	2012학년도 서울시립대학교 수시모집 논술고사 문제지(자연 B형)

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※ 풀이과정을 반드시 기술할 것. 기술의 형식과 내용은 평가의 중요한 요소임.

※ 문제 1과 2는 각 30점이고 문제 3, 4, 5(택 1)는 40점임.

[문제 1]

점 [eqn: P _{0} `=(1,0)`]에서 출발하여 중심이 원점인 단위 원 위에 일정한 간격으로 점 [eqn: P_1], [eqn: P_2], [eqn: P _{3}], [eqn: CDOTS]을 아래 그림과 같이 반시계 방향으로 표시해 나간다. 이때, [eqn: P _{n} =(x _{n,}``` y _{n} )]이라고 하자(단, [eqn: n`]은 자연수).

[eqn: P_1 =(x_1 `,` y_1 )]

[eqn: P_2 =(x_2 `,` y_2 )]

[eqn: P_3 =(x_3 `,` y_3 )]

[eqn: bullet]

[eqn: bullet]

[eqn: bullet]

[eqn: theta >0]

[eqn: bullet]

[eqn: bullet]

[eqn: bullet]

[eqn: bullet]

[eqn: P_0 =(1 `,` 0 )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: bold\O]

(a) [eqn: x_1]을 사용해 [eqn: x_2], [eqn: x_3]을 표현하여라.

(b) 임의의 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x_n = f_n (x_1 )]을 만족하는 [eqn: n]차 다항식 [eqn: f_n (x)]가 존재함을 보여라.

(c) [eqn: f_n (x)]를 일차식의 곱으로 인수분해하여라(등식 [eqn: f _{n} (cos`` theta )=cos``(n theta )]를 참고).

(d) 서로 다른 [eqn: m,``n]에 대하여, 다음 극한값을 구하여라.

[eqn: lim _{a` -> ``1-} {} `` int _{-a} ^{a} {} ` {f _{m} (x)f _{n} (x)} over {sqrt {1-x ^{2}}} ``dx]

̂

[문제 2]

모든 실수에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음의 성질을 만족한다.

[eqn: f(x+y)`=`f(x)`+f(y)`+`2xy],   [eqn: f(-1)`=`3].

다음 물음에 답하여라.

(a) [eqn: f(0)]의 값을 구하여라.

(b) 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

(c) [eqn: y`=`f(x)`]와 [eqn: y`=`x`]로 둘러싸인 영역을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜서 생긴 회전체의 부피를 구하여라.

(d) [eqn: y`=`f(x)`]와 [eqn: y`=`x`]로 둘러싸인 영역을 [eqn: y]축의 둘레로 회전시켜서 생긴 회전체의 부피를 구하여라.

[문제 3]

질량 [eqn: m]인 인공위성이 지구 중심으로부터 반지름이 [eqn: R]인 원궤도를 등속 원운동하고 있다. 지구와 인공위성 사이에는 만유인력 [eqn: F_G (r)=- {GMm} over {r ^{2}}] ([eqn: r=R], [eqn: G=]만유인력 상수, [eqn: M=]지구질량)이 작용한다.

[eqn: R]

위성

지구

(a) 위성에 작용하는 구심력과 원심력은 평형을 이룬다. 이로부터 위성의 회전 주기 [eqn: T]를 유도하여라.

(도움1 참고)

어떤 학자가 거리 [eqn: r]만큼 떨어진 두 물체 사이에 만유인력과 더불어 [eqn: r`` ^{4}]에 반비례하는 약한 힘(이를 제 5의 힘이라 부르자) [eqn: F _{G`` prime } (r)=- {G`` prime Mm} over {r ^{``4}}] 이 작용한다고 주장한다. 이 주장을 검증하기 위하여 아래 문제 (b)-(e)를 풀어보자.

(b) 제 5의 힘이 존재할 때 위성의 주기 [eqn: T`` prime]를 [eqn: T]와 [eqn: G`` prime ,`G,```R``]로 나타내어라.

(힌트: 구심력 = 만유인력 + 제 5의 힘)

(c) 제 5의 힘이 존재하지 않을 때 위성이 10 회전해야 할 시간 동안에 실제로는 11 회전이 관측되었다고 하자. [eqn: G`` prime]를 구하고 위성에 작용하는 제 5의 힘이 만유인력의 몇 %인지 계산하여라.

