	2012학년도 서울시립대학교 수시모집 논술고사 문제지(자연 A형)

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※ 풀이과정을 반드시 기술할 것. 기술의 형식과 내용은 평가의 중요한 요소임.

※ 문제 1과 2는 각 30점이고 문제 3, 4, 5(택 1)는 40점임.

[문제 1]

[eqn: S]는 실수 전체의 집합 [eqn: "R"]의 부분 집합이다. 임의의 구간 [eqn: (a,``b)]가 [eqn: S]의 원소를 적어도 한 개 포함하면, “[eqn: S]는 조밀하다”고 한다. 예를 들어, 유리수 전체의 집합은 조밀하다. 왜냐하면, 임의의 구간 [eqn: (a,``b)]에 대하여 [eqn: {1} over {n} <b-a]를 만족하는 충분히 큰 자연수 [eqn: n]을 생각하면, 구간 [eqn: (a,``b)]는 적당한 유리수 [eqn: {m} over {n}]을 반드시 포함하기 때문이다(아래 그림 참조). 그러나 정수 전체의 집합은 조밀하지 않다.

)

(

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: 0]

[eqn: {1}over{n}]

[eqn: {2}over{n}]

[eqn: {m}over{n}]

[eqn: cdots]

또한 [eqn: S]가 조밀하면 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]로 수렴하는 [eqn: S]의 원소들로 이루어진 수열을 만들 수가 있다.

위의 내용을 바탕으로, 덧셈과 곱셈 연산에 닫혀 있는 집합 [eqn: S= LEFT {```` m+n sqrt{2} ````| ````m`,`n `= 0,`` +- 1,`+-2, +-3, cdots ` RIGHT }]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(a) [eqn: sqrt3]은 [eqn: S]에 포함되지 않음을 보여라.

(b) [eqn: S]는 절댓값이 1보다 작은 원소를 무수히 많이 가지고 있음을 보여라.

(c) [eqn: S]는 조밀하다는 것을 보여라.

(d) [eqn: "R"]에서 정의된 연속 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(m+n sqrt {2} )=m ^{2} +2n ^{2} +2mn sqrt {2}]

를 만족할 때([eqn: m,``n]은 임의의 정수), [eqn: f(sqrt{3})]의 값을 추정하고 그 근거를 제시하여라.

̂̂  [문제 2]

1사분면 위에 타원 [eqn: x ^{2`} `+`3y ^{2} `=`1]이 주어져 있다. 그리고 원점을 지나고 [eqn: x]축과 이루는 각이 [eqn: {pi } over {2n+2}] 라디안인 직선 [eqn: y`=f _{n} (x)`]가 있다(단, [eqn: n`]은 자연수). 주어진 타원과 [eqn: f _{n} (x)], [eqn: f _{n+1} (x)]로 둘러싸인 영역의 면적을 [eqn: S _{n}]이라고 할 때 다음 물음에 답하여라.

(a) 두 직선 [eqn: f _{1} (x)]와 [eqn: f _{2} (x)]를 구하여라.

(b) [eqn: S _{1}]의 값을 구하여라.

(c) 두 직선 [eqn: f _{n} (x)]와 [eqn: f _{n+1} (x)] 사이의 각을 [eqn: a _{n}]라디안이라고 할 때 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]의 값을 구하여라.

(d) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값을 구하여라.

[문제 3] 다음 제시문 [가]-[다]를 읽고 물음에 답하여라.

[가] 전기장에서 위치에너지의 형태로 에너지를 저장할 수 있는 장치는 축전기(capacitor)이다. 이러한 축전기를 전지에 연결하여 축전기에 전하를 저장하는 것을 충전이라고 하며, 축전기에 전하량 [eqn: Q`](단위: coulomb)를 저장시켰을 때 전지의 전위차가 [eqn: V](단위: volt)이면 다음의 관계가 성립한다.

[eqn: Q=CV```]

여기서 비례상수 [eqn: C](단위: farad)를 축전기의 전기용량(capacitance)이라고 한다.

[나] 축전기는 여러 가지 모양으로 구현할 수 있는데, 주위와 고립된 채 서로 떨어져 있는 두 도체는 축전기를 이룬다. 이때 두 도체를 극판(plates)이라고 한다. 축전기가 대전되면 두 극판은 크기가 같고 부호가 반대인 전하 [eqn: +Q]와 [eqn: -Q]를 각각 띠게 된다. 두 극판을 서로 평행하게 마주보게 하고 양 극판 사이의 거리를 조금 떨어지게 한 축전기를 평행판 축전기라고 한다. 이러한 평행판 축전기의 전기용량 [eqn: C]는 극판의 넓이 [eqn: S]에 비례하고 두 극판 사이의 거리 [eqn: d]에 반비례한다. 또한 두 극판 사이에 있는 절연체의 유전율 [eqn: epsilon]에 비례한다. 따라서 평행판 축전기의 전기용량 [eqn: C]는 다음과 같이 나타낸다.

