단국대학교 2016학년도 수시모집 논술고사

자연계열 문제 및 답안(오후)

전형유형	논술우수자
수험번호
성 명

[문제1]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

	2016학년도 수시모집 논술고사	자연계열

/10

(가) 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 한 점 [eqn: \P]와 평면 [eqn: alpha] 위의 직선 [eqn: l], 직선 [eqn: l] 위의 한 점 [eqn: rm H], 평면 [eqn: alpha] 위에       있으면서 직선 [eqn: l] 위에 있지 않은 점 [eqn: rm O]에 대하여 다음이 성립한다.

[eqn: 1)~ rm {bar{PO}} BOT alpha ,` {bar{OH}} BOT it l`이면` rm ` {bar{PH}} BOT it l`]

[eqn: 2)~ rm {bar{PO}} BOT alpha ,` {bar{PH}} BOT it l`이면` rm ` {bar{OH}} BOT it l`]

[eqn: 3)~ rm {bar{PH}} BOT it l,` rm {bar{OH}} it BOT it l,` rm {bar{PO}} it BOT rm {bar{OH}} it 이면` rm ` {bar{PO}} BOT it alpha]

(나) 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 한 점 [eqn: \P]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: \P']이라고 할 때, 점 [eqn: \P']을

점 [eqn: \P]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이라고 한다. 일반적으로 도형 [eqn: F`]에 속하는 각 점의 평면 [eqn: alpha] 위

로의 정사영으로 이루어진 도형 [eqn: F``']을 도형 [eqn: F]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이라고 한다.

(다) 영벡터가 아닌 두 공간벡터 [eqn: {vec{a}} =(a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} )], [eqn: {vec{b}} =(b _{1} ,`b _{2} ,`b _{3} )]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때

[eqn: cos theta = {{vec{a}} BULLET {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} +a _{3} b _{3}} over {sqrt {a _{1} ^{``2} +a _{2} ^{``2} +a _{3} ^{``2}} sqrt {b _{1} ^{``2} +b _{2} ^{``2} +b _{3} ^{``2}}}]

<제시문>

[eqn: rm O]

[eqn: rm H]

[eqn: l]

[eqn: alpha]

[eqn: rm P]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC`]

[eqn: rm C prime]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[논제 1] 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위의 삼각형 [eqn: rm`ABC]의 두 꼭짓점 [eqn: rm `A], [eqn: rm `B]는 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]의 교선 위에 있고, 꼭짓점 [eqn: rm`C]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영 [eqn: rm `C prime]은 선분 [eqn: rm`AB]를 지름으로 하는 반원 위에 있다. [eqn: {bar{rm `AB it}} `=`4], [eqn: {bar{rm `AC it}} `=`5], [eqn: ANGLE rm C prime AB=30 DEG]일 때, 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]이다. [eqn: cos` theta]의 값을 구하시오. (10점)

[논제 2] 두 점 [eqn: rm`A(0,`0,`0)]과 [eqn: rm`B(1,`1,`1)]을 지나는 직선에 평행하고 점 [eqn: (0,`1,`2)]를 지나는 직선 위의 점 [eqn: rm`C]가 있다. 점 [eqn: rm C]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: rm -5]보다 크고, 삼각형 [eqn: rm `ABC]의 평면 [eqn: 2x-y+z`+9=0] 위로의 정사영을 삼각형 [eqn: rm `A prime `B prime C prime]이라 할 때 사면체 [eqn: rm `A prime `B prime C prime C]의 부피가 [eqn: 5]이다. 점 [eqn: rm`C]의 좌표를 구하시오. (20점)

문제 1

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 삼수선의 정리를 이해하고 정사영의 뜻을 알며, 이를 활용하여 두 평면이 이루는 각의 크기 [eqn: ` theta]에 대하여 [eqn: cos` theta]를 구할 수 있는지를 평가

[논제 2] 좌표공간에서 평면의 방정식을 구하고, 평면의 법선벡터를 활용하여 두 평면이 이루는 각을 이해하며, 점과 평면사이의 거리를 구할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 최용준 외(2010), 기하와 벡터, 95-103쪽, 175-183쪽

○ 황선욱 외(2010), 기하와 벡터, 85-91쪽, 150-156쪽

○ 황석근 외(2010), 기하와 벡터, 87-96쪽, 159-165쪽

○ 정상권 외(2010), 기하와 벡터, 83-96쪽, 157-162쪽

○ 유희찬 외(2010), 기하와 벡터, 89-100쪽, 166-172쪽

[논제 1 평가기준]

[eqn: rm C prime]에서 [eqn: rm{bar{AB}}]에 내린 수선의 길이 [eqn: rm {bar{HC prime }} `= sqrt {3}]을 제시 : 5점

