	2010학년도 서울시립대학교 수시모집 논술고사 문제지(자연계열)

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※ 풀이과정을 반드시 기술할 것. 기술의 형식과 내용은 평가의 주요한 요소임.

※ 총 6 문제임. 각 문제의 배점은 동일함.

[문제 1]

반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정[eqn: n]각형이 있다. 이 정[eqn: n]각형을 둘레의 길이와 같은 길이의 실로 한 바퀴 감았다. 이 때, 실의 한 쪽 끝은 한 꼭짓점에 고정이 되어 있다. 정[eqn: n]각형과 같은 평면 위에서 실을 팽팽한 상태로 유지하면서 실 전체가 최초로 직선이 되는 순간까지 풀었을 때, 실의 다른 끝점이 움직인 거리를 [eqn: L_n]이라고 하자.

(a) 아래 그림은 정사각형의 경우를 보여준다. [eqn: L_4]를 구하여라.

(b) [eqn: L_n]을 구하여라.

(c) 정[eqn: n]각형을 반지름의 길이가 1인 원으로 바꾸었을 때, 실의 끝점이 만드는 곡선의 길이를

구하여라.

[문제 2]

개구간 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ``,`` {pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: F(x)=`sin`x]의 역함수를 [eqn: `G(x)]라고 하고, 개구간 [eqn: (-2``,2``)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=2`sin LEFT ( {pi x} over {4} RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 하자.

(a) [eqn: g(1)]과 [eqn: h(`g( sqrt {2} ))]의 값을 구하여라. 여기서 [eqn: h(x)]는 개구간 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ``,`` {pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 [eqn: tan`x]의 역함수이다.

(b) 함수 [eqn: G]를 이용하여 [eqn: g(x)]를 나타내어라. 그리고 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 그래프 개형을 그려라.

(c) 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.

(d) 함수 [eqn: g(x)]의 도함수를 구하여라.

[문제 3]

[eqn: a _{1} `=`6`,`b _{1} `=`3]인 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } , LEFT { `b _{n} RIGHT } `]은 다음의 관계를 만족시킨다.

[eqn: a_n+1 = 2a_n +2b_n],  [eqn: b _{n+1} =a _{n} +3b _{n}]   [eqn: (``n`=`1,`2,`3`, ``CDOTS ``)].

(a) [eqn: {pmatrix{``a _{n+1}#``b _{n+1}`}`} `=`A`` {pmatrix{`a _{n}#```b _{n}``}}]을 만족시키는 2차 정사각행렬 [eqn: A]를 구하여라.

(b) [eqn: `A ``pmatrix {`` x``#`` 1`` } = lambda ``pmatrix {`` x``# ``1`` }]을 만족시키는 [eqn: lambda, ``x]의 순서쌍 [eqn: (lambda, ``x)]를 모두 구하여라.

(c) [eqn: `A ``pmatrix {`` x``# ``1`` }`` = lambda ``pmatrix { ``x``# ``1`` }]이면 [eqn: `A^n`` pmatrix {`` x``# ``1`` } = lambda ^n`` pmatrix { ``x``# ``1`` }]이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.

(d) [eqn: A^n]과 [eqn: a_n], [eqn: b_n]을 구하여라.

[문제 4]

물체가 서로 힘을 주고받아 각각의 운동량에 변화가 생기는 현상을 충돌이라고 한다. 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 물체의 총운동량은 항상 일정하게 보존된다. 이를 운동량 보존 법칙이라고 한다. 유한한 크기의 외력이 작용하고 있을 때에도, 충돌이 매우 짧은 시간 동안에 일어난다면 충돌 직전의 총운동량과 충돌 직후의 총운동량은 서로 같다. 운동량과는 달리   운동에너지는 충돌의 조건에 따라 보존될 수도 있고 보존되지 않을 수도 있다. 충돌 가운데 운동에너지가 보존되는 충돌을 완전탄성충돌이라고 한다. 다음의 각 실험은 직선 위에서 일어나는 일차원 충돌 과정이다. 모든 충돌은 완전탄성충돌이고, 마찰 등에 의한 에너지 손실은 없다고 가정하자.