[eqn: C= epsilon {S} over {d} ````]

[다] 전기장 세기 [eqn: E]인 균일한 전기장 내에서 거리 [eqn: d]만큼 서로 떨어져 있는 두 도체판 사이의 전위차   [eqn: V]는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: V=E`d```]

(a) 전기용량이 각각 [eqn: C _{1}]과 [eqn: C _{2}]인 두 개의 축전기를 직렬로 연결하고 전압(전위차)이 [eqn: V]인 전지에 연결하였다. 이 경우 축전기에는 각각 [eqn: V _{1}]과 [eqn: V _{2}]의 전압이 걸린다. 이와 같이 직렬로 연결된 두 개의 축전지들의 전기용량은 하나의 합성 전기용량으로 나타낼 수 있다. 직렬로 연결된 두 축전기의 합성 전기용량 [eqn: C]를 [eqn: C _{1}]과 [eqn: C _{2}]로 나타내어라.

(b) 극판의 넓이가 [eqn: S]이고 극판 사이의 거리가 [eqn: d]인 평행판 축전기에 유전율 [eqn: epsilon _{0}]인 공기가 채워져 있는   경우 전기용량을 [eqn: C _{0}]라고 가정하자. 이 축전기의 두 극판 사이에 두께가 [eqn: t], 넓이가 [eqn: S], 유전율 [eqn: epsilon _{1}]인 절연체를, 그림 (1)과 같이 아래 극판으로부터 [eqn: h]만큼 떨어진 곳에 끼워 넣은 경우, 전기용량 [eqn: C]를 [eqn: C _{0}]와 [eqn: epsilon _{0} ,`` epsilon _{1} ,``d,``t,``h]로 나타내어라. 또한, 이 결과로부터 새로운 절연체가 끼워진 위치 [eqn: h]와 전기용량 [eqn: C]의 관계를 간략히 설명하여라.

(c) (b)와 같이 두 극판 사이에 공기가 채워져 있는, 전기용량이 [eqn: C _{0}]인 평행판 축전기에 유전율 [eqn: epsilon _{1}], 두께 [eqn: t]인 절연체를 아래 극판에 붙여([eqn: h=0]) 끼워 넣자 전기용량이 [eqn: 1.5C _{0}]로 변하였다. 절연체의 유전율[eqn: ` epsilon _{1}]이 공기 유전율 [eqn: epsilon _{0}]의 2배(즉,[eqn: ` epsilon _{1} =2 epsilon _{0}])인 경우 절연체 두께 [eqn: t]와 극판 사이의 거리 [eqn: d] 간의 관계를 유도하여라.

(d) 그림 (2)와 같이 두 극판 사이에 공기(유전율이 [eqn: epsilon _{0}])가 채워져 있고, 그것들의 거리가 [eqn: 3d]인 평행판   축전기에 전압(전위차) [eqn: V]인 전지가 연결되어 있다. 여기에 [eqn: V=V _{0}]를 가했을 때 [eqn: A]지점에 전하가 정지되어 있는 것이 관측되었다면, 이때의 비전하 [eqn: q/m]를 구하여라(전하의 전하량은 [eqn: q], 극성은 (-), 질량은 [eqn: m]이다.  전하는 그림 (2)에서 표시된 방향으로 중력 가속도 [eqn: g]의 영향을 받고 있다. 또한 전하와 공기와의 마찰은  무시할 수 있다고 가정한다).

(e) (d)와 같이 전압이 [eqn: V _{0}]로 유지된 상태에서 [eqn: A]지점에 정지해 있던 이 전하가 전압이 [eqn: V _{1}]으로 변하자   1초 후에 거리 [eqn: d]만큼 떨어진 [eqn: B] 지점에서 관측되었다면, 이때 새로 가해진[eqn: V _{1}]과 [eqn: V _{0}] 사이의 관계를 유도하여라.

(1)                                          (2)

[문제 4]

우리 주변에서 산성 및 염기성 화합물들은 식초, 암모니아수 등의 생활용품으로부터 황산, 염산 등의 공업원료까지 다양한 용도로 이용되고 있다. 브뢴스테드(Brönsted)와 로우리(Lowry)의 설명에 의하면, 다른 물질에게 수소이온(양성자)을 내놓는 물질이 산(acid), 다른 물질로부터 수소이온을 받아들이는 물질이 염기(base)로 정의된다. 또한, 임의의 산 HA가 수용액에서 이온화되어 평형을 이루는 반응을 아래와 같은 반응식으로 표현할 때, 산의 이온화 상수(Ka)는 아래의 평형농도 관계식으로 정의된다(아래에서 산 HA의 짝염기는 A-이다).

HA(aq) + H2O(l) ⇌ H3O+(aq) + A-(aq),       [eqn: K _{a} `=` {[H _{3} O ^{+} ][A ^{-} ]} over {[HA]}].