- [eqn: rmcos` theta = {{bar{HC prime }}} over {{bar{HC}}} = {sqrt {3}} over {4}]을 제시 : 5점

[논제 2 평가기준]

- [eqn: cos theta = {LEFT | {vec{n _{1}}} BULLET {vec{n _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{n _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{n _{2}}} RIGHT |} = {LEFT | 2+2+1 RIGHT |} over {sqrt {6} sqrt {6}} = {5} over {6}]를 제시 : 5점

- 정사영 [eqn: rm A prime `B prime C prime]의 넓이 [eqn: rm{sqrt {6}} over {2} cos theta = {5} over {12} sqrt {6}]을 제시 : 5점

- 사면체 [eqn: rm A prime `B prime C prime C]의 높이 [eqn: h= {LEFT | 2t+10 RIGHT |} over {sqrt {6}}]을 제시 : 5점

- 점 [eqn: rm C][eqn: (13,`14,`15)]를 제시 : 5점

□ 예시 답안

[논제1] 평면 [eqn: beta] 위의 점 [eqn: rm C prime]가 반원 위에 있으므로 [eqn: rm ANGLE AC prime `B]는 직각이다. [eqn: rm ANGLE BAC prime]는 [eqn: 30 DEG]이므로 [eqn: rm {bar{BC prime }} =2`,` {bar{AC prime }} =2 sqrt {3}] 이다. [eqn: rm C prime]에서 [eqn: rm{bar{AB}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면,

삼각형 [eqn: rm ABC prime]의 넓이[eqn: =2 sqrt {3} = {1} over {2} TIMES 4 TIMES][eqn: rm {bar{HC prime }}]

이므로, [eqn: rm {bar{HC prime }} `= sqrt {3}]이다.  [eqn: rm {bar{AC}} =5,` {bar{AC prime }} =2 sqrt {3}]이므로 [eqn: rm {bar{CC prime }} = sqrt {13}]이고, [eqn: rm {bar{HC}} =4]이다.

따라서 [eqn: rmcos` theta = {{bar{HC prime }}} over {{bar{HC}}} = {sqrt {3}} over {4}]이다.

[논제2] 두 점 [eqn: rm `A]와 [eqn: rm `B]를 지나는 직선에 평행하고 점 [eqn: (0,`1,`2)]를 지나는 직선 위의 임의의 점을

[eqn: rm C it(t,`t+1,`t+2)]라고 하자.

세 점 [eqn: rmA,~`B,~`C]를 지나는 평면의 방정식을 [eqn: ax+by+cz+d=0] 이라고 하면 [eqn: d=0]이므로 [eqn: at+b(t+1)+c(t+2)=0], 즉 [eqn: (a+b+c)t+b+2c=0]이다. 그런데 [eqn: a+b+c=0]이므로 [eqn: b=-2c,``a=c]이다. 그러므로 세 점을 지나는 평면의 방정식은 [eqn: x-2y+z=0] 이다. 따라서 두 평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta] (단, [eqn: 0 LEQ theta LEQ {pi } over {2}])라 하면,

[eqn: cos theta = {LEFT | {vec{n _{1}}} BULLET {vec{n _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{n _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{n _{2}}} RIGHT |} = {LEFT | 2+2+1 RIGHT |} over {sqrt {6} sqrt {6}} = {5} over {6}]

이다.(단, [eqn: {vec{n _{1}}} ,` {vec{n _{2}}}]는 각각 두 평면의 법선벡터이다.)

두 점 [eqn: rmA,`B]를 지나는 직선과 점 [eqn: (t,`t+1,`t+2)]를 지나는 직선은 평행하므로, 두 직선 사이의 거리를 구하기 위하여 먼저 두 직선 위의 점 [eqn: (0,`0,`0)]과 점 [eqn: (t,`t+1,`t+2)] 사이의 거리를 구하면

[eqn: sqrt {(t-0) ^{2} +(t+1-0) ^{2} +(t+2-0) ^{2}} = sqrt {3(t+1) ^{2} +2}]

이다. 따라서 [eqn: t=-1]일 때 최솟값을 가지므로 [eqn: (0,`0,`0)]과 [eqn: (-1,`0,`1)] 사이의 거리를 구하면 [eqn: sqrt {2}]이다.

그러므로 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: {sqrt {6}} over {2}]이며, 정사영 [eqn: rm A prime `B prime C prime]의 넓이는 [eqn: rm{sqrt {6}} over {2} cos theta = {5} over {12} sqrt {6}]이다.

