단국대학교 2017학년도전형 모의논술고사

자연계열

문제 및 가이드답안

[문제1]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

	2017학년도전형 모의논술고사	자연계열

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(가) 평면에서 한 점 [eqn: rm O]를 고정하면 임의의 벡터 [eqn: {vec{p}}]에 대하여 [eqn: {vec{p}} `=` {vec{rm OP}}]인 점 [eqn: rm P]의 위치가 하나로 정해진다. 역으로 임의의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: ` {vec{rm OP it}} `=` {vec{p}}]인 벡터 [eqn: {vec{p}}]가 하나로 정해진다. 이와 같이 좌표평면에서 점 [eqn: rm O]를 시점으로 하는 벡터 [eqn: vec { rm OP}]를 점 [eqn: rm P]에 대한 위치벡터라고 한다.

(나) 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it], [eqn: rm B it]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: m`:`n`(m>0,`n>0)]으로 내분하는 점을 [eqn: rm Q] 라 하면, [eqn: {rm {vec{OQ}}} `=` {m {rm {vec{OB}}} `+`n {rm{vec{OA}}}} over {m+n}]이다.

<제시문>

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmA} _{n}], [eqn: {rm B} _{n}], [eqn: {rm C} _{n}]이 다음 조건을 만족시킨다.

① 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} ``]의 넓이는 [eqn: 625]이다.

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm C _{3}]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm 3]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm 3]

[eqn: rm 3]

[eqn: rm 2]

② [eqn: {vec{{rm OA} _{n+1}}}} `=` {1} over {5} (3` vec{{rm OB} _{n}} +2` {vec{{rm OC} _{n}}} `)]

[eqn: vec{{rm OB} _{n+1}}} `=` {1} over {5} (3` {vec{{rm OC} _{n}}} +2` {vec{{rm OA} _{n}}} `)]

[eqn: {vec{{rm OC} _{n+1}}} `=` {1} over {5} (3` {vec{{rm OA} _{n}}} +2` {vec{{rm OB} _{n}}} `)]

[논제 1] [eqn: {vec{rm A it rm _{1} rm A it rm _{2} it}} + {vec{rm B it rm _{1} rm B it rm _{2} it}} `=a`` {vec{rm A it rm _{1} rm B _{1} it}} `+b` rm {vec{A _{1} C _{1}}}]을 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을  구하시오.  (10점)

[논제 2] 삼각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3}]의 넓이를 구하시오. (10점)

[논제 3] 다음 조건을 만족시키는 점 [eqn: rm P]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PA _{1} B _{1}]의 넓이를 구하시오.  (20점)

[eqn: n` -> ` INF]일 때, 선분의 길이 [eqn: {bar{{rm A} _{n} rm P}} `], [eqn: {bar{{rm B} _{n} rm P}}], [eqn: {bar{{rm C} _{n} rm P}}]가 모두 [eqn: 0]으로 수렴한다.

[문제2]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (60점)

<제시문>

(가) 구간 [eqn: [a,`b]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]의 부정적분을 [eqn: F`(x)]라 하면,

[eqn: int _{a} ^{x} {`f(t)`dt} `=F` LEFT ( x RIGHT ) -F(a)]  ([eqn: a LEQ x LEQ b])

가 성립한다. 따라서 [eqn: a LEQ g(x) LEQ b]인 함수 [eqn: g(x)]에 대하여

[eqn: int _{a} ^{g(x)} {`f(t)`dt} `=F` LEFT ( g(x) RIGHT ) -F(a)]

이다. 그러므로 미분가능한 함수 [eqn: g`:`(c,`d)`` -> [a,`b]]에 대하여 함수 [eqn: H(x)= int _{a} ^{g(x)} {`f(t)`dt} `]는

구간 [eqn: (c,`d)]에서 미분가능하고,

[eqn: {d} over {dx} H(x)=f(g(x))`g`'(x)`]

이다.

