단국대학교 2017학년도 수시모집 논술고사

자연계열 문제 및 답안

(오후)

전형유형	논술우수자
수험번호
성 명

[문제1]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

	2017학년도 수시모집 논술고사	자연계열

/8

(가) 좌표공간에서 두 점 [eqn: rm A it (x _{1} ,`y _{1} ,`z _{1} )]과 [eqn: rm B it (x _{2} ,`y _{2} ,`z _{2} `)] 사이의 거리는 다음과 같다.

[eqn: {rm {bar{AB}}} `=` sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} +(z _{2} -z _{1} ) ^{2}}]

(나) 좌표공간에서 점 [eqn: rm A it (x _{1} ,`y _{1} ,`z _{1} )]을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 [eqn: {vec{u}} `=`(a,`b,`c)]에 평행인 직선의

방정식을 매개변수 [eqn: t]를 사용하여 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`=`x _{1} `+`at,````y`=`y _{1} `+`bt,````z`=`z _{1} `+`ct]

(다) 좌표공간에서 점 [eqn: rm A it (x _{1} ,`y _{1} ,`z _{1} )]을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 [eqn: {vec{u}} `=`(a,`b,`c)]에 수직인 평면의

방정식은 다음과 같다.

[eqn: a(x-x _{1} )`+`b(y-y _{1} )`+`c(z-z _{1} )`=`0]

<제시문>

점 [eqn: rm A(1,`0,`1)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구를 [eqn: S _{1}]이라 하고, 점 [eqn: rm B(0,1,0)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {sqrt {10}} over {2}]인 구를 [eqn: S _{2}]라 하자.

[논제 1] [eqn: S _{1}]과 [eqn: S _{2}]가 만나서 생기는 원 [eqn: C``]의 중심의 좌표를 구하시오. (10점)

[논제 2] [논제 1]에서의 원 [eqn: C] 위의 모든 점으로부터 거리가 일정한 점 중에서 원점으로부터의 거리가 최소인 점 [eqn: rm P]의 좌표를 구하시오. (10점)

[논제 3] [논제 2]에서 구한 점 [eqn: rm P]를 지나는 평면 [eqn: alpha]가 [eqn: S _{1}]과 만나서 생기는 원의 넓이를 [eqn: A _{1} ,] [eqn: alpha]가 [eqn: S _{2}]와 만나서 생기는 원의 넓이를 [eqn: A _{2}]라 하자. [eqn: `3A _{1} `=`4A _{2}]일 때, [eqn: rm A]와 [eqn: alpha] 사이의 거리를 구하시오.

(20점)

[문제2]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (60점)

(가) 함수 [eqn: f(x)]가 실수 [eqn: a]에 대하여 다음 세 조건을 만족시키면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 연속이라고 한다.

(1) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 정의되어 있다.

(2) 극한값 [eqn: lim _{x-> a} {`f(x)}]가 존재한다.

(3) [eqn: lim _{x -> a} {`f(x)} =f(a)]

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이 아니면 불연속이라고 한다.

두 함수 [eqn: f(x),````g(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이면 [eqn: f(x)±g(x)], [eqn: f(x)g(x)], [eqn: {f(x)} over {g(x)}]([eqn: g(a) != 0])은

모두 [eqn: x=a]에서 연속이다.

(나) 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 미분가능할 때 부분적분법은 다음과 같다.

[eqn: int f(x) g'(x) dx=f(x)g(x)-int f'(x) g(x) dx]

예를 들어, [eqn: f(x)`=`ln`x]일 때 부분적분법을 이용하면 다음이 성립한다.

[eqn: int _{} ^{} {} f(x)`dx`=`xf(x)`-` int _{} ^{} {x`f``'(x)} ``dx`=`x`ln`x``-`x`+C`] (단, [eqn: C`]는 상수)

(다) 함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: [a,`b]]에서 연속이면 이 구간에서 [eqn: f(x)]는 최댓값과 최솟값을 가진다. 최댓값과 최솟값을 구할 때에는 그 구간에서의 극댓값과 극솟값 및 양 끝 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 택하면 된다.

<제시문>

[논제 1] 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)`= {cases{```-`sin` pi `x,&````-2<`x``<`-1#`-` {1} over {2} ``sin` pi `x,`&`````-1 LEQ x`<`1}}]

로 정의하고 실수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x`` LEFT | ``f(x)`=`k,```-2<x<1 RIGHT } RIGHT .]의 원소의 개수를 [eqn: g(k)]라 하자.

