단국대학교 2016학년도전형 모의논술고사

자연계열

문제 및 가이드답안

[문제1]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

	2016학년도전형 모의논술고사	자연계열

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(가) 지수의 성질에 의하여 [eqn: 2 ^{x} =8]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 3]이지만 [eqn: 2 ^{x} =5]를 만족시키는 [eqn: x]의 값은 유리수 범위에 없다. 일반적으로, [eqn: a>0,```a != 1]일 때, 임의의 양수 [eqn: N]에 대하여

[eqn: a ^{x} =N]

을 만족시키는 실수 [eqn: x]는 오직 하나 존재한다. 이 때, [eqn: x]를 [eqn: a]를 밑으로 하는 [eqn: N]의 로그라 하고, 기호로

[eqn: log _{a`} N]

과 같이 나타낸다. 일상생활에서 흔히 사용하는 수는 십진법의 수이므로 로그의 계산에서도 10을 밑으로 하는 로그를 사용하면 편리하다. 이렇게 10을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 하고, 상용로그 [eqn: log _{10`} N]은 흔히 밑 [eqn: 10]을 생략하여

[eqn: log`N]

과 같이 나타낸다.

(나) 임의의 양수 [eqn: x]는 10의 거듭제곱을 이용하여

[eqn: x=A TIMES 10 ^{n} `````(1 LEQ A<10,```n]은 정수)

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log``x=n+log``A]

이며, [eqn: 1LEQ A<10]이므로 [eqn: 0 LEQ log``A<1]이다. 이때 정수 [eqn: n]을 [eqn: log```x]의 지표, [eqn: log`A]를 [eqn: log``x]의 가수라고 한다.

<제시문>

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [논제 1]과 [논제 2]의 물음에 답하시오.

[논제 1] 수열 [eqn: LEFT { log`a _{n} RIGHT }]이 등차수열이면 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 등비수열임을 설명하시오. (10점)

[논제 2] 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log```x]의 가수를 [eqn: g(x)]라고 하자. 수열 [eqn: LEFT { log`a _{n} RIGHT }]은 공차가 [eqn: d`(`단,``-1<d<0)]인 등차수열이고

[eqn: g(a _{22} )-g(a _{2} )=- {1} over {2}]

일 때, [eqn: d]의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (20점)

[문제2]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (35점)

(가) 좌표평면에서 일차변환은 [eqn: 2 TIMES 2]행렬로 나타내어진다. 예를 들어 일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬을 [eqn: A]라고 하면 좌표평면의 점 [eqn: P]가 [eqn: f]에 의하여 옮겨지는 점은

[eqn: f(P)=AP] … (*)

와 같이 나타낸다. 즉, [eqn: A= {pmatrix{a&b#c&d}}]에 대하여 식 (*)을

[eqn: f {pmatrix{pmatrix{x#y}} = {pmatrix{a&b#c&d}} {pmatrix{x#y}}]

와 같이 이해하여 행렬의 곱을 통하여 [eqn: f{pmatrix{pmatrix{x#y}}]를 계산할 수 있다.

(나) 좌표평면에서의 기하 문제는 대부분 좌표의 대수적 계산으로 해결할 수 있다. 그러나 경우에 따라서는 문제 상황을 나타내는 그림을 생각하며 문제를 해결하면 대수적 계산이 적은 풀이를 할 수 있다. 예를 들어 일차변환 [eqn: {pmatrix{3&0#0&3}}]은 주어진 점을 원점에서부터 그 점에 이르는 방향으로 원점과의 거리가 [eqn: 3]배만큼 멀리 떨어진 점으로 이동시킨다. 이러한 기하학적인 의미를 이용하면 일차변환 [eqn: {pmatrix{3&0#0&3}}]은 [eqn: (1,`2)]를 [eqn: (3,6)]으로 이동시킨다는 사실을 직관적으로 알 수 있다.

