	2011학년도 수시 2차 일반전형/가톨릭지도자추천전형
	논 술 고 사 문제지
<자연과학부 / 공학부>

수험번호		지원 모집단위		성 명

■ 유의사항

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1. 제목은 쓰지 말고 본문부터 시작할 것.

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<문제 1: 35%> 다음 글을 읽고, 물음에 답하라.

실수와 유리수를 구분 짓는 핵심은 적합한 극한 이론 구성의 가능성과 관련된 공리이다. 유리수는 수학을 위해 필요한 산술적 성질과 그밖의 많은 중요한 성질들을 갖고 있지만, 유리수만으로는 수렴하는 수열의 극한값을 표현할 수 없기 때문에 체계적인 극한 이론을 위해서는 적당하지 않다. 예를 들면 [eqn: sqrt {2}]를 소수 [eqn: n]째 자리까지 나타낸 항들로 이루어진 유리수의 수열 [eqn: 1.4`,``1.41`,`1.414`,`1.4142`,` CDOTS `]는 명백히[eqn: sqrt {2}]로 수렴하는데, 우리가 이미 알고 있듯이 해당 수열의 극한값 [eqn: sqrt {2}]는 유리수가 아니다. 이와 같은 이유로, 극한 이론에서 출발한 미적분학이 수학적 체계를 갖추기 위해서는 완비성을 갖춘 실수의 구성이 필요하였다. 프랑스의 수학자 코시(Cauchy)는 유리수에서 출발하여 유리수 수직선에 새로운 점들을 추가하는 방식으로 실수의 집합을 구성했고, 이와는 다른 방식으로 완비성을 갖춘 실수의 집합을 구성하는 방법은 이후에 독일 수학자 데데킨트(Dedekind)에 의하여 개발되었다.

실수의 완비성을 공리로 구성하는 방법은 여러 가지가 있으며, 그 방법들은 각각 서로 동치이다. 그 중 하나는 위로 유계인 단조증가 수열이 반드시 실수값의 극한을 갖는다고 가정하는 것이다. 이를 수학적으로 표현하자면 무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과  어떤 양수 [eqn: M] 이 있어, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} LEQ a _{n+1}] 이고 [eqn: a _{n} `<`M] 이면, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 적당한 실수 [eqn: alpha]에 수렴한다; 즉 [eqn: lim _{n`-> INF } {a _{n} = alpha }] 이다. 위에서 언급한 실수의 성질을 수학자들이 공리로 받아들임으로써 순환하지 않는 무한소수까지도 모두 실수에 속하게 된다.

단조증가 수열의 대표적인 예는 음이 아닌 항들로 구성된 급수의 부분합 수열이다. 무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 각 항을 모두 더한 식을 무한급수 또는 간단히 급수라 하고 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } a _{k}] 로 나타낸다. 이 급수에서 첫째항부터 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: s _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}] 를 급수의 제 [eqn: n] 부분합 또는 간단히 부분합이라 부른다.

이렇게 정의된 부분합의 수열 [eqn: LEFT { s _{n} RIGHT }]이 [eqn: s]에 수렴할 때, 급수 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } a _{k}]는 [eqn: s]에 수렴한다고 정의하고

[eqn: sum _{k=1} ^{INF } a _{k} =s] 라 표기한다.  이러한 정의에 따르면 급수 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } a _{k}] 가 수렴하는 경우 [eqn: lim _{n` -> INF } {a _{n} =0}] 이다.①  또

한 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }] 이 각각 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]에 수렴할 때,  임의의 실수 [eqn: p`,`q]에 대해 수열 [eqn: LEFT { p`a _{n} +q`b _{n} RIGHT }]은

[eqn: p alpha +q beta]에 수렴한다는 것으로부터, 두 급수  [eqn: sum _{k=1} ^{INF } a _{k}] , [eqn: sum _{k=1} ^{INF } b _{k}] 가 각각  [eqn: s]와 [eqn: t]에 수렴하는 경우 임의의 실수 [eqn: p`,`q]에 대하여, 급수[eqn: sum _{k=1} ^{INF } (p`a _{k} +q`b _{k} )] 는 [eqn: ps+qt] 에 수렴함을 알 수 있다.