(나) 미분가능한 함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: x=c]에서 극값을 가지면 [eqn: f`'(c)=0]이다.

이 때 [eqn: x]가 증가하면서 [eqn: x=c]를 지날 때 [eqn: f`'(x)]의 부호가

⦁ 양에서 음으로 변하면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`c]에서 극댓값을 가진다.

⦁ 음에서 양으로 변하면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`c]에서 극솟값을 가진다.

또한 이계도함수를 가지는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'`(c)`=`0]일 때

⦁ [eqn: f`''(c)`<0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`c]에서 극댓값을 가진다.

⦁ [eqn: f` '' (c)`>0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`c]에서 극솟값을 가진다.

(다) 함수 [eqn: f(x)]의 정의역과 치역, 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, [eqn: x]절편과 [eqn: y]절편, 연속성 등을

알면 그 그래프의 개형을 그릴 수 있다. 이계도함수를 가지는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

⦁ 구간 [eqn: (a,`b)]에서 항상 [eqn: f` '' (x)`>0]이면 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: (a,`b)]에서 아래로 볼록하다.

⦁ 구간 [eqn: (a,`b)]에서 항상 [eqn: f` '' (x)`<0]이면 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: (a,`b)]에서 위로 볼록하다.

[eqn: y=f(x)]

[eqn: x]

[eqn: y]

아래로 볼록

[eqn: x]

[eqn: y]

위로 볼록

[eqn: y=f(x)]

[논제 1] 아래 그림은 정의역이 구간 [eqn: [0,5]]이고 치역이 구간 [eqn: [-1,2]]인 연속함수 [eqn: f(x)]와 정의역이 구간 [eqn: (0,6)]이고 치역이 구간 [eqn: [2,5)]인 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]의 그래프이다.

함수 [eqn: H(x)= int _{a} ^{g(x)} {`f(t)`dt}]가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a]와 [eqn: b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 LEQ a LEQ 5])

(20점)

① [eqn: H(x)]의 극솟값은 [eqn: 0]이다.

② [eqn: H(x)]는 [eqn: x=b]에서 극댓값을 갖는다.

[논제 2] 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: A(x)`= int _{0} ^{1} {|`e ^{t} `-`x`|} `dt]

라 할 때 함수 [eqn: A(x)]의 최솟값을 구하고, [eqn: y=A(x)]의 그래프를 그리시오. (20점)

[논제 3] 구간 [eqn: [0,`2]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: F(x)`=` int _{0} ^{x} {{e ^{x+t}} over {f(x-t)} `dt}]  ([eqn: 0 LEQ x LEQ 2])

라 하자. 함수 [eqn: F(x)]가 [eqn: x=`1]에서 극값 [eqn: -2]를 가질 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: [0,`2]]에서 [eqn: f(x) != 0]이다.) (20점)

문제 1

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 위치벡터의 개념을 이해하고 있는지를 평가

[논제 2] 벡터로 표현된 점의 기하학적 의미를 파악하고 문제를 해결할 수 있는지를 평가

[논제 3] 벡터를 이용하여 일정한 규칙에 의하여 얻어지는 삼각형들이 공통적으로 갖고 있는 기하학적 성질을 파악할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 신항균 외 (2015), 수학I, 132-145쪽

○ 조도연 외 (2015), 수학I, 156-173쪽

○ 우정호 외 (2015), 기하와 벡터, 184-188쪽

○ 황선욱 외 (2015), 기하와 벡터, 130-131쪽

[논제 1 평가기준]

[eqn: rm {vec{A _{1} A _{2}}} `]와 [eqn: rm {vec{B _{1} B _{2}}} `]를 [eqn: rm {vec{A _{1} B _{1}}} `]과 [eqn: rm {vec{A _{1} C _{1}}} `]으로 표현된 식을 제시: 5점

[eqn: a=- {2} over {5}], [eqn: b=1]을 제시: 5점

[논제 2 평가기준]

