2011학년도 서울시립대학교 자연계열 모의 논술고사 해설

1. 예시답안

[문제 1]

(1) [eqn: y'=2ax+b] 이므로 포물선위의 점 [eqn: (x_1 , y_1 )] 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

[eqn: y-y _{1}=(2ax_1 +b)(x-x_1 )]

이 식을 정리하면 다음과 같다.

[eqn: y=2ax _{1} x+bx-2ax _{1} ^{2} -bx _{1} +y _{1}]

이 식에 [eqn: y_1 =ax_1^2 +bx_1 +c] 를 이용하여 식을 변형하면 다음과 같다.

[eqn: y+y _{1} =2ax _{1} x+bx-2ax _{1} ^{2} -bx _{1} +2y _{1`}# `````````````````````=2ax _{1} x+bx-2ax _{1} ^{2} -bx _{1} +2(ax _{1} ^{2} +bx _{1} +c)# `````````````````````=2ax _{1} x+b(x _{1} +x)+2c]

최종적으로 양변을 2로 나누면 원하는 식을 얻게 된다.

(2) [eqn: y=ax ^{2} +b] 과 직선 [eqn: y=c+10] 를 [eqn: y]축으로 [eqn: -b] 만큼 평행 이동시키면 결국 문제는 [eqn: y=ax ^{2}] 과 [eqn: y=c-b+10]으로 둘러싸인 도형을 [eqn: y]축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하는 것이 된다. 따라서 [eqn: c+10 GEQ b]일 때, 부피V는 다음과 같다.

[eqn: V&= int _{0} ^{c-b+10} {pi `} x ^{2```} dy #&= int _{0} ^{c-b+10} {pi `} {y} over {a} dy #&= {pi } over {a`} LEFT [ {y ^{2}} over {2} RIGHT ] _{0} ^{c-b+10} #&= {(c-b+10) ^{2} pi } over {2a}]

또 [eqn: c+10<b] 인 경우에는 포물선과 직선이 만나지 않기 때문에 답을 0 또는 무한대로 해야 한다.

(3) (2)번처럼 평행이동을 시키고 대칭축과 빛의 경로선을 포함한 평면위에서만 생각하면 충분함으로 본질적으로 [eqn: xy]평면위의  포물선 [eqn: y=ax ^{2}]에서만 생각하면 된다.

포물선 위의 점 [eqn: (t,at ^{2} )] 에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2at]이고 따라서 그림에서 입사각을 [eqn: theta]라 하면 다음이 성립한다.

[eqn: tan theta = {1} over {2at}], [eqn: tan2 theta = {2tan` theta } over {1-tan ^{2} ` theta `} = {4at} over {4a ^{2} t ^{2} -1}]

따라서 반사경로 [eqn: l']의 기울기는 다음과 같다.

[eqn: {4a ^{2} t ^{2} -1} over {4at}]

따라서 직선 [eqn: l']의 방정식은 다음과 같다.

[eqn: y-at ^{2} = {4a ^{2} t ^{2} -1} over {4at} (x-t)]

이 식에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y= {1} over {4a}]이므로 [eqn: y]축과의 교점을 [eqn: \Q]라 하면 점[eqn: \Q]의 [eqn: y]-좌표가 [eqn: y= {1} over {4a}] 로 [eqn: t]의 값에 무관함으로 모든 [eqn: y]축과 평행한 빛의 경로가 Q를 통과하게 되고 원하는 결과를 얻게 된다.

[문제 2]

(1) 문제가 복잡해 보이지만 에너지 보존 법칙을 이용하는 단순 대입문제이다. 에너지 보존 법칙에 의해 다음 식이 성립한다.

[eqn: 1 over2 mv^2 = mgh]

여기서 m 은 사람의 질량과 자전거의 질량의 합이나, 양 변에서 상쇄되어 답에 영향을 미치지 않는다. 문제에 주어진 식에

[eqn: h = 0.80 m, ~~g = 10.0 m/{s^2 }]

을 대입하면

[eqn: v=root2gh =root16 m/s = 4.0 m/s]

실제 상황에서는 마찰에 의한 에너지 손실도 발생하고 에너지 일부가 바퀴의 회전 운동에너지로 전환되기 때문에 자전거의 속도는 이보다 약간 느려진다.

