1. 2010학년도 서울시립대학교 자연계열 모의논술고사 예시답안

[문제 1]

정사면체의 한 변을 회전축으로 하여 회전시키면 (그림1) 아랫면 또는 윗면삼각형만 회전시켜주면 된다. 왜냐하면 두면 이외의 절단된 면은 이등변 삼각형으로 높이가 [eqn: {sqrt {3}} over {2}]보다 작기 때문에 (그림4) 한변의 길이가 1인 정삼각형을 회전시킨 입체로 간주하면 된다.

정육면체를 회전시킨 입체는 변의 길이가 1, [eqn: sqrt {2}]인 직사각형을 길이 1인 변을 회전축으로 하여 회전시킨 입체로 간주할 수 있다. 왜냐하면 다른 절단면은 직사각형은 되지만 한변의 길이가 [eqn: sqrt {2}]보다 작다는 것을 알 수 있다 (그림2).

길이 1인 정팔면체를 회전 시키면 한 변의 길이가 1인 정사각형을 회전시킨 입체로 볼 수 있다. 왜냐하면 다른 절단면은 등변사다리꼴로 윗변의 길이는 1보다 작고, 사다리꼴의 높이는 정삼각형의 높이 [eqn: {sqrt {3}} over {2}] 부터 정사각형의 높이 1까지 직선을 따라 증가하므로 (그림5) 높이는 1보다 작게 된다. 정팔면체의 다른 변을 회전축으로 하여 회전시키면 정팔면체의 대칭성에 의하여 여전히 같은 입체가 나오게 된다.

결론적으로 정사면체는 길이가 1인 정삼각형을 회전시킨 것이고, 정팔면체는 길이가 1인 정사각형을 회전시킨 것이고, 정육면체는 길이가 1, [eqn: sqrt {2}]인 직사각형을 회전시킨 것이다.

정사면체 회전입체 부피는 원뿔 2개를 붙인 것으로 볼 수 있어서 [eqn: 2 TIMES {1} over {3} ( pi ( {sqrt {3}} over {2} ) ^{2} ) {1} over {2} ={pi} over {4}]

이고 정팔면체 회전입체 부피는 반지름과 높이가 1인 원기둥으로 부피가 [eqn: pi] 가 된다.

정육면체 회전입체 부피는 반지름[eqn: sqrt {2}], 높이가 1인 원기둥으로 부피가 2[eqn: pi] 가 된다.

[문제 2]

(2-1) 삼각형[eqn: \ABC]의 무게중심이 [eqn: left(1 , 0 right)]이므로 [eqn: x_1 +x_2 +x_3 =3 ,~ y_1 +y_2 +y_3 =0]이다.

따라서 다음이 성립한다.

[eqn: (x_1 +x_2 )^2 +(y_1 +y_2 )^2 =(3-x_3 )^2 +( -y_3 )^2],

[eqn: x_1^2 +x_2 ^2 +2x_1 x_2 + y_1^2 + y_2^2 +2 y_1 y_2 =9-6x_3 + x_3^2 +y_3^2],  [eqn: x_1 x_2 +y_1 y_2 =-3x_3],

[eqn: y _{1} y _{2} =-3x _{1} -x _{1} x _{2} =-3(3-x _{1} -x _{2} )-x _{1} x _{2} =-(3-x _{1} )(3-x _{2} )]

[방법1]

같은 방법으로 [eqn: y _{1} y _{3} =-(3-x _{1} )(3-x _{3} ),~~y _{2} y _{3} =-(3-x _{2} )(3-x _{3} )]이므로

[eqn: y _{1}^2 y_2^2 y _{3}^2 =-(3-x _{1} ) ^2 ( 3- x_2 )^2 (3-x _{3} )^2], [eqn: y _{1} y_2 y _{3} =(3-x _{1} ) ( 3- x_2 ) (3-x _{3} )=0]

이다. 따라서 [eqn: x_1 =3]또는 [eqn: x_2 =3]또는 [eqn: x_3 =3]이다.