- [eqn: TRIANGLE {rm A} it _{n+1}{rm B} _{n+1} {rm C}_{n+1} `=` {7} over {25} TRIANGLE {rm A} _{n} {rm B} _{n}{rm C} _{n}] 임을 제시: 5점

[eqn: rm TRIANGLE A _{3} B _{3} C _{3} `=`49] 임을 제시: 5점

[논제 3 평가기준]

- 점 [eqn: rm P]가 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]의 무게중심임을 설명하거나 점 [eqn: rm P]의 좌표를 제시: 15점

- [eqn: rm TRIANGLE PA _{1} B _{1} `=` {625} over {3}] 임을 제시: 5점

□ 예시 답안

점  [eqn: rm A it _{n}], [eqn: {rmB} _{n}], [eqn: {rmC} _{n}]의 정의로부터 점 [eqn: {rmA} _{n+1}]은 선분 [eqn: {rm B} it _{n} rm C it rm _{n}]을 [eqn: 2`:`3]으로 내분하는 점, 점 [eqn: {rm B} _{n+1}] 은 선분 [eqn: {rm C} it _{n} rm A it rm _{n}]을 [eqn: 2`:`3]으로 내분하는 점, 점 [eqn: rm C it _{n+1}]은 선분 [eqn: {rm A} it _{n} rm B it rm _{n}]을 [eqn: 2`:`3]으로 내분하는 점임을 알 수 있다.

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm C _{3}]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm 3]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm 3]

[eqn: rm 3]

[eqn: rm 2]

[논제1]  [eqn: rm {vec{A _{1} A _{2}}} `=` {1} over {5} LEFT ( 3 {vec{A _{1} B _{1}}} `+`2 {vec{A _{1} C _{1}}} RIGHT )] 이고

[eqn: rm {vec{B _{1} B _{2}}} `=` {1} over {5} LEFT ( 3 {vec{B _{1} C _{1}}} `+`2 {vec{B _{1} A _{1}}} RIGHT ) = {1} over {5} LEFT { 3( {vec{A _{1} C _{1}}} `- {vec{A _{1} B _{1}}} )`-`2 {vec{A _{1} B _{1}}} RIGHT }]

이므로 [eqn: rm {vec{A _{1} A _{2}}} `+` {vec{B _{1} B _{2}}} `=``-` {2} over {5} {vec{A _{1} B _{1}}} `+` {vec{A _{1} C _{1}}}] 이다. 따라서 [eqn: a`=`- {2} over {5}], [eqn: b`=`1]이다.

[eqn: {rm B}_n]

[eqn: {rm A}_n]

[eqn: {rm C}_n]

[eqn: {rm B}_{n+1}]

[eqn: rm A it _{n+1}]

[eqn: rm C it rm _{n+1}]

[논제2] 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 [eqn: TRIANGLE rm ABC]로 나타내자.

그림으로부터

[eqn: TRIANGLE { rmA } _{n} {rm B} _{n+1} {rm C} _{n+1} `=` {1} over {2} ` {bar{{rm A} _{n} {rm B} _{n+1}}} ` BULLET {bar{{rm A} _{n} {rm C} _{n+1}}} `sin` ANGLE {rmA} _{n}# ``````````````````````````````````````````````````````=` {1} over {2} left(` {3} over {5} ` {bar{{rm A} _{n} {rm C} _{n}}} `right)` left( {2} over {5} bar{{rm A} _{n} {rm B} _{n}} right) sin` ANGLE {rmA} _{n}# ```````````````````````````````````````````````````````=` {6} over {25} TRIANGLE {rm A} _{n} {rm B} _{n} {rm C} _{n} `]

이다. 같은 방법으로

[eqn: TRIANGLE {rm B} _{n} {rm A} _{n+1} {rm C} _{n+1}][eqn: `=`TRIANGLE {rm C} _{n} {rm B} _{n+1} {rm A} _{n+1} `=` {6} over {25} TRIANGLE {rm A} _{n} {rm B} _{n} {rm C} _{n}]

