	2009학년도 서울시립대학교 수시2학기-1 논술고사 문제지(자연계열)

※ 풀이과정을 반드시 기술할 것. 기술의 형식과 내용은 평가의 주요한 요소임.

※ 각 문제의 평가 반영비율: 문제 1 (50%), 문제 2 (25%), 문제 3 (25%)

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[문제 1-1]

가로, 세로, 높이가 각각 [eqn: `` sqrt {3} ,``1`,```1] 인 직육면체 모양의 그릇이 지면 위에 놓여 있고 그 안에는 물이 가득 차 있다. 아래의 그림과 같이 길이가 1인 밑변 하나가 지면에 고정된 채 천천히 기울여져서 물이 밖으로 흘러나가고 있다. 밑면과 지면이 이루는 각이 [eqn: theta]일 때, 그릇에 남아있는 물의 양과 수면의 면적을 각각 [eqn: V( theta )], [eqn: S( theta )]라고 하자. [eqn: theta]에 관한 함수 [eqn: V( theta )], [eqn: S( theta )]의 미분가능성을 조사하고 (단, [eqn: 0< theta < {pi } /{2}]), 미분 가능한 [eqn: theta]의 범위에서 각 함수의 미분계수를 구하여라.

[eqn: theta]

[eqn: sqrt {3}]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: sqrt {3}]

[eqn: ~1]

[문제 1-2]

평면 위의 세 점 [eqn: P`,`Q`,`R``]이 각각 등속도 운동을 하고 있다.

(a) 세 점이 만드는 삼각형의 면적은 시각 [eqn: t``]의 함수로

[eqn: LEFT . A(t)=`` LEFT | ```l``t ^{2} +m``t+n`` RIGHT | ```` RIGHT .]

와 같이 나타낼 수 있음을 설명하여라. (단 [eqn: l,``m,``n]는 적당한 실수).

(b) 시각 [eqn: t=0,`1,`2`]에서 삼각형의 면적이 아래와 같이 주어졌을 때, [eqn: A(3)]의 값을 구하여라.

[eqn: t]	0	1	2
[eqn: A(t)]	2	0	4

[문제 1-3]

(제시문)

실수의 곱셈에 관한 성질 중에는 행렬의 곱셈에서는 성립하지 않는 것들이 있다. 대표적인 예로 행렬의 곱셈은 교환법칙을 만족하지 않는다. 그 결과 임의의 실수 [eqn: a,``b]에 대하여 등식  [eqn: (a+b) ^{2}~```=~a ^{2} +2ab+b ^{2}] 은 항상 성립하는 반면, 정사각행렬 [eqn: A,`B``]에 대하여 [eqn: (A+B``) ^{2} ``=A ^{2} +][eqn: 2AB+B ^{2}]은 항상 성립하지는 않는다.

또 다른 예로서 0이 아닌 두 실수의 곱은 항상 0이 아니지만, 영행렬이 아닌 두 정사각행렬의 곱은 영행렬이 될 수 있다. 따라서 [eqn: a ^{2} -1=(a-1)(a+1)=0]을 만족하는 실수 [eqn: a]는 [eqn: 1,``-1] 밖에 없지만, [eqn: A ^{2} -I````=`(A-I``)(A+I``)=O``]을 만족하는 정사각행렬 [eqn: A]는 [eqn: I``]와 [eqn: -I``]외에 다른 것이 존재할 수 있다([eqn: I``]는 항등행렬, [eqn: O``]는 영행렬).

(문제)

다음 물음에 답하여라. 아래에서 [eqn: A,``B``] 는 이차 정사각행렬을 나타낸다.

(a) 임의의 [eqn: B``]에 대하여 [eqn: (A+B``)(A-B``)``=`A ^{2} -B ^{2} ``]를 만족하는 [eqn: A`]는 [eqn: k``I] ([eqn: k``]는 임의의 상수) 형태임을 보여라.

(b) [eqn: AB````=O``]이 되는 영행렬이 아닌 [eqn: B``]가 존재하기 위해서는 [eqn: A]가 어떤 조건을 만족해야 하는 지 알아보고, 이를 행렬을 이용한 연립방정식의 문제와 연관하여 유도하여라.