(a) 다음은 포름산(HCOOH)과 아세트산(CH3COOH)이 25℃ 수용액에서 이온화될 때의 반응식을 나타낸 것이다. 각 반응의 이온화 상수(Ka) 값이 아래와 같다고 가정하자.

HCOOH    +  H2O   ⇌     HCOO-  +  H3O+,     Ka = 1.0 × 10-4.

CH3COOH  +  H2O   ⇌   CH3COO-  +  H3O+,     Ka = 1.0 × 10-5.

이때, 포름산과 아세트산 중 어느 것이 더 강한 산인지 설명하여라. 또한 각각의 산에 대한 짝염기 중 어느 것이 더 강한 염기인지 설명하여라.

(b) 수소이온 농도지수(pH)는 수용액의 산성과 염기성의 정도를 나타내는 일반적 수치로 사용된다. (a)에  제시된 이온화 상수 값을 이용하여 25℃에서 1.0 M(몰농도) 아세트산 수용액의 pH 값을 계산하고자 한다. 그 과정을 보여라.

(c) 아래의 예시된 화합물들로 25℃에서 각각 1.0 M 수용액을 만들었다고 하자. 각 화합물을 구성하는 원자들의 종류와 분자구조, 그리고 원자 간 결합의 특성을 이용하여 아래의 질문들에 대하여 각각 답하여라.

CH3COOH,    CF3COOH,    NH4OH,     HF,     HCl.

㉮ 수용액의 수소이온 농도지수(pH)가 가장 높은 것은 무엇인지 답하고 그 이유를 설명하여라.

㉯ 위에 제시된 화합물 중 가장 강한 산은 무엇인지 답하고 그 이유를 설명하여라.

㉰ CH3COOH와 CF3COOH 수용액 중 어느 수용액의 산성이 더 높은지 답하고 그 이유를 설명하여라.

(d) 다음은 벤젠(C6H6)이 질산(HNO3) 또는 황산(H2SO4)과 각각 반응하였을 때 일어나는 니트로화 반응과 술폰화 반응에 대한 예시이다. 각 반응에 의한 주 생성물의 분자구조를 그림으로 나타내고, 그 특성을 산성, 염기성, 중성 등으로 판별하여라.

㉮ C6H6 + HNO3   [eqn: REL -> {진한`H _{2} SO _{4}} {가열}]  (      )  +  H2O. (참고: 니트로화 반응에서 H2SO4는 촉매로만 작용)

㉯ C6H6 + H2SO4     [eqn: REL -> {SO _{3}} {가열}]     (      )  + H2O.

[문제 5] 다음 제시문 [가]-[나]를 읽고 물음에 답하여라.

[가] 산소는 혈액의 적혈구에 존재하는 헤모글로빈과 결합하여 폐로부터 조직으로 전달된다. 아래 그림은 pH와 CO2의 분압이 서로 다른 세 가지 조건에서 측정한 헤모글로빈과 산소의 결합 정도를 산소해리곡선으로 나타낸 것이다.

[나] 아래 그림은 각각 산소를 운반하는 단백질인 미오글로빈의 구조와 헤모글로빈의 구조, 그리고 산소해리곡선을 보인 것이다. 미오글로빈과 헤모글로빈은 모두 철을 포함한 헴 색소분자를 이용하여 산소를 운반한다. 하지만 미오글로빈은 한 개의 폴리펩티드 사슬로 이루어져 있어 한 개의 산소와 결합할 수 있고, 헤모글로빈은 4개의 폴리펩티드 사슬로 이루어져 있어 총 4개의 산소와 결합할 수 있다. 또한, 미오글로빈과 헤모글로빈의 산소해리곡선을 비교하면, 미오글로빈과 다르게 헤모글로빈은 S자형의 곡선을 갖는 특성이 있음을 알 수 있다.

(a) 제시문 [가]에 의거하여, pH와 CO2분압의 변화가 헤모글로빈과 산소의 결합에 주는 영향을 설명하여라.

(b) 문제(a)의 분석에 의거하여, 헤모글로빈이 폐로부터 격렬히 운동하는 근육조직에 산소를 운반할 때 주는 이점에 대해 설명하여라.

(c) 제시문 [나]에 의거하여, 산소분압이 75 mmHg 이하일 때 미오글로빈과 헤모글로빈 중 어느 쪽이 산소분자와 보다 강하게 결합하는지 설명하여라. 그리고 산소분압이 100 mmHg인 폐에서 산소분압이 25mmHg인 조직으로 산소를 운반한다면, 미오글로빈과 헤모글로빈 중 어느 쪽이 보다 많은 산소를 운반하는지 설명하여라.

(d) 헤모글로빈이 미오글로빈과 다르게 S자형의 산소해리곡선을 보이는 이유를 설명하여라.