위에서 언급한 실수의 완비성을 무한급수에 적용하면, 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 LEQ b _{n} LEQ c _{n}] 이고 급수 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } c _{k}] 가 수렴하는 경우, 급수 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } b _{k}] 도 수렴하게 된다.②  마찬가지로 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 각 항이 음수가 아닐 때, 모든 [eqn: n]에 대하여  [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} ` LEQ a _{n}] 을 만족하고 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }] 이 수렴하면, 급수 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } b _{k}] 도 적당한 실수에 수렴한다. 이에 대한 구체적인 예를 들자면 [eqn: a _{n} = int _{2} ^{n} {{1} over {x`(ln`x) ^{2}} `dx}] 을 이용해서 무한급수 [eqn: sum _{k=2} ^{INF } {1} over {k`(ln`k) ^{2}}]

이 수렴함을 보일 수 있다.③ 이는 해당 급수가 수렴하게 되는 극한값을 구체적으로 찾지 않고서도 실수의 완비성으로부터 급수가 어떤 실수값에 수렴함을 알 수 있다는 것을 의미한다.

【1-1】	밑줄 친 ①을 증명하라.

【1-2】	실수의 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 무한급수 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } |`a _{k} `|] 가 수렴하면, [eqn: sum _{k=1} ^{INF } `a _{k} `]도 수렴함을 증명하라.
(밑줄 친 ②와 [eqn: 0 LEQ LEFT | `a _{k} ` RIGHT | `-a _{k} LEQ 2`|`a _{k} `|] 임을 이용할 것)

【1-3】	밑줄 친 ③을 구체적으로 설명하라.

【1-4】	두 급수 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } (2`a _{k} +3b _{k} )] 과 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } (`a _{k} -2`b _{k} )] 가 모두 수렴할 때,  두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 모두

수렴하는가?

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<문제 2: 35%> 다음 글을 읽고, 물음에 답하라.

미분 가능한 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 있을 때, 곱의 미분법에 의하면 [eqn: f(x)`g(x)]의 도함수는 다음과 같이 구해진다.

[eqn: {d} over {dx} LEFT [ f(x)g(x) RIGHT ] =f(x)`g'(x)+f`'(x)`g(x)]

부정적분의 기호를 사용해서 위 식을 나타내면 다음과 같다.

[eqn: int _{} ^{} {LEFT [ f(x)`g'(x)+f`'(x)g(x) RIGHT ] dx=f(x)`g(x)}]  또는 [eqn: int _{} ^{} {} f(x)`g prime (x)dx+ int _{} ^{} {} f` prime (x)g(x)dx=f(x)`g(x)]

위 식을 정리하면 아래의 식을 얻는다.

[eqn: int _{} ^{} {} f(x)`g prime (x)dx=f(x)`g(x)- int _{} ^{} {} f` prime (x)g(x)dx]

이 식을 사용하는 적분법을 부분적분법이라 부른다. 또한 위 식에서 [eqn: u=f(x)] 그리고 [eqn: v=g(x)] 라 놓으면 [eqn: du=f`'(x)`dx] 이고 [eqn: dv=g'(x)`dx] 이므로, 다음의 간편한 식을 얻게 된다.

[eqn: int _{} ^{} {u`dv=uv- int _{} ^{} {v`du}}]

부분적분법은 많은 경우 피적분함수가 두 함수의 곱으로 이루어진 경우에 적용할 수 있다. 하지만 일반적인 곱의 적분법은 존재하지 않기 때문에 부분적분법을 사용하여 부정적분을 구할 수 있는 경우는 한정되어 있다. [eqn: int _{} ^{} {x`sinx`dx}] 를 예로 살펴보자. [eqn: f(x)=x] 그리고 [eqn: g'(x)=sin`x] 로 놓으면

[eqn: f`'(x)=1,``g(x)=-cos`x] 이므로 부분적분법에 의하여 아래의 식을 얻을 수 있다.

[eqn: int _{} ^{} {x`sinx`dx} =x`(-cos`x)- int _{} ^{} {(-cos`x)`dx] [eqn: =`-x`cos`x+ int _{} ^{} {cos`x`dx} =-x`cos`x+sin`x+C]

한편 [eqn: f(x)=sin x] 그리고 [eqn: g'(x)=x] 로 놓고 부분적분법을 사용하면 [eqn: f` prime (x)=cos`x] 이고 [eqn: g(x)=x ^{2} /2] 이므로

[eqn: int _{} ^{} {x`sinx`dx} = {x ^{2}} over {2} `sin`x- {1} over {2} int _{} ^{} {x ^{2} `cos`x`dx}]

를 얻게 되고, 이 식은 부정적분 [eqn: int _{} ^{} {x`sinx`dx}] 을 구하는데 전혀 도움이 되지 않는다. 따라서 부분적분법을 사용해서 부정적분을 구할 수 있는 경우라 하더라도 어느 것을 [eqn: f(x),`] 어느 것을 [eqn: g'(x)] 로 놓아야 할 것인가를 올바로 판단해야 한다. 일반적으로 피적분함수가 [eqn: x ^{n}] 과 [eqn: sin`x] (또는 [eqn: cos`x], 또는 [eqn: e ^{x}])의 곱일 때에는 [eqn: f(x)=x ^{n}] 그리고 [eqn: g(x)=sin`x] (또는 [eqn: g(x)=cos`x] 또는 [eqn: g(x)=e ^{x}])라 놓고 부분적분법을 반복 사용한다.