[문제 2-1]

(제시문)

(가) 점전하 로부터 만큼 떨어진 지점의 전위 은 다음과 같다.

[eqn: V(r)=k_{ e } { Q } over { r }]

여기서 는 쿨롱상수이다.

(나) 아래 그림과 같이 총 전하량 가 균일하게 분포된 반지름이 [eqn: a]인 고리에 대하여 중심점으로부터 거리  (고리와 수직 방향)에 있는 점 에서의 전위를 구해 보자.

총 전하량 를 미소 전하량  조각들의 합으로 볼 수 있고, 이 때 고리의 미소 선분 [eqn: a`d theta] 가 갖는 전하량 는 전하량의 비례관계에 의하여 다음과 같다.

[eqn: dQ= lambda ``ad theta = {Q} over {2 pi a} ``ad theta =Q `` {d theta } over {2 pi } `]

여기서 를 전하량의 선밀도라고 부른다.

이 미소 전하량  조각에 의한 미소 전위 를 구한 후, 구분구적법을 적용하면 전위가 다음과 같이 얻어진다.

[eqn: V(x)= int from { } to { } { dV=k_{ e } int from { } to { } { { dQ } over { sqrt { x^{ 2 } +a^{ 2 } } } =k_{ e } int from { 0 } to { 2 pi } { { Q } over { sqrt { x^{ 2 } +a^{ 2 } } } { d theta } over { 2 pi } =k_{ e } { Q } over { sqrt { x^{ 2 } +a^{ 2 } } } } } }]

(다) 전하량이 , 인 두 점전하 간의 거리가 일 때 위치 에너지 은 다음과 같다.

[eqn: U(r)=k_{ e } { q_{ 1 } q_{ 2 } } over { r }]

여기서 는 쿨롱상수이다.

(문제)

아래 그림과 같이 반지름이 [eqn: a]와 [eqn: b] [eqn: (b>a)]인 동심원 사이에 총 전하량 가 균일하게 분포된 원판이 있다. 전하량이 이며 질량이 인 점전하가 그 원판의 중심축 (원판과 수직)을 따라서만 운동하도록 제한되어 있다. 원판 중심점으로부터의 거리를 라 할 때, 인 위치에 정지해 있던 점전하가 에너지 크기를 무시할 만한 요동에 의해 중심축을 따라 움직이기 시작하였다. 다음 물음에 답하여라.

(a) 에서 원판에 의한 위치에너지 함수 를 제시된 상수들을 이용하여 표현하라. 또한, 가 무한히 멀어질 때 위치에너지 를 구하여라.

(b) 전하의 속력 의 위치 에 따른 변화를 설명하고 개략적인 그래프를 그려라. 가 무한히 멀어질 때 그 점전하의 속력 를 제시된 상수들을 이용하여 구하고, 이 결과가 그래프에 표시되어야 한다. 역학적 에너지 보존 법칙을 이용할 수 있다.

[문제 2-2]

(제시문)

(가) 태양계의 행성은 원에 가까운 타원 궤도를 따라서 같은 방향으로 공전한다. 모든 행성은 태양을 중심으로 원 궤도를 따라 같은 평면 위에서 일정한 속력으로 공전한다고 가정하자. 오른쪽 그림은 내행성 및 외행성의 공전 궤도를 임의의 축척에서 보여주는 개념도이다. 태양 중력에 의해 공전하는 행성의 공전 주기와 공전 궤도 반지름 사이에는 다음의 관계가 성립한다.

[eqn: (공전``주기) ^{2} /(공전``궤도``반지름) ^{3} ``~=``상수]  (케플러의 제 3법칙)

이 관계식을 이용하여 태양계에서 일어나는 여러 가지 천문현상을 이해할 수 있다.

(나) 궤도 반지름에 따른 공전 주기의 차이 때문에, 두 행성 사이의 거리는 시간에 따라 주기적으로 변한다. 두 행성이 서로 가장 가까이 접근한 후 멀어졌다가 다시 가장 가까이 접근하는데 까지 걸리는 시간을 회합주기라고 부른다.