[eqn: x_1 =3]이면 [eqn: y_1 =0]이고 [eqn: x_2 +x_3 =0 ,~y_2 +y_3 =0]이므로 [eqn: (x_2 , y_2 ) = (-x_3 , -y_3 )]이다. 따라서 선분[eqn: \BC]가  원 [eqn: x^2 +y^2 =9]의 지름이다.

같은 방법으로 [eqn: x_2 =3]이면 선분[eqn: \AC]가, [eqn: x_3 =3]이면 선분[eqn: \AB]가 원 [eqn: x^2 +y^2 =9]의 지름이므로 삼각형[eqn: \ABC]는 직각삼각형이다.

[방법2]

따라서 [eqn: (9-x_1^2 )(9-x_2^2 )= y _{1}^2 y _{2}^2 =(3-x _{1} )^2 (3-x _{2} )^2]이므로 다음이 성립한다.

[eqn: (3-x_1 )(3+x_1 )(3-x_2 )(3+x_2 ) =(3-x _{1} )^2 (3-x _{2} )^2]

[eqn: (3-x_1 )(3-x_2 ) left{(3+x_1 )(3+x_2 )- (3-x _{1} ) (3-x _{2} ) right}=0]

[eqn: (3-x_1 )(3-x_2 ) (3-x_3 )=0]

[eqn: x_1 =3]이면 [eqn: y_1 =0]이고 [eqn: x_2 +x_3 =0 ,~y_2 +y_3 =0]이므로 [eqn: (x_2 , y_2 ) = (-x_3 , -y_3 )]이다. 따라서 선분[eqn: \BC]가  원 [eqn: x^2 +y^2 =9]의 지름이다.

같은 방법으로 [eqn: x_2 =3]이면 선분[eqn: \AC]가, [eqn: x_3 =3]이면 선분[eqn: \AB]가 원 [eqn: x^2 +y^2 =9]의 지름이므로 삼각형[eqn: \ABC]는 직각삼각형이다.

(2-2) [eqn: x_1 =3]이면 [eqn: y_1 =0]이고 [eqn: (x_2 , y_2 ) = (-x_3 , -y_3 )]이므로 다음이 성립한다.

[eqn: |x_1 | +|x_2 | + |x_3 | +|y_1 |+|y_2 |+|y_3 |=3 +2( |x_2 | + |y_2 | )]

[방법1] [eqn: x_2^2 +y_2^2 =9]이므로  [eqn: |x_2 | = 3 cos t ,~|y_2 |= 3 sin t ``left(0 le t le pi over2 right)]라 하면

[eqn: |x_2 |+|y_2 | = 3 (cost + sint) = {3 root2} {\sin} {left( t + pi over4 right)}]

이므로 [eqn: |x_2 |+|y_2 |]의 값의 범위는 [eqn: left [3, ```3root2 `right]]이다.

따라서  [eqn: |x_1 | +|x_2 | + |x_3 | +|y_1 |+|y_2 |+|y_3 |]의 값의 범위는 [eqn: left [9, ```3+ 6root2 `right]]이다.

[eqn: x_2 =3] 또는 [eqn: x_3 =3]인 경우도 같은 방법으로 값의 범위는 [eqn: left [9, ```3+ 6root2 `right]]이다.

[방법2] [eqn: x^2 +y^2 =9,``x ge0, ``y ge 0], [eqn: x+y= k]라 하자. 직선 [eqn: x+y= k]가 점(3,0)을 지날 때 [eqn: x+y]는 최솟값 3, 직선 [eqn: x+y= k]가 [eqn: x^2 +y^2 =9]과 점 [eqn: left( 3 over root2 , 3 over root2 right)]에서 접할 때 최댓값 [eqn: 3 root2]을 갖는다. 따라서 [eqn: x+y]의 값의 범위는 [eqn: left [3, ```3root2 `right]]이므로

[eqn: |x_1 | +|x_2 | + |x_3 | +|y_1 |+|y_2 |+|y_3 |]의 값의 범위는 [eqn: left [9, ```3+ 6root2 `right]]이다.