<제시문>

일차변환 [eqn: f _1], [eqn: f_2], [eqn: g], [eqn: h]를 나타내는 행렬을 각각

[eqn: {pmatrix{cos` theta ```&```-sin` theta #sin` theta &``````cos` theta }}], [eqn: {pmatrix{sin` theta &```-cos` theta #cos` theta &``````````sin` theta }}], [eqn: {pmatrix{0```&```0#0```&```1}}], [eqn: {pmatrix{1```&```0#0```&```0}}]

이라 하자. (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}])

[eqn: P _{1} =f _{2} {pmatrix{pmatrix{1#0}}]이라 하고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {cases{P _{2n} =(f _{1} CIRC g) LEFT ( P _{2n-1} RIGHT )&#P _{2n+1} =(f _{2} CIRC h) LEFT ( P _{2n} RIGHT )&}}]

이라 할 때, [논제 1]과 [논제 2]의 물음에 답하시오.

[논제 1] 좌표평면에서 일차변환 [eqn: f _{1} CIRC g]와 [eqn: f_2 CIRC h]가 나타내는 기하학적 의미를 각각 설명하시오.(10점)

[논제 2] 삼각형 [eqn: OP _{2} P _{7}]의 넓이가 삼각형 [eqn: OP _{4} P _{7}]의 넓이의 [eqn: 4]배일 때, 삼각형 [eqn: P _{2} P _{4} P _{7}]의 넓이를 구하시오.(단, [eqn: O]는 원점이다.) (25점)

[문제3]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (35점)

(가) 함수 [eqn: y=f(x)]에서

[eqn: {TRIANGLE y} over {TRIANGLE x} = {f(a+ TRIANGLE x)-f(a)} over {TRIANGLE x}]

를 [eqn: x]의 값이 [eqn: a]에서 [eqn: a+ TRIANGLE `x]까지 변할 때 함수 [eqn: y=f(x)]의 평균변화율이라 하며, 이 값은 두 점[eqn: it `(a,`f(a))]와 [eqn: it `(a+ TRIANGLE x ,`f(a+ TRIANGLE x ))]를 지나는 직선의 기울기이다. 또한 [eqn: TRIANGLE x` -> `0]일 때 평균변화율의 극한값

[eqn: lim _{TRIANGLE x -> 0} {} {TRIANGLE y} over {TRIANGLE x} = lim _{TRIANGLE x` -> `0} {} {f(a+ TRIANGLE x)-f(a)} over {TRIANGLE x}]

가 존재하면 이 극한값을 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x=a]에서의 미분계수 또는 순간변화율이라 하고 기호로 [eqn: f` prime `(a)]와 같이 나타낸다.

(나) 미분 가능한 두 함수 [eqn: f(x),``g(x)]에 대하여 곱의 미분법 [eqn: LEFT { f(x)g(x) RIGHT } ^{prime } `=f ^{prime`} (x)`g(x)+f(x)g ^ {prime }(x)]으로부터 [eqn: f(x) g^ prime (x)= LEFT { f(x)g(x) RIGHT }^prime -f^ prime (x)g(x)] 이다. 이 등식의 양변을 적분하면

[eqn: int _{} ^{} {f(x)g ^{prime } (x)} dx] [eqn: =f(x)g(x)- int _{ } ^{ } {f^ prime (x)g(x) }dx]

를 얻는다. 이와 같은 적분 방법을 부분적분법이라 한다. 예를 들어,

[eqn: int _{} ^{} {} e ^{-t} `sin`t``dt`=-e ^{-t} `sin`t`+` int _{} ^{} {e ^{-t} `cos`t} ``dt]

이다.