임을 알 수 있다. 따라서

[eqn: ` TRIANGLE rm A it rm _{n+1} rm B it rm _{n+1} rm C it rm _{n+1} `=` TRIANGLE rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} rm C it rm _{n} `-`3 TIMES {6} over {25} TRIANGLE rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} rm C it rm _{n} `=` {7} over {25} TRIANGLE rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} rm C it rm _{n}]

이므로

[eqn: rm TRIANGLE A _{3} B _{3} C _{3} `=` {7} over {25} TRIANGLE A _{2} B _{2} C _{2} `=` LEFT ( {7} over {25} RIGHT ) ^{2} TRIANGLE A _{1} B _{1} C _{1} =49]

이다.

[논제3]  [eqn: {vec{{rm OA} _{n}}} it `=`(`p _{n} ,`q _{n} `)], [eqn: { {vec{{rm OB} _{n}}}} `=`(`r _{n} ,`s _{n} `)], [eqn: { {vec{{rm OC} _{n} `}}} `=`(`t _{n} ,`u _{n} `)]이라 하면 주어진 조건 ②에 의하여 다음이 성립한다.

[eqn: p _{n} `+`r _{n} `+`t _{n`} `=`p _{n+1} `+`r _{n+1} `+`t _{n+1} `]

[eqn: q _{n} `+`s _{n} `+`u _{n} `=`q _{n+1} `+`s _{n+1} `+`u _{n+1}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm A} it rm _{n} rm B it rm _{n} rm C it rm _{n}]의 무게중심과 [eqn: {rm A} it _{n+1} rm B it rm _{n+1} rm C it rm _{n+1}]의 무게중심은 동일하다.

조건으로부터 [eqn: n` -> ` INF]일 때, 선분의 길이 [eqn: {bar{{rm A} _{n} rm P}} `], [eqn: {bar{{rm B} _{n} rm P}}], [eqn: {bar{{rm C} _{n} rm P}}]가 모두 [eqn: 0]으로 수렴하므로 점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: ( alpha ,` beta )]라 하면,

[eqn: p _{n} ` -> ` alpha], [eqn: r _{n} ` -> ` alpha], [eqn: t _{n} ` -> ` alpha], [eqn: q _{n} `` -> ` beta], [eqn: s _{n} ` -> ` beta], [eqn: u _{n} ` -> ` beta]

이다. 따라서

[eqn: {p _{1} `+`r _{1} `+`t _{1}} over {3} `=` {p _{n} `+`r _{n} `+`t _{n}} over {3} `` -> alpha]

[eqn: {q _{1} `+`s _{1} `+`u _{1}} over {3} `=` {q _{n} `+`s _{n} `+`u _{n}} over {3} `` -> ` beta]

이므로 [eqn: alpha = {p _{1} `+`r _{1} `+`t _{1}} over {3} `], [eqn: beta = {q _{1} `+`s _{1} `+`u _{1}} over {3} `]이다. 그러므로 점 [eqn: rm P]는 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]의 무게중심이고 삼각형 [eqn: rm PA _{1} B _{1}]의 넓이는 [eqn: {625} over {3}]이다.

문제 2

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 함수의 그래프를 파악하여 적분으로 표현된 함수의 극값의 개념을 이해하고 있는지를 평가

[논제 2] 적분으로 표현된 함수의 그래프를 그릴 수 있는지를 평가

[논제 3] 정적분의 기본정리와 치환적분을 이용하여 문제를 해결할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 정상권 외 (2015), 미적분 I, 173-182쪽

○ 우정호 외 (2015), 미적분 II, 154-159, 206-209, 218-222쪽

○ 이강섭 외 (2015), 미적분 II, 128-134, 166-181쪽

[논제 1 평가기준]