[eqn: x_2 =3] 또는 [eqn: x_3 =3]인 경우도 같은 방법으로 값의 범위는 [eqn: left [9, ```3+ 6root2 `right]]이다.

(2-2) 삼각형[eqn: \ABC]의 무게중심을 [eqn: {\G}(a,b)] ( [eqn: a^2 +b^2 =1]), [eqn: {\O}(0,0),~{\T}(1,0)]라 하고 [eqn: ANGLE \GOT = theta]라고 하자. 또 세 점 [eqn: \A,~B, ~C]를 원점을 중심으로 시계방향으로 각각 [eqn: theta]만큼 회전이동 시킨 점을 [eqn: \A' ,~B' ,~ C']이라고 하자. 이때, 삼각형[eqn: \A'B'C']의 무게중심이 [eqn: left(1 , 0 right)]이므로 (1)에서 보인 바에 의하여 삼각형[eqn: \A'B'C']는 직각삼각형이다. 그런데 삼각형[eqn: \ABC]와 삼각형[eqn: \A'B'C']이 합동이므로 삼각형[eqn: \ABC]도 직각삼각형이다.

[문제 3]

(3-1) 구슬의 역학적 에너지는 최고점에서 [eqn: E_i = 0 + mg(l+R) (1 - cos theta)]이고 충돌 전에 [eqn: E_f = {1}over{2} m v^2 + 0] 이다.

에너지 보존에 의해 [eqn: E_i = E_f ~~~ Rightarrow ~~~][eqn: v = sqrt{ 2g (l+R)(1-cos theta )}] 이다.

(3-2) 충돌 후에 [eqn: n]개의 구슬이 각각 [eqn: 0 <v_1 leq v_2 leq cdots leq v_n] 의 속력으로 튕겨져 나왔다고 가정하자.

충돌 전 후의 운동량 보존법칙과 에너지 보존법칙에 따라

[eqn: mv = sum_{k=1}^{n} m v_k]   ,   [eqn: {1}over{2} mv^2 = sum_{k=1}^{n} {1}over{2} m v_k^2]

편의상 [eqn: w_k = v_k / v] 와 같이 정의하면 [eqn: w_k] 는 아래의 식을 동시에 만족해야 한다.

[eqn: sum_{k=1}^n w_k = 1]   ,   [eqn: sum_{k=1}^{n} w_k^2 = 1]

두 식의 차를 계산하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

[eqn: sum_{k=1}^n w_k (w_k - 1) = 0]

모든 [eqn: k]에 대해서 [eqn: w_k (w_k - 1) leq 0]이다. 따라서 전체 합이 0 이 되기 위해서는 각각의 항이 모두 0이 되어야 한다. ⇒ [eqn: w_k = 0] or [eqn: 1]

한편, 모든 [eqn: w_k]의 합은 1 이다. 따라서 오직 한 개의 공이 [eqn: v]의 속력으로 튕겨져 나간다.

(3-3) 충돌 후에 [eqn: n]개의 구슬이 각각 [eqn: v_1 leq v_2 leq cdots leq v_n] 의 속력으로 튕겨져 나왔다고 가정하자. 편의상 [eqn: w_k = v_k / v] 와 같이 정의한다. 운동량 보존법칙에 의해 다음의 관계식을 얻는다.

[eqn: mv = sum_{k=1}^{n} m v_k]   ⇒  [eqn: sum_{k=1}^n w_k = 1]   ---(3-a)

운동에너지의 손실 때문에 다음과 같은 관계식을 얻는다.

[eqn: sum_{k=1}^{n} {1}over{2} m v_k^2 = r{1}over{2} mv^2]   ⇒   [eqn: sum_{k=1}^{n} w_k^2 = r] --- (3-b)

이 때 [eqn: r]은 0 과 1 사이의 실수이고, 남은 에너지의 비율이다.