(d) 위성은 탑재한 연료를 분사하여 궤도를 바꿀 수 있다. 연료 분사로 에너지 [eqn: U _{c} =0.95E _{0}]를 얻었다면, 위 (c)의 위성(즉 [eqn: G`` prime `>0])이 지구 중력장을 탈출하게 됨을 증명하여라. 여기서 [eqn: E_0 = {1 } over {2 } {GMm } over {R }]이고, 연료 분사로 인한 위성 질량 변화는 작아서 무시한다.  (도움2 참고)

(e) 만약 제 5의 힘이 존재하지 않는다면, 연료 분사 후 위성은 탈출하지 못하고 반지름이 [eqn: R_f]인 다른 회전 궤도로 진입하게 된다. 이 경우 [eqn: R_f]가 [eqn: R]의 몇 배인지 구하여라. 그리고 제 5의 힘이 존재할 때 탈출이 더 쉬운 이유를 설명하여라.

(도움1) 위성에 작용하는 원심력은 [eqn: {mv^2} over {R}]이다([eqn: v]=속도).

(도움2) 궤도 반지름이 [eqn: R]인 위성의 위치에너지는 [eqn: U(R)`=` - int _{INF } ^{R} {F(r)dr}]이다.

[문제 4]

고분자 화합물은 단위체들이 결합하는 중합반응에 의하여 만들어진다. 중합반응은 크게 단위체에 존재하는 이중결합이 반응하는 첨가반응과, 단위체 분자에 있는 작용기(functional group)들이 반응하는 축합반응으로 나누어진다. 축합반응에 의해 만들어지는 대표적인 고분자 중 하나인 나일론은 두 종류의 단위체들이 결합하여 아미드결합(-NH-CO-)을 형성하고, 단위체의 종류에 따라 각기 다른 부산물을 만들어낸다. 이와 관련하여 헥사메틸렌디아민(H2N(CH2)6NH2)과 염화세바코일(ClOC(CH2)8COCl)의 나일론 6.10 중합반응에 대해 생각해보자. 이 반응은 극성인 물(H2O)과 비극성인 사염화탄소(CCl4)를 반응의 용매로 사용하여, 아래의 그림에서 예시된 바와 같이, 두 개의 섞이지 않는 액체의 경계면에서 일어난다. 이때의 반응 과정에서는 소량의 NaOH가 사용된다. (참고: 용매로 사용되는 물과 사염화탄소의 밀도는 각각 1.0 g/cm3과 1.6 g/cm3이다.)

(a) 상기의 중합반응을 위해 사용하는 용매가 A, B 두 층으로 각각 분리될 때, 각 층에 존재하는 용매와 단위체가 어느 것인지 나타내어라.

(b) 계면에서 이루어지는 나일론 6.10 중합반응식을 완성하여라.

(c) NaOH는 용매 A, B 중 어느 층에 존재하는지 밝히고, NaOH가 사용되는 이유를 설명하여라.

(d) 헥사메틸렌디아민(H2N(CH2)6NH2)과 염화세바코일(ClOC(CH2)8COCl)을 각각 10 몰씩 넣고 반응시켰을 때, 반응이 완결된 후 생성된 나일론 6.10의 총 질량을 구하여라.

(분자량은 다음과 같다고 가정한다. H2N(CH2)6NH2 = 116 g/mol, ClOC(CH2)8COCl = 239 g/mol,

H = 1 g/mol, N = 14 g/mol, C = 12 g/mol, O = 16 g/mol, Cl = 35.5 g/mol).

[문제 5] 다음 제시문 [가]-[다]를 읽고 물음에 답하여라.

[가] 세포주기는 간기와 세포분열기가 교대로 나타나며, 간기의 S기에서 염색체 복제 후, 세포분열기가 되면 염색체 응축이 일어나 염색체 간 분리가 용이한 상태로 된다. 부(父)로부터 받은 염색체와 모(母)로부터 받은 염색체 중 응축된 염색체의 길이와 동원체의 위치가 같으며, 특정 염색에 의해 생기는 띠의 양상이 서로 유사한 염색체를 상동염색체라고 한다. 복제된 염색체는 두 개의 자매염색분체를 가지고 있으며, 자매염색분체는 동원체 부위에서 가장 가깝게 위치한다. 상동염색체이지만, 자매염색분체가 아닌 다른 두 개의 염색분체를 비자매염색분체라고 한다.