- [eqn: H``'(x)=f(g(x))g`'(x)]임을 제시: 5점

- [eqn: x=1], [eqn: x=5]에서 극값을 가짐을 제시: 5점

[eqn: a=2,`b=5]임을 제시: 10점

[논제 2 평가기준]

- 3구간으로 나누어서 적분함수 [eqn: A(x)]을 제시: 10점

- [eqn: A(x)]의 최솟값 [eqn: e-2 sqrt {e} +1]을 제시: 5점

- 그래프의 개형을 제시: 5점

[논제 3 평가기준]

- [eqn: x-t`]를 치환하여 [eqn: F(x)]를 치환된 식으로 제시: 8점

[eqn: F``'(x)]를 제시: 8점

[eqn: f(1)`=` {e} over {4}]을 제시: 4점

□ 예시 답안

[논제1] 함수 [eqn: H(x)]의 극값은 [eqn: H``'(x)=f(g(x))g`'(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]에서 갖는다.

[eqn: f(g(x))=0]으로부터 [eqn: g(x)=4], 즉 [eqn: x=5]이다. 또한 [eqn: g`'(x)=0]으로부터 [eqn: x=1]이다.

따라서 [eqn: H(x)]의 극값은 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=5]에서만 가질 수 있다.

(ⅰ) [eqn: x=1]

[eqn: x]가 증가하면서 [eqn: x=1]을 지날 때

[eqn: f(g(x))]의 부호는 계속 양이고,

[eqn: g`'(x)]의 부호는 음에서 양으로 변한다.

따라서 [eqn: H``'(x)]의 부호는 음에서 양으로 변하므로 [eqn: H`(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: x=5]

[eqn: x]가 증가하면서 [eqn: x=5]를 지날 때

[eqn: f(g(x))]의 부호는 양에서 음으로 변하고,

[eqn: g`'(x)]의 부호는 계속 양이다.

따라서 [eqn: H``'(x)]의 부호는 양에서 음으로 변하므로 [eqn: H`(x)]는 [eqn: x=5]에서 극댓값을 갖는다.

조건으로부터 [eqn: H(1)= int _{a} ^{g(1)} {f(t)`dt`} =0]이므로 [eqn: a=g(1)=2]이다. 즉 [eqn: a=2], [eqn: b=5]이다.

[논제2] [eqn: 0 LEQ t LEQ 1]일 때 [eqn: 1-x LEQ e ^{t} -x LEQ e-x] 이므로

(i) [eqn: x<1],   (ii) [eqn: 1 LEQ x<e],  (iii) [eqn: e LEQ x]

의 3가지 경우로 나누어 생각한다.

(i) [eqn: x<1]인 경우

[eqn: e ^{t} >x] 이므로  [eqn: A(x)`= int _{0} ^{1} {(e ^{t} `-``x``)} `dt][eqn: =-x+e-1] 이다.

(ii) [eqn: 1 LEQ x<e]인 경우

[eqn: e ^{t} `=`x]로부터 [eqn: t=`ln`x]를 얻는다.

[eqn: 0 LEQ t<ln`x]일 때 [eqn: e ^{t} LEQ x] 이고, [eqn: ln`x LEQ t<1]일 때, [eqn: e ^{t} GEQ x]이므로

[eqn: A(x)`= int _{0} ^{ln`x} {(x-e ^{t} `)} `dt+ int _{ln`x} ^{1} {(e ^{t} -x`)} `dt]

[eqn: =`2x`ln`x-3x`+e+1]

이다.

(iii) [eqn: e LEQ x]인 경우

[eqn: e ^{t} LEQ x] 이므로  [eqn: A(x)`= int _{0} ^{1} {(x-e ^{t} `)} `dt][eqn: =x-e+1] 이다.