<제시문>

[논제 1] 실수 전체의 집합에서 연속인 증가함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하다. 모든 양수 [eqn: r`]에 대하여, 중심이 [eqn: (0,`f(0))]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점의 [eqn: x] 좌표 중의 하나가 [eqn: {r} over {sqrt {r+2}}]이다. 이때, [eqn: f'(0)]의 값을 구하시오. (15점)

[eqn: {r} over {sqrt {r+2}}]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: r]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[논제 2] 함수

[eqn: g(x)=2 int _{0} ^{x} {} e ^{t-x} ``sin`(x-t)`dt`]

에 대하여, 방정식 [eqn: g(x)=1]의 모든 양의 해를 작은 것부터 크기 순서대로 [eqn: x _{1} ,``x _{2} ,`` CDOTS ``,x _{n} ,`` CDOTS `]라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } g prime `(x _{n} )]의 값을 구하시오. (20점)

문제 1

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 등차수열과 등비수열의 개념을 알고, 로그의 성질을 이해할 수 있는지를 평가

[논제 2] 상용로그의 지표와 가수를 이해하고 수열의 문제를 해결할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 이강섭 외(2013), 수학 I, 76-88쪽, 104-120쪽

○ 양승갑 외(2013), 수학 I, 80-93쪽, 112-126쪽

○ 이준열 외(2013), 수학 I, 81-92쪽, 111-128쪽

○ 이동원 외(2013), 수학 I, 86-97쪽, 114-131쪽

○ 우무하 외(2013), 수학 I, 87-98쪽, 120-129쪽

[논제 1 평가기준]

[eqn: a _{n} =a _{1} ` TIMES (10 ^{d} ) ^{n-1}]임을 제시 : 5점

- 공비가 [eqn: 10 ^{d}]임을 제시 : 5점

[논제 2 평가기준]

- 공비 [eqn: d]와 [eqn: f(a _{22} )-f(a _{2} )]의 관계 제시 : 10점

- 최댓값, 최솟값 제시 : 10점

□ 예시 답안

[논제1] [eqn: LEFT { log`a _{n} RIGHT }]을 공차가 [eqn: d]인 등차수열이라 하면 일반항은

[eqn: log`a _{n} =loga _{1} +(n-1)d]

이다. 따라서

[eqn: log`a _{n} =log`a _{1} +log`10 ^{(n-1)d} =log`a _{1} 10 ^{(n-1)d}]

이므로,

[eqn: a _{n} =a _{1} ` TIMES (10 ^{d} ) ^{n-1}]

이다. 그러므로 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: `a _{1}]이고 공비가 [eqn: 10 ^{d}]인 등비수열이다.

[논제2]  [eqn: log```x]의 지표를 [eqn: f(x)]라 하면

[eqn: log`a _{22} =f(a _{22} )+g(a _{22} )][eqn: =log```a _{1} +21d]

[eqn: log`a _{2} =f(a _{2} )+g(a _{2} )] [eqn: =log```a _{1} +d]

이므로

[eqn: 20d`=`f(a _{22} )-f(a _{2} )`+`g(a _{22} )-g(a _{2} )=` LEFT { f(a _{22} )-f(a _{2} ) RIGHT } - {1} over {2}][eqn: =k- {1} over {2}]

(단, [eqn: k`=`f(a _{22} )-f(a _{2} )]) 이다. 따라서 [eqn: -1<`d`<`0]의 조건으로부터

[eqn: -1`<`][eqn: ` {k} over {20} - {1} over {40}] [eqn: <0]

이고, [eqn: k]는 정수이므로  [eqn: -19` LEQ k` LEQ 0] 이다. 그러므로

[eqn: d= {k} over {20} - {1} over {40}]

에서 구하는 최댓값은 [eqn: -{ 1} over {40 }], 최솟값은 [eqn: -{ 39} over {40 }]이다.