(2) 바퀴가 미끄러짐 없이 굴러간다면 자전거의 속력과 바퀴의 시간당 회전수 x는 다음 관계를 만족시킨다.

[eqn: v=2 pi R x]

또, 자전거 바퀴에서 발전기 바퀴로 운동이 전해질 때 선속력이 유지되므로 위 관계식은 발전기 바퀴에 대해서도 성립한다. 따라서, 원주율 [eqn: pi]를 3으로 계산하면 회전수 x는 다음과 같다.

[eqn: x approx {4m /s} over { 2 cdot 3 cdot 1.0 cm} approx67(rev / s)]

(원주율 [eqn: pi]를 [eqn: 3.1415 `cdots]로 계산하면 약 [eqn: 64 ``rev/s]를 얻는다.)

(3) 패러데이 법칙, 옴의 법칙, 줄의 법칙의 법칙은 다음과 같다.

패러데이 법칙 : [eqn: V = - N (ΔΦ/Δt)]

옴의 법칙 :  [eqn: V = I R]

줄의 법칙 : [eqn: P = V I = I^2 R = V^2 /R]

이 문제에서는 저항이 고정이 되어 있고 전압이 자전거 바퀴의 운동에 의해 발생하므로

[eqn: P = V^2 /R]

를 사용한다. 각 단계에서의 비례 관계를 따져 보면 다음 관계가 성립한다.

[eqn: P ~~PROPTO ~~V^2 ~~PROPTO~~ v^2 ~~PROPTO~~ h]

첫 단계는 줄의 법칙, 둘째 단계는 패러데이 법칙, 셋째 단계는 (1) 문항의 에너지 보존 법칙을 이용한 것이다. 따라서 빛의 밝기를 두 배로 하기 위해서는 언덕의 높이도 두 배가 되어야 한다.

[문제 3]

(1) 첫  번째와 두  번째 조건을 식에 대입하면 다음과 같다.

[eqn: ln P_1 = - { TRIANGLE H_vap } over {RT_1} +C ,~~ln P_2 = - { TRIANGLE H_vap } over {RT_2} +C]

여기서 두 식을 빼서 상수 [eqn: C`]를 제거하고 식을 정리하면 다음과 같다.

[eqn: ln P_2 over P_1 = { TRIANGLE H_vap } over {R} left( {T_2 - T_1 } over {T_1 T_2 } right)],   [eqn: P_2 = P_1 cdot e^ { { TRIANGLE H_vap } over {R} left( {T_2 - T_1 } over {T_1 T_2 } right) }]

(2) 단위를 통일하면 다음과 같다.

[eqn: T _{1} =17 DEG C=290K,] [eqn: T _{2} =27 DEG C=300K,]

[eqn: TRIANGLE H _{vap} =100kJ/mol=100,000J/mol ,] [eqn: R=10J/mol/K]

이 값을 (1)에서 얻은 식에 대입하면 [eqn: P_2 = P_1 cdot e^{100 over 87}] 이다.

(3)	H2O의 상변화도를 고려하면,

위의 상변화도의 정사각형 지점의 압력에 있던 얼음의 표면에 스케이트 날의 좁은 면적에

힘이 가해지고 압력이 갑자기 상승하여 원형표시 지점으로 상의 변화가 일어나게 된다.

따라서 고체로 있던 면이 액체가 되면서 미끄러지듯 흐르게 할 수 있다.

이러한 설명 외에도 고려할 수 있는 것으로는, 스케이트 날과 얼음의 마찰에 의하여 얼음

이 녹는다거나, 얼음 표면의 물분자는 얼음 내부 분자와는 달리 결합이 약해 액체와 유사

한 성질을 가지고 있다고 설명할 수도 있다.

[문제 4]

(1) (B)지역을 통과하는 혈액의 양이 1,200 mL/분 이고, 사구체를 통해 나오는 혈액의 양은 1,075 mL/분 이므로 사구체를 투과하여 (A)지역으로 나오는 여과액은 125 mL/분 이다. 따라서 하루에 (A)지역을 지나는 여과액의 양은 180 L이다.