[나] 염색체 한 벌을 가진 세포를 반수체(n) 세포라고 하고, 염색체 두 벌을 가진 세포를 이배체(2n) 세포라고 한다. 이때 두 벌의 염색체 중 한 벌은 부(父)로부터, 다른 한 벌은 모(母)로부터 받은 것이다. 사람의 경우, 이배체 세포인 체세포의 염색체 수는 46(2n=46)개이고, 두 세트로 이루어져 있으며, 반수체 세포인 배우자세포(즉, 정자와 난자)의 염색체 수는 23(n=23)개이고, 한 세트로 이루어져 있다.

[다] 감수분열이 유사분열(체세포분열)과 다른 점은 감수 제1분열 전기(전기I)에서 상동염색체 간에 접합이 일어난다는 것이다. 이것은 접합복합체라는 단백질 복합체를 통해서 이루어지며, 이 과정에서 비자매염색분체들 사이에 교차가 발생하게 된다. 일반적인 경우에는 감수분열을 통해, 딸세포에 염색체들을 균일하게 분배한다. 그러나 경우에 따라서 염색체의 비분리가 일어날 수 있다. 이러한 염색체의 비분리는 감수 제1분열에서 일어날 수도 있고, 감수 제2분열에서 일어날 수도 있다. 염색체의 비분리로 인해 비정상적인 염색체 수를 갖게 된 배우자세포와 정상적인 염색체 수를 가진 배우자세포가 수정을 하게 되면, 비정상적인 염색체 수를 가진 접합자가 형성되며, 이러한 상태를 이수성(aneuploidy)이라고 하고, 염색체 수가 하나 많으면 3염색체성, 염색체 수가 하나 적으면 1염색체성이라고 한다.

(a) 감수 제2분열이 막 완료된 세포를 세포A라고 하고, 간기의 S기는 지났지만 감수 제1분열이 아직 시작되지 않은 세포를 세포B라고 하자. 세포A를 세포B와 비교하였을 때, 염색체 수와 DNA(디옥시리보핵산)량이 어떻게 차이가 나는지를 밝혀라.

(b) 이배체 염색체 수가 4(2n=4)인 하나의 모세포가 염색체 복제, 감수 제1분열, 감수 제2분열 등의 과정을 거쳐서 4개의 배우자세포를 만든다고 가정하자. 다음 ①-③에서 4개의 배우자세포와 그 안에 존재하는 염색체들을 그림으로 나타내어라(단, 모세포의 복제 전 염색체는 아래 왼쪽의 그림과 같이 나타낼 수 있으며, 부(父)계 염색체와 모(母)계 염색체를 구분하지 않아도 됨. 또한 배우자세포는 원으로 표시하고, 1번 염색체와 2번 염색체를 숫자로 표시할 것).

① 감수 제1분열과 감수 제2분열에서 염색체 분리가 모두 정상적으로 일어날 때

② 감수 제1분열에서는 1번 염색체의 비분리가 일어나고, 감수 제2분열에서는 모든 세포에서 염색체 분리가 정상적으로 일어날 때

③ 감수 제1분열에서는 염색체 분리가 정상적으로 일어나고, 감수 제2분열에서는 하나의 세포에서 2번 염색체의 비분리가 일어날 때

(c) 다운 증후군은 21번 염색체가 하나 더 있어서 유발되며, 이를 일컬어 21번 3염색체성이라고도 한다. 하나의 모세포가 감수분열을 거쳐 4개의 배우자세포를 만든다고 가정하자. 염색체의 비분리가 감수 제1분열에서 일어날 때와 감수 제2분열에서 일어날 때를 비교하여, 어떤 경우에 21번 염색체가 3염색체성이 될 확률이 더 높은지를 밝히고, 그 이유를 설명하여라(단, 정상적인 배우자세포와 수정하여 접합자를 형성한다고 가정할 것).

(d) 남성이 Y 염색체를 하나 더 갖게 되는 XYY 증후군이 있다. 하나의 모세포가 감수분열을 거쳐 4개의 배우자세포를 만든다고 가정하자. 염색체의 비분리가 감수 제1분열에서 일어날 때와 감수 제2분열에서 일어날 때를 비교하여, 어떤 경우에 성염색체가 XYY가 될 수 있고, 어떤 경우에 될 수 없는지를 밝히고, 그 이유를 설명하여라(단, 정상적인 배우자세포와 수정하여 접합자를 형성한다고 가정할 것).