이제 부정적분 [eqn: int _{} ^{} {x`sin(x ^{2} )`dx}] 을 살펴보자. 피적분함수 [eqn: x`sin(x ^{2} )]은 [eqn: x]와 [eqn: `sin(x ^{2} )]의 곱으로 표시되어 있지만 부분적분법으로는 [eqn: int _{} ^{} {x`sin(x ^{2} )`dx}] 을 구할 수 없다. 반면에 [eqn: u=x ^{2}] 으로 치환하면 [eqn: du=2x`dx] 즉 [eqn: x`dx= {1} over {2} `du] 가 되므로

[eqn: int _{} ^{} {x`sin(x ^{2} )`dx} = {1} over {2} int _{} ^{} {sin`u`du] [eqn: =`- {1} over {2} `cos`u`+C``=- {1} over {2} `cos`(x ^{2} )+C}]

를 얻을 수 있다. 부분적분법을 정적분에 적용하면 다음 식을 얻는다.

[eqn: int _{a} ^{b} {} f(x)`g prime (x)dx= LEFT [ f(x)`g(x) RIGHT ] _{a} ^{b} - int _{a} ^{b} {} f` prime (x)g(x)dx`]

【2-1】	함수 [eqn: f(x)]가 연속인 2계 도함수를 갖고, [eqn: f(1)=f(2)=5] 이고 [eqn: f` prime (1)=3,``f`'(2)=2] 일 때,

[eqn: int _{1} ^{2} {x`f`''(x)`dx}] 의 값을 구하라.

【2-2】	[eqn: n] 이 2 이상의 자연수일 때 [eqn: int _{} ^{} {sin ^{n} `x`dx=- {1} over {n} `sin` ^{n-1}} x`cos`x+ {n-1} over {n} int _{} ^{} {sin ^{n-2} `x`dx}] 임을 설명하고	이를 이용하여 [eqn: int _{pi /2} ^{pi } {sin` ^{2n`} x`dx}] 의 값을 구하라.

【2-3】	[eqn: a _{n} = int _{pi /2} ^{pi } {sin` ^{n`} x`dx}] 이라 놓을 때  [eqn: lim _{n` -> INF } {{a _{2n}} over {a _{2n+1}}} =1] 이 성립함을 설명하라.

【2-4】	[eqn: f(x)= {1} over {sqrt {2 pi }} e ^{-x ^{2} /2}] 가 표준정규분포의 확률밀도함수임을 이용하여, [eqn: k] 가 자연수일 때

[eqn: lim _{t` -> INF } { int _{0} ^{`t} {x ^{2k} ``e ^{-x ^{2} /2} `dx`= {(2k)!} over {k!``2 ^{k+1} `} sqrt {2 pi }}}] 임을 증명하라. (단, 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: lim _{x`-> INF } {{x ^{n}} over {e ^{x}} =0}] 이다.)

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<문제 3: 30%, 800~1,000자>

제시문 [가]와 [나]에는 특허에 대한 입장들이 반영되어 있다. 각 입장의 근거를 찾아 제시하고, 어느 한 입장에서 다른 입장을 비판하고자 할 때 [다]와 [라]의 논거들을 어떻게 활용하여 추론할 수 있는지에 대해 여러 경우를 고려하여 논술하라.

[가] 거의 30년 동안 생명과학 기업들은 그들의 재산을 보호하기 위해 유기체를 만들어 내는 과정뿐 아니라, 유전자, 유전자 배열, 진기한 혼성 이종 유기체, 복제 유기체 등에 대해 특허를 냈다. 그러나 최근에 인터넷 세대에 속하는 젊은 학자들은 지식을 독점하려는 기존의 경직된 사고에 도전하기 시작했다. 지식을 대가 없이 공개적으로 공유할 경우 의학적 돌파구를 마련할 수 있는 새로운 생명 개발에 박차를 가하고, 농업을 증진시키고, 대체 청정 에너지를 찾아내고, 지속 가능한 건축 자재를 만들어 낼 수 있다는 것이 그들의 생각이다.                                      ―제러미 리프킨, □공감의 시대□

[나] 과학자들은 인간 유전자의 염기 서열이 밝혀지면 여러 가지 유전병을 치료할 수 있는 길이 열리게 되며, 생명 탄생의 비밀도 상당 부분 밝혀질 수 있을 것으로 기대하고 있다. 더욱이 연구 결과에 따라서는 유전자 조작을 통해 지금보다 훨씬 뛰어난 능력을 지닌 새로운 인간을 만들어 낼 수도 있다고 한다. 현재 미국을 비롯한 선진 각국은 국제 공동 연구로 인간 유전자의 염기 서열을 밝히는 게놈 프로젝트를 진행하고 있다. 2000년 6월 26일 게놈 프로젝트를 주관하고 있는 미국 국립 인간 유전체 연구소가 제 1차 연구 결과를 발표했다. 그리고 이 연구에서 밝혀진 기초 자료를 공개한다고 선언했다.