(문제)

(a) 지구의 궤도 반지름을 [eqn: R_E`], 지구의 공전 주기를 [eqn: T_E`], 지구가 아닌 다른 행성 A의 궤도 반지름을 [eqn: R`]로 표시하자. 행성 A의 회합주기 [eqn: S`(R )]을 궤도 반지름 [eqn: R]의 함수로 구하고 그래프를 그려라. [eqn: R>R_E `]일 때와 [eqn: R<R_E`]일 때로 나누어 생각하고, 결과를 [eqn: R, `R_E `,` T_E`]를 이용해서 나타내라.

(b) 기준시점 이후 관측된 금성의 위상에 관한 데이터를 아래 표에 나타내었다. (흰색과 검은색은 각각 태양 빛을 반사하여 밝게 빛나는 부분과 그렇지 않은 부분을 나타낸다.) 이론적 예측과 관측 결과를 이용하여 금성의 공전궤도 반지름과 공전 주기를 구할 수 있는 방법을 제시하라. 데이터를 얻은 각 시점에서의 태양·금성·지구의 상대적 위치를 공전궤도 그림에 표시하여라.

위상
관측일	기준시점 + 0 개월	기준시점 + 4 개월	기준시점 + 8 개월	기준시점 + 11 개월	기준시점 + 15 개월	기준시점 + 19 개월

(c) 위에서 제시한 방법에 따라 금성의 공전 주기가 지구 공전 주기의 몇 배인지, 또한 금성의 궤도 반지름이 지구 공전 궤도 반지름의 몇 배인지를 구하여라. 결과를 소수점 아래 첫째 자리까지 근사적으로 표시하여라. 필요하다면 아래의 근사 수치표를 이용해도 좋다.

[eqn: x]	1	2	3	4	5
[eqn: x^{1/3}]	1.0	1.3	1.4	1.6	1.7

[문제 3-1]

(제시문)

전자의 이동현상에 의해 진행되는 산화‧환원 반응은 화학반응에 의한 물질의 합성, 에너지원의 작동, 생물체 내에서의 물질대사, 각종 센서 및 전자기기 작동의 기본 원리이다.

물질은 전자를 잃고 양이온이 되려고 하는 이온화 경향의 차이에 따라 전자를 받아들이거나(환원), 전자를 내보내는(산화) 능력의 차이를 보인다. 이러한 산화‧환원 능력의 차이를 수소 이온(H+)이 환원되는 능력과 비교하여 표시한 것이 표준환원전위이다. 즉 수소 이온보다 전자를 받아들이기 더 어려운 물질의 표준환원전위는 (-)값을 갖게 되고, 수소 이온보다 전자를 받아들이기 더 쉬운 물질의 표준환원전위는 (+)값으로 표시된다. 표준환원전위의 차이가 있는 두 물질을 도선으로 연결할 경우, 표준환원전위가 더 (-)쪽의 값을 갖는 물질에서 더 (+)쪽의 값을 갖는 물질로 전자가 이동하게 된다. 이때 형성되는 환원전극과 산화전극의 표준환원전위의 차이가 화학전지의 초기 기전력이 된다.

두 전극 사이에 기전력이 형성되면, 산화전극 쪽의 전해질에서는 산화반응이, 환원전극 쪽의 전해질에서는 환원반응이 일어나게 된다. 이때 전극 표면에서 이루어지는 전해질과의 산화‧환원 반응이 원활하게 이루어지지 못할 경우, 두 전극 사이에 유도된 기전력이 급격히 떨어지는 분극현상이 나타나기도 한다. 이러한 분극현상이 억제될 수 있도록 전해질을 설계하여 산화‧환원 전극 사이의 전자이동을 원활하게 유도해 낸 것이 아래 그림과 같은 화학전지이다.

(문제)

(a) 다음의 산화‧환원 반응을 반쪽 반응으로 나누어 표시하고, 각각의 반응에 관여된 전자 수에 대해 설명하여라.