구간 [eqn: LEFT ( -2,``1 RIGHT )]에서 함수 [eqn: h(x)`=`f(x)`g(x)]가 불연속인 점을 모두 구하시오. (15점)

[논제 2] 제시문 (나)를 이용하여 아래 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(1)]의 값을 구하시오. (20점)

[eqn: f``'(x)`=(`1+`e ^{x ^{2}} `) ^{-1}] 이고  [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)`dx} `=`0]

[논제 3] 함수 [eqn: f(x)`=`][eqn: root {3} of {x ^{3} -x ^{2} `}]과 실수 [eqn: t`` LEFT ( -1` LEQ `t` LEQ `2 RIGHT )]에 대하여

[eqn: M(t)]를 [eqn: LEFT { x``|``-1` LEQ `x` LEQ `t RIGHT }]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값,

[eqn: m(t)]를 [eqn: LEFT { x``|````t` LEQ `x` LEQ `2 RIGHT }]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값

이라 할 때, [eqn: int _{a- {1} over {3}} ^{a+ {1} over {3}} {``` LEFT ( M(t)`-`m(t) RIGHT ) ``dt}]의 값이 최대가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

(25점)

문제 1

	2017학년도 수시모집 논술고사	자연계열

□ 출제의도

[논제 1] 좌표공간에서 두 개의 구가 만나서 생기는 원의 중심을 구할 수 있는지를 평가

[논제 2] 좌표공간에서 직선의 방정식을 이용하여 점의 좌표를 구할 수 있는지를 평가

[논제 3] 좌표공간에서 구와 평면의 관계를 이해할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 김창동 외(2015), 기하와 벡터, 145-149쪽, 154-156쪽, 176-195쪽

○ 신항균 외(2015), 기하와 벡터, 150-160쪽, 164-197쪽

○ 이준열 외(2015), 기하와 벡터, 166-180쪽, 199-212쪽

[논제 1 평가기준]

- 원 [eqn: C``]를 포함하는 평면의 방정식을 제시 : 3점

- 점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rm B]를 지나는 직선의 방정식을 제시 : 3점

- 원 [eqn: C``]의 중심의 좌표 [eqn: LEFT ( {1} over {4} ,` {3} over {4} ,` {1} over {4} RIGHT )]을 제시 : 4점

[논제 2 평가기준]

- 원 [eqn: C] 위의 모든 점으로부터 거리가 일정한 점은 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]를 지나는 직선 위에 있음을 제시 : 5점

- 점 [eqn: rm P]의 좌표를 제시 : 5점

[논제 3 평가기준]

([eqn: rm A]와 [eqn: alpha] 사이의 거리)와 ([eqn: rm B]와 [eqn: alpha] 사이의 거리)의 관계를 제시 : 7점

- [eqn: A_1]과 [eqn: A_2]를 제시 : 8점

- [eqn: rm A]와 [eqn: alpha] 사이의 거리가 1임을 제시 : 5점

□ 예시 답안

[논제 1] [eqn: S_1]과 [eqn: S_2]의 방정식은 다음과 같다.

[eqn: S _{1} ` it :`(x-1) ^{2} `+`y ^{2} `+`(z-1) ^{2} `=`4```` CDOTS `]①

[eqn: S _{2} it `:`x ^{2} `+`(y-1) ^{2} `+`z ^{2} `=` {5} over {2} ````````````````````` CDOTS]②

①-②로부터 원 [eqn: C]를 포함하는 평면의 방정식은

[eqn: x-y+z+ {1} over {4} `=`0]

이고, 원 [eqn: C]의 중심은 이 평면과 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]를 지나는 직선의 교점이다. [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(1, -1, 1)]

이므로 두 방정식을 연립하면 [eqn: t= {1} over {4}]일 때, 원 [eqn: C]의 중심의 좌표 [eqn: LEFT ( {1} over {4} ,` {3} over {4} ,` {1} over {4} RIGHT )]을 얻는다.

[논제 2] 원 [eqn: C] 위의 모든 점과 거리가 일정한 점[eqn: `(x,`y,`z)]는 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]를 지나는 직선 [eqn: l] 위에 있다. 따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: (x,`y,`z)`=` LEFT ( 0,`1,`0 RIGHT ) `+`t` LEFT ( 1,`-1,`1` RIGHT )]

이고, 원점과 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: (x,~y,~z)]사이의 거리는

[eqn: root {x ^{2} `+`y ^{2} `+`z ^{2}} `=` root{3t ^{2} -2t+1}]

이다. 그러므로 [eqn: t`=` {1} over {3}]일 때, 점 [eqn: rm P`` LEFT ( {1} over {3} ,` {2} over {3} ,` {1} over {3} RIGHT )]을 얻는다.