(a) 질량 [eqn: M`` \(kg)]인 물체 [eqn: A]가 [eqn: V`` \(m/s)]의 속도로 움직이다가 정지해 있던 질량 [eqn: m `` \(kg)]인 물체 [eqn: B]와 충돌하였다. 충돌 후 두 물체의 속도 [eqn: V`' ``\(m/s)], [eqn: v' ``\(m/s)]를 구하여라. 질량이 [eqn: m<M], [eqn: m=M], [eqn: m>M] 일 때 물체의 운동속성을 각각 논하여라.

(b) 질량 [eqn: M`` \(kg)]인 물체 [eqn: A]가 [eqn: V`` \(m/s)]의 속도로 움직이다가 질량 [eqn: m `` \(kg)]이고 속도 [eqn: v `` \(m/s)]인 물체 [eqn: B]와 충돌하였다. 충돌 후에 두 물체의 속도 [eqn: V`' ``\(m/s)], [eqn: v' ``\(m/s)]를 구하여라. 질량비 [eqn: m/M] 이 0으로 수렴할 때 각각의 속도의 극한값을 구하여라.

(c)  중력가속도가 g[eqn: \(m/s ^{2} )]로 일정한 지표면 근처에서, 질량 [eqn: M ``\(kg)]인 물체 [eqn: A]와 질량 [eqn: m``\(kg)]인 물체 [eqn: B]를 포개어 놓고 지면 위 높이 [eqn: h `` \(m)]인 곳에서 정지된 상태에서 떨어뜨린다. 물체는 지면에서 충돌한 후에 다시 튀어오를 것이다. 단, 물체는 지면과 수직한 직선 위에서만 운동한다. 지면근처에서의 충돌과정에 대해   다음과 같이 가정한다.

가정: 물체 [eqn: A]와 지면의 충돌이 끝난 직후

물체 [eqn: A]와 [eqn: B]의 충돌이 일어난다.

질량비 [eqn: m/M`]이 0으로 수렴할 때 두 물체가 튀어 오르는 최고 높이를 원래의 높이와 비교하여 논하여라. 또한 충돌에 관한 가정이 타당할 조건에 대해 논하여라.

[문제 5]

탄화수소란 탄소화합물 중에서 탄소와 수소만으로 이루어진 물질을 말한다. 이 중 탄소 사이의 결합이 단일결합으로만 이루어진 것은 포화 탄화수소, 이중결합이나 삼중결합이 포함된 것은 불포화 탄화수소이다. 우리는 일상생활에서 사용하고 있는 대부분의 에너지를 포화 탄화수소로부터 얻고 있다. 예를 들면 가정용 연료로 사용하고 있는 LNG의 주성분인 메탄(CH4), 자동차의 연료로 쓰이는 LPG의 주성분인 프로판(CH3CH2CH3) 및 부탄(CH3CH2CH2CH3) 등은 대표적인 저분자량의 포화 탄화수소이다.

탄소화합물을 에너지원으로 활용하기 위해서는 가스레인지나 자동차의 내연기관 등에 의한 연소 화학반응이 필요하다. 이 반응에 의해 원자들 사이의 결합이 끊어지고 새로운 결합이 형성되어 다른 물질로 변하게 된다. 이때 원자들 사이의 화학결합이 끊어지기 위해서는 충분한 에너지가  필요하며, 반대로 새로운 결합이 형성될 때는 에너지가 방출된다. 따라서 화학반응 시 출입하는 에너지는 생성물질과 반응물질의 결합에너지 차이로부터 구할 수 있으며, 이 에너지 차이가 외부에서 측정 가능한 반응열이다.

반응열 = (생성물질의 결합에너지 총합) - (반응물질의 결합에너지 총합)

(a) 메탄과 프로판이 완전 연소되는 각각의 화학반응식을 구하여라.