[eqn: n{rm A} ~``+~ m {rmB^{it a+}}~~ rightarrow~~ n {rm A^{it b+}}~ + ~`` m {rm B}]

(b) 주기율표의 제 2 주기 원소 중에서 선정한 A, B 두 물질을 전극으로 사용하는 화학전지를 만들려고 한다. 두 전극의 가능한 조합 중 최대 기전력을 만들어 낼 수 있는 A, B 두 물질을 제시하고, 각각의 전극에서 일어나는 산화‧환원 현상을 화학전지 그림과 화학 반응식을 이용하여 설명하여라.

(c) 표준환원전위가 -0.76V인 Zn와 +0.34V인 Cu를 전극으로 사용한 화학전지를 고려해 보자. 이때 전해질의 용매로 물과 벤젠을 사용한 두 경우를 비교하려고 한다. 아래의 그림과 같이 전해질 염으로서 CuSO4를 동일한 양만큼 넣은 후, 화학전지로서의 특성을 비교하였다. Zn와 Cu전극을 용액에 담근 후 도선으로 연결하였을 때, 각 용액의 전극에서 일어날 수 있는 현상을 화학전지 그림과 화학 반응식을 이용하여 설명하여라. 용매(물과 벤젠)와 전극간의 전기 화학적 반응은 논의할 필요 없다.

[문제 3-2]

(제시문)

(가) 세포막은 살아있는 세포를 생명이 없는 바깥 환경으로부터 구분 짓는 경계일 뿐 만 아니라, 영양분의 흡수와 노폐물의 배출과 같은 세포 안팎 간의 물질통행 조절의 기능을 수행한다. 이와 같은 세포막의 물질통행 조절성질을 ‘선택적 투과성’이라 부른다. 세포막 단백질은 이러한 세포막의 선택적 투과성을 유지하는 데 필요한 세포막의 주요한 구성요소이다.

(나) 제한 없는 조건에서 분자들이 균등하게 퍼지려는 경향을 확산이라고 한다. 즉 일반적으로 물질은 농도가 높은 쪽으로부터 낮은 쪽으로 확산되는데, 이를 “농도기울기를 따라 확산된다”고 표현한다.

(다) 세포막을 가로지르는 물질의 이동은 농도기울기를 따라 확산되는 수동수송과, ATP 소모를 통해 농도기울기를 거슬러 물질이 이동하는 능동수송이 있다. 선택적 투과가 이루어지는 물질 중에서 포도당, 염류 등과 같은 친수성 물질들은 세포막 단백질을 통하여 수동수송과 능동수송 모두에 의한 이동이 가능하다. 한편 수동수송의 일종인 삼투현상이 일어날 때 물 분자가 이동하게 되며, 이를 위해서는 ‘아쿠아포린’이라는 세포막 단백질 통로가 필요하다.

(라) 콩팥(신장)은 혈액속의 노폐물(요소)을 걸러 내고, 무기염류와 수분의 균형을 조절하여 오줌을 만든다. 콩팥에서 오줌의 생성은 여과‧재흡수‧분비 과정을 통하여 이루어지는데, 그 때 일어나는 물질의 이동을 도식적으로 표현하면 아래 그림과 같다.

(문제) 위의 제시문에 근거하여 아래 질문에 답하시오.

(a) 삼투현상에서 용매인 물 분자가 이동하게 되는 원리를 설명하여라.

(b) 콩팥에서 아쿠아포린의 기능이 손상된 환자의 오줌과 정상인의 오줌을 비교하였을 때 어떤 차이가 있을지 논하여라.

(c) 뇌하수체에서 분비되는 항이뇨호르몬(ADH)은 콩팥에 작용하여 물의 재흡수를 촉진한다. 물의 재흡수를 촉진하기 위해서는 콩팥에서 어떤 변화가 생겨야 될 지를 논하여라.

(d) 일반적으로 삼투현상 자체는 ATP를 필요로 하지 않는다. 하지만 실제로 콩팥에서 일어나는 물의 재흡수에는 많은 ATP가 요구된다. 그 이유가 무엇인지를 논하여라.

(e) 운동 후 수분 흡수를 위해서는 적당한 당분과 염류를 포함하고 있는 이온음료가 순수한 물에 비해 더 효율적이다. 그 이유가 무엇인지를 논하여라.