문제 2

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 일차변환의 기하학적 의미를 이해할 수 있는지를 평가

[논제 2] 일차변환의 성질을 활용하여 기하문제를 해결할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 최용준 외(2013), 기하와 벡터, 10-34쪽

○ 계승혁 외(2013), 기하와 벡터, 10-37쪽

○ 정상권 외(2013), 기하와 벡터, 12-36쪽

○ 황선욱 외(2013), 기하와 벡터, 11-30쪽

○ 김수환 외(2013), 기하와 벡터, 11-31쪽

[논제 1 평가기준]

- [eqn: f _{1} CIRC g]의 기하학적 의미를 제시: 5점

- [eqn: f_2 CIRC h]의 기하학적 의미를 제시: 5점

[논제 2 평가기준]

- [eqn: {bar{OP _{2}}}], [eqn: {bar{OP _{4}}}], [eqn: {bar{OP _{7}}}]의 길이를 구함: 6점

- [eqn: O], [eqn: P_2], [eqn: P_4]가 한 직선위에 있음을 설명: 4점

[eqn: theta = {pi } over {12}]임을 제시: 7점

[eqn: TRIANGLE P _{2} P _{4} P _{7} = {5 LEFT ( sqrt {6} + sqrt {2} RIGHT )} over {2 ^{12}}]임을 제시 : 8점

□ 예시 답안

[논제 1] [eqn: f _{1} CIRC g]는 주어진 점을 [eqn: y]축 위로 수선의 발을 내린 후 원점을 중심으로 [eqn: theta]만큼 회전이동 시키고, [eqn: f _{2} CIRC h]는 주어진 점을 [eqn: x]축 위로 수선의 발을 내린 후 원점을 중심으로 [eqn: {pi } over {2} -theta]만큼 회전이동 시킨다.

[논제 2] [논제 1]로부터 음이 아닌 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: P _{4n+1}], [eqn: P _{4n+2}], [eqn: P _{4n+3}], [eqn: P _{4n+4}]은 차례대로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면에 위치하게 됨을 알 수 있다. 또한 [eqn: P _{4n+1}]과 [eqn: P _{4n+3}]은 원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )]인 직선 위에 놓여 있고, [eqn: P _{4n+2}]와 [eqn: P _{4n+4}]는 원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )]인 직선 위에 놓여 있다. 이러한 기하학적인 고찰로부터

[eqn: bar{OP _{4n+1}} `=`sin` theta TIMES bar{OP _{4n}}]

[eqn: bar{OP _{4n+2}} `=`cos` theta TIMES bar{OP _{4n+1}}]

[eqn: bar{OP _{4n+3}} `=`sin` theta TIMES bar{OP _{4n+2}}]

[eqn: bar{OP _{4n+4}} `=`cos` theta TIMES bar{OP _{4n+3}}]

이 성립함을 알 수 있다. 이제 조건으로부터

[eqn: {TRIANGLE OP _{2} P _{7}} over {TRIANGLE OP _{4} P _{7}} = {bar{OP _{2}}} over {bar{OP _{4}}} = {cos` theta } over {sin theta `cos ^{2} theta } = {1} over {sin theta `cos theta } =4]

이므로 [eqn: theta = {pi } over {12}]이다.

한편, [eqn: bar{OP _{7}} `=`sin ^{3} ` theta `cos ^{3} theta]이므로

[eqn: TRIANGLE P _{2} P _{4} P _{7} =5` TIMES TRIANGLE OP _{4} P _{7} = {5} over {2} `sin` ^{4} theta ```cos ^{5} ` theta ``sin2 theta = {5 LEFT ( sqrt {6} + sqrt {2} RIGHT )} over {2 ^{12}}]

이다.

문제 3

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제 의도

[논제 1] 평균변화율과 미분계수의 의미를 이해할 수 있는지를 평가

[논제 2] 부분적분법을 활용하여 문제를 해결하고 무한등비급수의 합을 구할 수 있는지를 평가

□ 자료 출처

○ 황선욱 외(2013), 수학 I, 180-187쪽

○ 양승갑 외(2013), 수학 I, 182-190쪽

○ 정상권 외(2013), 수학 II, 112-121쪽

○ 유희찬 외(2013), 수학 II, 112-119쪽

○ 계승혁 외(2013), 적분과 통계, 17-20쪽

○ 최봉대 외(2013), 적분과 통계, 28-31쪽

[논제 1 평가 기준]