(b) 400K의 온도와 1기압의 압력이 일정하게 유지되는 반응기에서 저분자량의 탄화수소를 완전 연소시킨다 하자. 이때 반응기의 부피변화에 영향을 줄 수 있는 인자를 다음 가정 하에 설명하고, 1몰의 메탄과 프로판의 연소반응에 따른 부피변화를 각각 구하여라.

[가정 1] 반응열에 의한 부피변화는 무시한다.

[가정 2] 반응기 내의 기체는 이상기체 거동을 한다. 예를 들면, 1기압 300K에서 이상기체

1몰의 부피는 24.6[eqn: \L]이다. 이상기체의 기체상수 값은 [eqn: 0.082 {\atm cdot L} over {\mol cdot K}]이다.

(c) 1몰의 메탄이 완전 연소되는 화학반응에서 흡수되거나 방출되는 반응열을 다음의 원자간 결합에너지 데이터를 이용하여 구하여라.

결합의 종류	C-H	O=O	O-H	C=O
결합에너지(kJ/mol)	410	500	460	800

또한 계산된 반응물과 생성물의 에너지 관계로부터 반응진행에 따른 에너지 변화를 그래프로 나타내어라.

[문제 6]

난자와 정자가 결합하기 위해서는 난자와 정자에 있는 단백질의 결합이 필요하다. 아래 그림은 난자를 둘러싼 막에 있는 단백질 중 어떤 것이 난자와 정자가 결합하기 위해서 필요한지를  알아보는 실험을 단계별로 보여주고 있다.

그림 설명. (가) 용기에 배양액을 넣는다.

(나) 배양액에 소량의 정자를 첨가한 후 2시간 동안 배양한다.

(다) 난자를 첨가하고 2시간 동안 배양하여 정자가 난자에 결합하도록 한다.                 (라) 정자가 결합한 난자를 배양액으로 씻어서 약하게 결합한 정자를 제거하고

한 개의 난자에 강하게 결합한 정자의 평균 개수를 구한다.

(a) 난자의 막에 있는 어떤 단백질이 정자와의 결합에 중요한 역할을 하는지 알아보기 위해 난자의 막에서 분리한 단백질 A, B, C를 (나)의 단계 후에 첨가하고 2시간 추가로 배양 후, (다)와 (라)의 단계를 진행하였다. 아래 그래프는 난자에 강하게 결합한 정자의 수를 측정한 실험 결과를 나타낸 것이다. 그래프에서 가로축은 첨가한 단백질의 상대적인 양이고, 세로축은 단백질을 첨가하였을 때 결합한 정자의 수 [eqn: m]과 단백질을 첨가하지 않았을 때 결합한   정자의 수 [eqn: n]의 비[eqn: LEFT ( {m} over {n} RIGHT )]를 백분율로 나타내었다. 아래 실험 결과로 미루어 볼 때, A, B, C 중 어떤 단백질이 난자와 정자의 결합에 영향을 미치는지를 결정하고 그 이유를 설명하여라.

(b) (다)의 단계 후 난자의 막에서 분리한 단백질 A, B, C를 첨가하였다. 그 후 2시간 추가로 배양하고, (라)의 단계를 수행할 경우 얻을 수 있는 실험 결과를 (a)에서와 같은 그래프   형식으로 표시하고 그 이유를 설명하여라.

(c) 많은 경우에 막에 있는 단백질에 당(sugar) 사슬이 붙어서 그 단백질이 다른 단백질과   결합할 수 있는 적절한 형태를 만든다. 위에서 사용한 단백질 A, B, C 중에 정자와 결합하는데 관여하는 단백질은 당 사슬이 붙어있어서 결합에 적합한 형태를 갖는다고 알려져 있다.  만약 당 사슬을 제거하고 정제한 단백질 A, B, C를 (나) 단계 후에 첨가하고, (다)와 (라)의 단계를 수행할 경우 얻을 수 있는 실험 결과를 (a)에서와 같은 그래프 형식으로 표시하고 그 이유를 설명하여라.

(d) (a)의 실험 과정 중 (나)의 단계에서 소량의 정자를 넣지 않고 훨씬 많은 수의 정자를 사용할 경우 나타날 수 있는 문제점을 설명하여라.