1,200 mL/분 - 1,075 mL/분 = 125 mL/분,

125 mL/분 X 60 분/시 X 24 시/일 = 180 L/일

(2) 단백질 분해과정에서 생긴 노폐물은 요산과 요소임. 신동맥을 통해 보먼 주머니로 들어간 혈장에 포함된 요산과 요소가 오줌으로 분비 되고 여과된 원뇨에 있는 수분은 재흡수되어 혈액의 형태로 신정맥으로 들어오게 됨. 따라서, 신동맥에 신정맥보다더 많은 노폐물이  존재하게 됨.

이 문항은 다음 두 가지 사항을 묻는 문항임. (i) 단백질의 분해 산물이 요산이나 요소임. (ii) 일반적으로 정맥에 동맥보다 더 많은 노폐물이 존재함. 하지만, 신장의 경우는 일반적인 사실과는 다르게 신정맥에 포함된 노폐물의 농도가 신동맥 보다 낮음.

(3) 단백질은 건강한 사람의 경우에는 원뇨 (사구체를 통과한 여과액)나 오줌에는 존재하지 않음. (다)의 경우는 단백질이 8 g/100mL 존재하므로 (다)는 (B)지역을 통과하는 혈액의 성분이라고 할 수 있음. (나)의 경우는 (가)와 (다)에 비해 요산과 요소의 농도가 매우 높으므로 (C)지역을 통과하는 오줌의 성분임. (가)의 경우는 단백질이 존재하지 않고, 오줌에 없는 포도당이 존재하므로 사구체를 통과하고 (A)지역을 지나는 원뇨의 성분임.

(가)-(A),  (나)-(C),  (다)-(B)

(4) 본 문항은 생물학 I에서 나오는 내용의 사전 지식의 숙지 여부를 묻는 문제임. 물을 많이 마셔서 혈액의 농도가 낮아지면 뇌하수체에서 항이뇨 호르몬의 분비가 억제되어 신장에서 재 흡수되는 수분의 양이 감소하여, 오줌의 양이 증가하게 됨.

땀을 많이 흘리거나 충분한 수분을 섭취하지 못하여 몸속의 수분의 양이 줄어들면, 혈액의 농도가 높아지고, 이는 뇌하수체에서 항이뇨 호르몬의 분비를 촉진하게 됨. 항이뇨 호르몬이 신장을 자극하게 되면 신장에서 수분의 재흡수가 증가하여 오줌의 양이 감소하게 됨.

2. 문항별 우수답안

[문제 1]

[문제 2]

[문제 3]

(답안 예시 1)

(답안 예시 2)

(틀린 답안 예시 3)

(틀린 답안 예시 4)

[문제 4]

3. 채점 강평

[문제 1]

[1] 문항은 크게 세 개의 질문을 하고 있다.

(1) 간단한 미분을 이용한 접선을 구하라.

(2) 기본적인 회전체의 부피를 구하라.

(3) 빛의 반사와 포물선의 초점관계를 설명할 수 있는가?

모의 논술에 응시한 대부분의 학생들이 질문 (1) 에는 제대로 답하는 것을 볼 수 있었다.  질문 (2)에는 30-40% 정도의 학생들이 답을 구했다. 하지만 질문 (3)에 제대로 답한 학생은 거의 없었다.  질문 (1) 와 질문 (2)에 답을 하려면 충실하게 학교의 교과내용을 공부한 학생이면 쉽게 답을 구할 수 있는 문제이지만 적분구간이 구체적인 값이 아니라 상수 b,c를 사용하여 학생들이 약간 혼란을 겪는 것 같았다. 그리고  [eqn: c+10 GEQ b] 조건을 언급해야 바람직하지만 아주 잘하는 학생도 언급을 안 해서 조심성이 부족함을 느낄 수 있었다.

위에서 예시로 든 학생 답안지는 질문 (1), (2)와 질문 (3)에 정확히 답을 한 전체 풀이 중 1-2% 내외에 드는 답안지이다. 1번 문항 전체의 점수를 100점(30+30+40)으로 가정하면 질문 (1), (2), (3)  모두 합쳐 질문 (2)에서 조건 [eqn: c+10 GEQ b] 을 언급하지 않아서 5점 감점해서 95점을 받을 수 있는 답안지이다. 처음 생각보다 (1)번은 학생들이 잘 풀었고, (2), (3) 는 생각했던 ((3)번 처음 예상은 적어도 10%이상 예측) 것보다 정답자가 적어서 약간은 의외의 결과로 생각된다.