- [eqn: y=f(x)]의 [eqn: 0] 부터 [eqn: x]까지의 평균변화율 [eqn: {TRIANGLE y} over {TRIANGLE x}]의 값이 [eqn: sqrt { r+1}]임을 제시: 10점

- [eqn: f`'`(0)] =[eqn: lim _{TRIANGLE x -> 0} {{TRIANGLE y} over {TRIANGLE x}}] = 1임을 제시: 5점

[논제 2 평가 기준]

- [eqn: g(x)`=`1-e ^{-x} (`sin`x+cos`x)`=1-` sqrt {2} e ^{-x} `sin(x+ {pi } over {4} )`]임을 제시:5점

- [eqn: x _{n} =n pi - {pi } over {4}](단, [eqn: n]은 자연수)임을 제시: 5점

[eqn: g ^{`} prime (x)=2e ^{-x} `sinx]임을 제시: 5점

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } g` prime `(x _{n} )=`` sqrt {2} e ^{{pi } over {4}} ` {e ^{- pi }} over {1-(- {1} over {e ^{pi }} )} = {sqrt {2} `e ^{{pi } over {4}}} over {1+e ^{pi }}]임을 제시: 5점

□ 예시 답안

[논제 1] 문제의 조건에서 원의 방정식은 다음과 같다.

[eqn: x ^{2} +(f(x)-f(0)`) ^{2} =r ^{2}]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: 0] 부터 [eqn: x]까지의 평균변화율 [eqn: {TRIANGLE y} over {TRIANGLE x}]는

[eqn: {TRIANGLE y} over {TRIANGLE x} = {f(x)-f(0)} over {x-0}] [eqn: = {sqrt {r ^{2} -x ^{2}}} over {x} =`` {r sqrt {{r+1} over {r+2}}} over {{r} over {sqrt {r+2}}} `=` sqrt {r+1}]

이다. 한편, [eqn: TRIANGLE x` -> `0]일 때, [eqn: r` ->`0]이므로, [eqn: x=0]에서의 미분계수 [eqn: f`'`(0)]은 다음과 같다.

[eqn: f`'`(0)] =[eqn: lim _{TRIANGLE x -> 0} {{TRIANGLE y} over {TRIANGLE x}}] = [eqn: lim _{r` -> `0} sqrt{r+1}] = 1

[논제 2] 제시문 (나)의 예와 부분적분법을 사용하여, 주어진 [eqn: g(x)]에 관한 우변의 적분을 계산하면                  [eqn: g(x)`=`1-e ^{-x} (`sin`x+cos`x)`=1-` sqrt {2} e ^{-x} `sin(x+ {pi } over {4} )`]

이다. 그러므로 방정식 [eqn: g(x)=1]의 모든 양의 해는

[eqn: pi - {pi } over {4} ,``2 pi - {pi } over {4} ,`3 pi - {pi } over {4} , CDOTS `]

이다. 즉, [eqn: x _{n} =n pi - {pi } over {4}](단, [eqn: n]은 자연수)이다. 한편,

[eqn: g ^{`} prime (x)=2e ^{-x} `sinx]

이므로

[eqn: g ^{`} prime (x _{n} )=2e ^{-n pi + {pi } over {4}} `sin`(n pi - {pi } over {4} )`=`(-1) ^{n+1} ` sqrt {2} e ^{-n` pi + {pi } over {4}} `=`- sqrt {2} e ^{{pi } over {4}} (-e ^{- pi } ) ^{n}]

이다. 그러므로 [eqn: LEFT | - { 1} over { e^pi} RIGHT |<1]이므로 무한등비급수의 합의 공식으로부터

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } g` prime `(x _{n} )=`` sqrt {2} e ^{{pi } over {4}} ` {e ^{- pi }} over {1-(- {1} over {e ^{pi }} )} = {sqrt {2} `e ^{{pi } over {4}}} over {1+e ^{pi }}]

이다.