[논제 3]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: rm barAP `=` {2 sqrt {3}} over {3} `<`2]이고 [eqn: rm bar{BP}} `= {sqrt {3}} over {3} `<` {sqrt {10}} over {2}]이므로, [eqn: rm P]는 [eqn: S_1]과 [eqn: S _{2}]의 내부에 있는 점이다. [eqn: rm A]와 [eqn: rm alpha] 사이의 거리를 [eqn: a], [eqn: rm B]와 [eqn: rm alpha] 사이의 거리를 [eqn: b]라고 하면,

[eqn: rm bar{AP} `:` {rm bar{BP} `= it`a`:`b]

이므로 [eqn: a = 2b]이다. 한편, [eqn: rm A _{1} it = pi LEFT ( 4-a ^{2} RIGHT )]이고 [eqn: rm A _{2} it `=` pi LEFT ( {5} over {2} -b ^{2} RIGHT )]이므로, [eqn: 3A _{1} `=`4A _{2}]로부터 [eqn: a`=`1]이다.

문제 2

□ 출제의도

[논제 1] 연속함수의 개념을 이해하는지를 평가

[논제 2] 부분적분법과 치환적분법을 활용하여 문제를 해결할 수 있는지를 평가

[논제 3] 함수의 극대, 극소를 이해하여 함수의 최대, 최소를 구할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 신항균 외(2015), 미적분 II, 56-78쪽, 108-137쪽, 152-180쪽

○ 정상권 외(2015), 미적분 II, 59-70쪽, 109-142쪽, 162-193쪽

○ 신항균 외(2015), 미적분 I, 67-79쪽

○ 류희찬 외(2016), 미적분 I, 74-87쪽

[논제 1 평가기준]

- [eqn: g(x)]를 이해하여 [eqn: x=`-1,`- {1} over {2} ,`0,` {1} over {2}]에서만 연속성을 파악하면 된다는 사실을 제시 : 5점

- [eqn: h(x)]는 [eqn: x=`-1,`0]에서 연속임을 제시 : 5점

- [eqn: h(x)]는 [eqn: x=`- {1} over {2}], [eqn: {1} over {2}]에서만 불연속임을 제시 : 5점

[논제 2 평가기준]

- 부분적분법에 의하여 [eqn: LEFT . int _{0} ^{1} {f(x)`dx} `] [eqn: =`f`(1)- int _{0} ^{1} {`` {x} over {1+e ^{x ^{2}}} ``dx} ``]임을 제시 : 10점

- 치환적분법을 이용하여 [eqn: int _{0} ^{1} {`` {x} over {1+e ^{x ^{2}}} ``dx} ``]의 값을 제시 : 7점

[eqn: f(1)]의 값을 제시 : 3점

[논제 3 평가기준]

[eqn: f`'(x)]를 제시 : 5점

- [eqn: f`` prime left( 2 over3 right)`=`0]이고 [eqn: x=0,`1]에서 미분가능하지 않음을 제시 : 3점

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 극대, [eqn: x= {2} over {3}]에서 극소임을 제시 : 7점

함수 [eqn: M(x),````m(x)]를 제시 : 5점

[eqn: a]의 값을 제시 : 5점

□ 예시 답안

[논제 1] 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=`-1,````- {1} over {2} ,````0,```` {1} over {2}]에서 불연속이고, 함수 [eqn: f(x)]는 연속함수이므로 제시문 (가)에서 제시한 성질에 의해서 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]는 [eqn: x=`-1,````- {1} over {2} ,````0,```` {1} over {2}]가 아닌 점에서 연속이다. 따라서 함수 [eqn: h(x)]의 연속성은 [eqn: x=`-1,````- {1} over {2} ,````0,```` {1} over {2}]에서만 확인하면 된다. 한편,

[eqn: lim _{x -> -1} {`h(x)} `][eqn: = 0`=`h(-1)],  [eqn: lim _{x -> 0} {`h(x)} `=][eqn: 0``=`h(0)]

이므로 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=`-1,````0]에서 연속이다. 또한,

[eqn: lim _{x -> - {1} over {2} `-} {`h(x)} `=`1], [eqn: lim _{x -> - {1} over {2} `+} {`h(x)} `=`2]

이고

[eqn: lim _{x -> ` {1} over {2} `-} {`h(x)} `=`-`1], [eqn: lim _{x -> ` {1} over {2} `+} {`h(x)} `=`0]

이므로 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=`- {1} over {2}], [eqn: {1} over {2}]에서 불연속이다.