한편, 국제 공동 연구와는 별도로 게놈 프로젝트를 진행하고 있는 한 민간 연구소에서는 자신들이 거액을 투자해 이루어지는 연구 결과에 대해서는 당연히 배타적인 특허권이 인정되어야 한다고 주장하고 있다. 만일 특허가 인정되지 않는다면 앞으로는 아무리 중요한 연구라도 이처럼 거액을 투자하여 연구할 기업은 없을 것이라고 강조하고 있다.                                  ―고등학교 교과서 □과학□

[다] 나는 이제 개인에 대해 적용되는 원리들 중의 하나인 공정성의 원리에 눈을 돌리고자 한다. 나는 이 원리를 이용하여 자연적 의무와 구별되는 책무라고 할 모든 요구 조항을 설명하고자 한다. 이 원리가 표방하는 것은 다음의 두 조건이 만족되는 경우 모든 사람은 제도의 규칙들이 정하는 각자의 본분을 다해야 한다는 것이 요구된다는 점이다. 즉 그 조건이란 첫째로 제도는 정의로우며 (혹은 공정하며), 다시 말하면 그것은 정의의 두 원칙을 만족시키며, 둘째로 사람들은 그 체제의 이익을 자발적으로 받아들이거나 자신의 이익을 증진하기 위해 그것이 제시하는 기회를 이용한다는 것이다. 그 주요 내용은 많은 사람들이 규칙에 따라 상호 이익이 되는 협동체에 가담하고 따라서 모두에게 이익을 주는 데 필요한 방식으로 그들의 자유를 제한할 경우, 이러한 제한에 따르는 사람들은 그들이 그것에 따름으로써 이익을 보는 다른 사람들 편에서도 동일하게 그것에 따를 것을 주장할 권리를 갖는다는 것이다. 우리는 자신의 정당한 본분을 다하지 않고서는 타인의 협력으로부터 이익을 취할 수 없다. 정의의 두 원리는 기본 구조에 속하는 제도들의 경우에 있어서 무엇이 정당한 몫인가를 규정한다. 그래서 이러한 체제가 정의로운 것이라면, 모두가 (자신을 포함해서) 자신의 본분을 다할 때 각자는 정당한 몫을 받게 된다.

―존 롤즈, □사회정의론□

[라] 자동차가 움직이려면 어떤 것들이 필요할까? 자동차를 구성하는 서로 다른 기능을 지닌 수많은 부품들이 정상적으로 작동해야 자동차는 움직일 수 있다. 기능론적 관점에서 사회를 보는 시각도 이와 유사하다. 기계나 생물 유기체는 서로 다른 기능을 수행하는 각 부분들이 서로 조화를 이루어야 온전한 모습으로 유지되는 것처럼, 사회 구조도 각기 다른 기능을 가지고 있는 가족, 학교, 정부, 종교 등이 서로 조화를 이루어야 유지될 수 있다는 것이다. 사회의 구성 요소들은 상호 의존 관계에 있고, 사회 전체의 유지와 통합을 위해 기여하고 있으며, 이로써 모든 사회는 비교적 안정적인 구조를 지속할 수 있다.

갈등론적 관점은 사회를 부, 권력, 명예와 같은 사회적 희소 자원을 보다 많이 가지려는 구성원들 간의 경쟁의 장으로 파악한다. 각 사회의 구성 요소들이 해야 하는 일과 그 방식은 누군가가 그들의 이익을 위해서 강제적으로 규정해 놓은 것이며, 강제와 억압을 통해서 지속되는 것이다. 따라서, 사회의 각 구성 요소들은 항상 서로 대립적이고 불완전한 상태로 존재한다. 갈등론적 관점은 이러한 사회의 동태적인 측면을 중시하면서 강제와 억압 과정에서 발생하는 사회 내의 다양한 갈등에 주목한다. 사회 질서는 서로 대립되는 이해관계를 갖는 집단들이 상대를 강제적으로 복종시키는 과정에서 성립되는 것이므로, 사회에는 항상 갈등이 존재하며 이러한 갈등을 통해 사회의 변동이 초래된다.

―고등학교 교과서 □사회·문화□

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