질문 (3)에 제대로 답을 한 학생들은 거의 없었다. 위의 답안지는 제대로 문제를 이해한 우수한 답안지이다.  대부분의 학생들은 질문 (3)에 대하여 간단하게 몇 줄로 설명을 하고 있었다. 아마도 무엇을 해야 하는 지 파악을 못한 것으로 추정이 된다.

대부분의 학생들이 (1)번 문항은 거의 맞고, (2)번 문항은 상당수가 거의 맞추고, (3)번 문항은 거의 틀리고해서 점수대는 100점 환산으로 보면 50점대에 대부분 몰려 있는 것을 볼 수 있다. 위 답안지는 95점으로 상위 1-2%내외에 들어가는 훌륭한 풀이로 생각된다.

학생들의 답안지들을 보면서 느낀 점은 많은 학생들이 계산 능력과 익숙한 문제풀이에 뛰어 나지만 반복훈련을 통해서 키워진 능력으로 보여 지고, 문제를 깊이 이해하고 주어진 문제를 자기 나름대로 소화한 후 풀어 나가는 능력이 많이 부족해 보인다. 특별히 자기의 주장을 확실한 근거 위에서 설명을 할 수 있어야 하는데, 비록 간단한 문제라도 그것을 설명하고 이해하는 논리적 사고 훈련과정이 많이 필요하다. 현 교과과정에서는 그러한 것들이 미흡할 수 밖에 없기 때문에 어쩔 수 없는 것으로 여겨진다.  현재의 사지선다형 교육체계를 다양한 방식으로 변화시켜야 하고, 학생들도 자기 주도적 문제풀이 능력을 자발적으로 계속 키워나가야 할 것이다.

[문제 2]

(1) 이 문제는 에너지 보존법칙을 이용하는 단순한 문제인 만큼 풀이를 시도한 대다수

학생들이 제대로 푼 것을 확인할 수 있었다. 다만, 에너지 보존법칙을 제대로 이해하지

않고 공식만 암기한 것으로 보이는 일부 학생들이 오답을 내기도 했다. 또한, 최종

답안을 적을 때 단위(속도는 m/s)를 명시하지 않는 실수를 저지르는 경우가 종종 있었다.

(2) 물리 I 교과과정에 회전 운동이 포함되어 있지는 않지만 많은 학생들이 상식적으로

선속도와 단위 시간당 회전수와의 관계를 잘 이해하고 있었다. 이러한 이해를 바탕으로

앞서 [2-1]문항에서 구한 선속도에 비례식을 적용하면 시간당 회전수를 쉽게 구할 수

있다.

답안을 검토하면서 흥미로웠던 점은 풀이를 시도한 학생들 중 절반 가까이가 언덕면의

거리와 자전거 바퀴가 실제로 회전한 숫자를 연계하려고 노력했다는 것이다. 그 중에는

정답을 얻지는 못했지만 논리적인 추론 능력이 돋보여 부분 점수를 최대한 주고 싶은

답안도 있었다. (이 문제는 중력에 의한 등가속 운동을 다루고 있으므로 언덕을 내려오는

동안의 평균속도로 문제를 풀면 정답의 절반 회전수를 얻게 된다.)

(3) 이 문제는 크게 두 가지 질문으로 나누어 생각할 수 있다.

첫째, 빛의 밝기가 일률(시간당 에너지)에 비례한다는 사실을 인지하고 있는가?

둘째, 일률과 기전력, 자전거의 회전수 등의 비례관계를 제대로 파악하고 있는가?

과반수의 학생들이 ‘밝기는 일률에 비례’라고 명시하고 풀이를 시작했으나 뚜렷한 근거

없이 ‘밝기는 기전력에 비례’ 또는 ‘밝기는 자전거의 에너지에 비례’라고 적은

학생들도 종종 눈에 띄었다.

두 번째 단계에서 가장 어려웠던 부분은 예상대로 ‘전기 저항이 일정하므로 일률은

기전력의 제곱에 비례’라는 사실이다. 이 부분을 제대로 파악하고 다른 부분에서도

실수하지 않아 완벽한 정답을 적어낸 학생들은 풀이를 시도한 전체 학생들 중 10%~20%

수준에 머무른 것으로 보인다.

