 일반인으로부터 수혈이 불가능하고, 봄베이 혈액형을 가진 사람으로부터 수혈이 가능한 이유가 응집반응의 유무임은 약 40%의 학생들이 숙지하고 있었다. 따라서 이들 학생들에게는 5점만을 부여하였고, H 항체에 대해서 언급한 1% 미만의 학생들에게만 10점을 부여하였다.

결론적으로, 혈액형 판정에 관해서는 생물1에서 배운 내용이므로, (a) 문항은 무난하였으나, (b) 문항에서는 학생들이 교과서나 참고서에 나와 있지 않은 H 항원의 유전자형을 표기하기를 꺼려했음을 알 수 있었다. (c) 문항에서도 봄베이 혈액형을 가진 사람에게 H 항체가 존재함을 지적한 학생들이 상당히 드물었다는 사실은 교과서나 참고서에 나오지 않은 내용에 학생들이 배운 지식을 적용하는데 상당히 취약함을 파악할 수 있었으며, 답안 작성에 있어서 조금 더 창의적이며 도전적인 자세가 아쉬움으로 남는다.