(i), (ii), (iii)으로부터

[eqn: A(x)`= int _{0} ^{1} {|`e ^{t} `-``x``|} `dt][eqn: = {cases{-x+e-1&`````````(x<1)#2x`ln`x`-3x+e+1&````````(1 LEQ x<e)#x+1-e&`````````(x GEQ e)}}]

이다.

이제 [eqn: A(x)]의 그래프를 그리자.

① [eqn: A(x)]의 정의역

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: A(x)]가 존재하므로 함수 [eqn: A(x)]의 정의역은 실수집합이다.

② 그래프의 증가와 감소, 극댓값과 극솟값

[eqn: x LEQ 1]에서 [eqn: A(x)]는 감소하는 일차함수이고 [eqn: A(1)=e-2]이다.

[eqn: x GEQ e]에서 [eqn: A(x)]는 증가하는 일차함수이고 [eqn: A(e)=1]이다.

[eqn: 1<x<e]에서 [eqn: A prime (x)=2`ln`x`-1]이다. [eqn: A prime (x)=0]으로부터

[eqn: A(x)]는 [eqn: x= sqrt {e}]에서 극값 [eqn: e-2 sqrt {e} `+1]을 갖는다.

③ 그래프의 볼록 방향과 변곡점

[eqn: 1<x<e]에서 [eqn: A '' (x)= {2} over {x} >0] 이므로 이 구간에서 아래로 볼록하다. 따라서

[eqn: A( sqrt {e} )=][eqn: e-2 sqrt {e} `+1]은 극솟값이다.

④ [eqn: x]축, [eqn: y]축의 교점, 대칭성과 주기

(i)   [eqn: x<1]에서는 [eqn: x]절편은 없고, [eqn: y]절편은 [eqn: y=`e-1]

(ii)  [eqn: x GEQ e]에서는 [eqn: x], [eqn: y] 축과 만나지 않는다.

(iii) [eqn: 1 LEQ x<e]에서는 아래로 볼록하고 극솟값이 [eqn: A( sqrt {e} )=][eqn: e-2 sqrt {e} `+1`=`( sqrt {e} `-1) ^{2} `>0] 이므로

[eqn: x]축과 만나지 않는다.

⑤ [eqn: lim _{x -> - INF } {`A(x)} =][eqn: lim _{x -> ` INF } {`A(x)} `=` INF]이다.

따라서 [eqn: A(x)]의 최솟값은 [eqn: e-2 sqrt {e} `+1]이고, [eqn: y=A(x)]의 그래프는 아래와 같다.

[eqn: y]축

[eqn: e-1]

[eqn: x]축

[eqn: 1]

[eqn: e]

[eqn: e-2]

[eqn: sqrt {e}]

[eqn: e-2 sqrt {e} +1]

[eqn: 1]

[논제3] [eqn: x-t`=`s]로 치환하면 치환적분법으로부터

[eqn: F(x)`= int _{0} ^{x} {{e ^{`x+t}} over {f(x-t)} `dt=} `- int _{x} ^{0} {{e ^{2x-s}} over {f(s)} `ds`} =` int _{0} ^{x} {{e ^{2x-s}} over {f(s)} `ds``} =e ^{2x} int _{0} ^{x} {{e ^{-s}} over {f(s)} `ds}]

이 성립한다. 따라서

[eqn: F``'`(x)`=`2][eqn: e ^{2x} int _{0} ^{x} {{e ^{-s}} over {f(s)} `ds}][eqn: +e ^{2x} {e ^{-x}} over {f(x)}]

[eqn: =2F(x)][eqn: + {e ^{x}} over {f(x)}]         …………………………  (*)

이다. 한편 [eqn: F(x)]가 [eqn: x=`1]에서 극값 [eqn: -2]를 가지므로 [eqn: F`` prime (1)`=`0], [eqn: F(1)=-2]가 되어, (*)로 부터

[eqn: 0`=2(-2)+ {e} over {f(1)} `]를 얻는다. 따라서 [eqn: f(1)`=` {e} over {4}]이다.

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