[문제 3]

(1) 이 문항은 물질이 존재하는 계에서 상변화와 관련된 에너지의 출입을 이해하는 문항이다.

액체상의 물질을 증발시킬 때 요구되는 에너지가 계의 온도와 압력 조건에 따라서 어떠한

연관성을 가지고 있는지를 알아보고자 하였다. 다수의 학생들이 각각의 조건에서 주어진

것을 활용하여 결론에 도달하고 있음을 보였으며, 몰증발열의 개념을 이해하는 수준까지

의 학습을 잘 수행하고 있음을 보여준다. 하지만 일부 학생들의 경우 사용하는 단위( kJ

과 J)를 혼동하여 사용하는 경우가 나타났다.

답안 1, 2는 관계식을 정확하게 유도하는 완벽한 답안을 보여주고 있다.

(2) 이 문항은 (1)에서 나타낸 식에 주어진 조건 값들을 대입하여 조건2에서의 증기압력을 표

현하는 것으로 절대온도의 이해, 에너지를 나타내는 단위의 이해를 파악하고자하는 문항

이다. 몰증발열은 kJ의 단위로 주어졌고, 기체상수의 단위는 J로 주어졌기 때문에 이를

통일하여 사용하여야 올바른 결론에 도달할 수 있다. (1)의 식을 바르게 도출한 학생들

중에서 50% 정도의 학생들은 단위 사용에 있어서 혼동하고 있는 불완전한 답안을 제시하

였다.

답안 1, 2는 (1)에서 유도된 관계식에 주어진 조건에서의 값을 대입하여 정확한 값을 도

출하는 완벽한 답안을 보여주고 있다. 답안 3은 식의 유도는 정확했지만 단위의 혼동으로

틀린 답안의 예시를 보여주고 있다.

(3) 이 문항은 온도와 압력의 조건에 따라 상변화 나타내는 다양한 물질 중에서 H2O의 예를 통

하여 어떠한 경우에 상변화가 일어나는지를 실생활의 예를 들어 파악하는 능력을 시험하

는 문항이다. H2O는 고체-액체의 상이 변화하는 선의 기울기가 (x축: 온도, y축: 압력)

음으로 나타나며 따라서 일정온도에서 압력의 증가로 상이 변화되는 것을 알 수 있다.

대부분의 학생들이 H2O의 상변화도를 알고 있는 것으로 파악되었지만, 약 30%의 학생들은

상변화도에서 고체, 액체, 기체의 영역을 혼동하고 있는 것을 보였다.

답안 1, 2는 H2O의 상변화도를 정확하게 알고 있었으며 압력의 변화에 따른 고체-액체의

전이를 바르게 설명하였다. 답안 3, 4는 상변화도를 알고는 있지만, 각각의 상이 위치하

는 영역에서 혼동하고 있음을 보여주고 있다.

[문제 4]

본 문항은 우리 몸의 신장에서 수분의 감소를 최소화 하면서 노폐물이 제거되는 기본 지식을

묻는 문제임. 신동맥으로 들어온 혈액이 사구체와 세뇨관을 통과 하면서 노폐물은 분비되고 수분과 영양분은 재흡수 되는 원리를 알고 있으면 쉽게 풀 수 있는 문제라고 생각된다.

(1) 문항은 대부분의 학생들이 정답을 작성했다. 계산이나 단위의 환산에 어려움이 있는 학생

들을 제외하면, 쉽게 답을 작성하였음.  생물을 공부하지 않은 학생들도 숫자를 대입하여

이 문항을 풀 수 있었다.

(2) 생물을 배운 학생들은 쉽게 답을 적었지만, 그렇지 않은 학생들은 정맥이 동맥보다 CO2 가

많다는 일반적인 상식으로 오답을 적는 경우도 있었다.

(3) 문항은 대부분의 학생들이 표를 이용하여 답을 적었음. 하지만 본 문제도 신장이 하는 일

에 대한 일반적인 지식이 없는 학생들에게는 쉽지 않은 문제였다.

(4) 일반적인 생물 지식이 있는 학생은 쉽게 답안을 작성했지만, 생물을 배운 경험이 없는 학

생은 쉽게 답할 수 없었던 문제라고 여겨진다..