[eqn: f(x)]의 그래프

[eqn: - {3} over {2}]

[eqn: -1]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -1]

[eqn: - {1} over {2}]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: - {1} over {2}]

[논제 2] 부분적분법에 의하여

[eqn: LEFT . int _{0} ^{1} {f(x)`dx} `=` left[ x`f(x)` RIGHT ] _{0} ^{1} `- int _{0} ^{1} {x`f` prime (x)`dx} ``] [eqn: =`f`(1)- int _{0} ^{1} {`` {x} over {1+e ^{x ^{2}}} ``dx} ``]

이고, 치환적분법에 의하여

[eqn: int _{0} ^{1} {`` {x} over {1+e ^{x ^{2}}} ``dx} ``] [eqn: = {1} over {2} ` int _{0} ^{1} {{1} over {1+e ^{t} `} `dt} ``]  ([eqn: x ^{2} =t`]로 치환)

[eqn: = {1} over {2} ` int _{1} ^{e} {{1} over {s(s+1)} `ds} ``]  ([eqn: e ^{t} `=s]로 치환)

[eqn: = {1} over {2} ` int _{1} ^{e} {LEFT { {1} over {s} - {1} over {s+1} RIGHT } `ds} ``]

[eqn: LEFT . =` {1} over {2} left[ `ln` {s} over {s+1} RIGHT ] _{1} ^{e} =`ln` sqrt {{2e} over {e+1}}]

이다. 따라서

[eqn: LEFT . 0= int _{0} ^{1} {f(x)`dx} `=f(1)`- RIGHT .][eqn: `ln` sqrt {{2e} over {e+1}}]

로부터

[eqn: f(1)=][eqn: `ln` sqrt {{2e} over {e+1}}]

이다.

[논제 3] 구간 [eqn: [-1,`2]]에서 함수 [eqn: f(x)`=`][eqn: root {3} of {x ^{3} -x ^{2} `}]의 그래프를 파악하기 위해서 함수 [eqn: f(x)]를 미분하면

[eqn: f`` prime `(x)`=` {1} over {3} {3x ^{2} -2x} over {(x ^{3} -x ^{2} ) ^{2/3} `} ``][eqn: =` {x(3x-2)} over {3(x-1) ^{2/3} `x ^{4/3}} ``]

이다. 따라서 [eqn: x= {2} over {3}]에서 [eqn: f``'(x)`=`0] 이고 [eqn: x=0,`1]에서 미분가능하지 않다. 그러므로 도함수 [eqn: f``'(x)`]의 부호를 통해 극대, 극소를 판정하면 아래와 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {2} over {3}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`` prime (x)]	[eqn: +]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]		[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘	극소	↗		↗

이를 이용하여 [eqn: f(x)]의 그래프를 그리면 아래와 같다.

[eqn: `-` {root {3} of {4}} over {3}]

[eqn: 1]

[eqn: {2} over {3}]

[eqn: - {1} over {3}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)]

그러므로

[eqn: M(t)= {cases{`f(t)&``````-1 LEQ t<0``#````0&```````````````0 LEQ t`<1#`f(t)&```````````````1 LEQ `t LEQ 2}}] 이고   [eqn: m(t)= {cases{```f(t)&```````````````````````````````````-1 LEQ ``t``<`- {1} over {3} ``#-` {root {3} of {4}} over {3}&```````````````````````````````- {1} over {3} ` LEQ t`< {2} over {3}#```f(t)&`````````````````````````````````````````` {2} over {3} LEQ `t LEQ 2}}]

이다. 따라서

[eqn: M(t)-m(t)= {cases{```````````````0&```````````````````-1 LEQ t<`- {1} over {3} `#f(t)+` {root {3} of {4}} over {3}&``````````````````- {1} over {3} ` LEQ t`<0``#``````````` {root {3} of {4}} over {3}&```````````````````````````0 LEQ t< {2} over {3}#`````````-`f(t)&````````````````````````` {2} over {3} LEQ t`<1#````````````````0&``````````````````````````1 LEQ `t LEQ 2}}]

이고 함수 [eqn: y=M(x)-m(x)]의 그래프는 아래와 같다.

[eqn: M(x)-m(x)]의 그래프

[eqn: ` {root {3} of {4}} over {3}]

[eqn: 1]

[eqn: {2} over {3}]

[eqn: - {1} over {3}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: {1} over {3}]

정적분 [eqn: int _{a- {1} over {3}} ^{a+ {1} over {3}} {``` LEFT ( M(t)`-`m(t) RIGHT ) `dt}]는 곡선 [eqn: y=][eqn: M(x)-m(x)]와 두 직선 [eqn: x=a- {1} over {3}], [eqn: x=a+ {1} over {3}] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 넓이이므로, [eqn: int _{a- {1} over {3}} ^{a+ {1} over {3}} {``` LEFT ( M(t)`-`m(t) RIGHT ) `dt}]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1over3]이다.