- (n=1)인 경우:

위의 두 식을 만족하는  존재하지 않는다. 따라서 한 개의 구슬만이 튕겨나가는 것은 불가능하다.

- (n=2)인 경우:

위의 식은 [eqn: w_1 + w_2 = 1 ```,``` w_1^2 + w_2^2 = r] 이다. 이 식은 만족하는 해는 2차 방정식 [eqn: w^2 -w + {(1-r)}over{2} = 0]의 해이다. 이차 방정식이 두 개의 실근을 갖기 위해서는 [eqn: D = 1-2(1-r) ge 0] ⇒ [eqn: r le 1/2]

∴ 남은 에너지의 비율이 1/2 이하이면 두 개의 구슬이 튕겨나가는 해가 존재한다.

[이 경우는 도형을 이용하여 아래 그림에서와 같이 풀 수 있다.]

- 일반적인 경우 :

[eqn: sum_{k=1}^n (w_k - 1/n)^2 ge 0] 이다. 이 식을 전개하면 [eqn: ( sum_{k=1}^n w_k^2 ) - (2/n) sum_{k=1}^n w_k + 1/n ge 0] .식 (3-a), (3-b)를 적용하면 [eqn: r ge 1/n] 이 성립함을 알 수 있다.

∴ 튕겨나가는 구슬의 개수는 [eqn: n ge 1/r] 이어야 한다. 즉, 에너지의 손실이 많을수록 더 많은 수의 구슬이 튕겨 나간다.

[문제 4]

(4-1) 신경세포에서 신경물질이 분비 되는 것과 유사한 형태로 이미 만들어져 있는 인슐린이 소포에 저장되어 있다가 혈당이 높아지면 혈액내로 분비되게 됨. 따라서 전사과정을 통한 인슐린 단백질의 합성 없이도 빠른 시간에 인슐린의 양의 조절이 가능함.

(4-2) 체중감소: 에너지원으로 사용되는 포도당이 세포에 흡수되어 저장된 형태로 있다가 필요할 때 사용되어야 하는데, 당뇨병 환자의 경우는 세포내 흡수가 일어나지 않아서 에너지가 필요할 때는 세포의 단백질과 지방을 분해하여 에너지원으로 사용하게 됨. 이런 현상이 지속되면 체중의 감소가 일어나게 됨.

고혈압의 악화: 혈액내의 포도당의 농도가 높아지면 혈액의 점성이 증가되어 혈액 순환이 느려지게 됨. 혈액이 필요한 조직에 충분한 양의 혈액을 전달하기 위해서는 심장에서 혈액을 방출하는 압력이 높아지게 됨. 따라서 고혈압이 더욱 심해지는 증상이 나타나게 됨.

눈이 잘 보이지 않는 증상: 혈액 순환이 잘 일어나지 않기 때문에 눈에 있는 신경세포에 퍼져있는 혈관에 혈액의 공급이 잘 일어나지 않게 됨. 눈 주위에 있는 신경세포에 산소 및 영양분의 공급이 잘 일어나지 않게 됨으로써 신경세포가 죽게 되어 눈이 잘 보이지 않는 현상이 일어남.

(4-3) 현재 사용하는 제 2형 당뇨병에 대한 약제는 1. 인슐린의 분비를 촉진. 2. 인슐린 민감성의 증진 등을 조절함에 의해 병을 조절함 . 인슐린에 의해 여러 단백질의 발현이 조절되거나 활성화 되는데, 제 2형 당뇨병 환자에서는 이런 현상이 잘 안 일어남. 따라서 인슐린에 의해 활성화되는 단백질을 활성화 시키는 인슐린 대용 약제를 처리하여 혈당을 조절하는 치료제 개발등과 같은 제안을 할 수 있음.

(4-4) 아래 표에서 나타낸 내용과 유사한 논점에서 각자의 생각을 논리적으로 기술하면 됨.