정사영 [eqn: rm A prime `B prime C prime]을 밑면으로 하는 사면체 [eqn: rm A prime `B prime C prime C]의 높이는

[eqn: h= {LEFT | 2t-(t+1)+(t+2)+9 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2} +1 ^{2}}} = {LEFT | 2t+10 RIGHT |} over {sqrt {6}}]

이다. 문제의 조건에서 사면체의 부피가 5이므로,

[eqn: V= {1} over {3} Ah# ``````= {1} over {3} TIMES {5} over {12} sqrt {6} TIMES {LEFT | 2t+10 RIGHT |} over {sqrt {6}}# ``````=5]

[eqn: 36= LEFT | 2t+10 RIGHT |]이므로 [eqn: t=13] 또는 [eqn: t=-23]이고, 이 중에 점 [eqn: rm`C]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: rm -5]보다 크다는 조건을 만족시키는 [eqn: t]의 값은 [eqn: 13]이다. 그러므로 점 [eqn: rm`C]의 좌표는 [eqn: (13,`14,`15)]이다.

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

<제시문>

(가) 함수가 일대일대응이면 역함수를 갖는다. 그러므로 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime `(x)`>0]이면 [eqn: f(x)]는 역함수를 갖는다. 마찬가지로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime `(x)`<0]인 경우에도 [eqn: f(x)]는 역함수를 갖는다.

예를 들어 [eqn: f(x)=1+x-e ^{-x}]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f'(x)=1+e ^{-x} >0]이므로 역함수를 갖는다.

(나) 닫힌 구간 [eqn: [a,`b]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]의 부정적분 중의 하나를 [eqn: F(x)]라 하면

[eqn: LEFT . int _{a} ^{b} {f(x)``dx} `=`F(b)-F(a)` RIGHT .]

이다.

(다) 함수 [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: a]에서 [eqn: a+t]까지 변할 때 [eqn: {f(a+t)-f(a)} over {t}]를 함수 [eqn: y=f(x)]의 평균변화율이라 하고, 평균변화율의 극한값

[eqn: lim _{t`` -> `0} {} {f(a+t)-f(a)} over {t}]

가 존재하면 함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=a]에서 미분가능하다고 한다. 이때, 이 극한값을 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x=a]에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 하고 기호로 [eqn: f'(a)]와 같이 나타낸다.

함수 [eqn: f(x)=1+x-e ^{-x}]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하고 [eqn: h(x)= ( x^2 -2x+2 ) e ^{x}]일 때, [논제 1]과 [논제 2]의 물음에 답하시오.

[논제 1] [eqn: int _{0} ^{f(1)} {e ^{`g(x)} `dx}]의 값을 구하시오. (10점)

[논제 2] [eqn: a LEQ 0]일 때,

[eqn: K(a) = lim _{t` -> 0} {{h(g(a)`+g(t))`-`h(g(a))} over {t} ``}]

라 하자. [eqn: K(a)]의 최댓값과 이때의 [eqn: a]의 값을 구하시오. (20점)

문제 2

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 역함수의 개념을 이해하고 치환적분법과 정적분의 기본정리를 활용할 수 있는지를 평가

[논제 2] 미분계수의 개념을 이해하고 주어진 함수의 최대, 최소를 구할 수 있는지를 평가

□ 자료 출처

○ 이강섭 외(2010), 적분과 통계, 12-28쪽, 38-50쪽

○ 우정호 외(2010), 적분과 통계, 12-37쪽, 54-65쪽

○ 황선욱 외(2010), 수학 II, 114-176쪽

○ 정상권 외(2010), 수학 II, 112-141쪽, 148-153쪽

[논제 1 평가 기준]

- [eqn: g(x)=t]로 제시 : 5점

[eqn: int _{0} ^{f(1)} {e ^{`g(x)} `dx}]=[eqn: int _{0} ^{1} {(e ^{`t} +1)`dt}][eqn: =e]를 제시 : 5점

[논제 2 평가 기준]

[eqn: `g` prime (0)= {1} over {f` prime (g(0))} = {1} over {2}]을 제시 : 5점

[eqn: lim _{t -> 0} {{h(g(a)+g(t)`)`-`h(g(a))} over {t} `}][eqn: = { g(a) ^{2} e ^{g(a)} `} over {2}]를 제시 : 5점

[eqn: a=-1-e ^{2}]일 때, 최댓값 [eqn: {2} over {e ^{2}}]를 제시 : 10점

□ 예시 답안

[논제 1]

[eqn: g(x)=t]로 치환하면 [eqn: f]가 [eqn: g]의 역함수이므로 [eqn: x=`f(t)]이며 [eqn: dx``=`f` prime `(t)`dt`=`(1+e ^{-t} )`dt] 이다 한편 [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: g(0)=0]이고, [eqn: g(f(1))=1]이므로,

[eqn: int _{0} ^{f(1)} {e ^{`g(x)} `dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {e^t (1+e ^{-`t} )`dt} = int _{0} ^{1} {(e ^{`t} +1)`dt}][eqn: =e]

이다.

[논제 2]

먼저, [eqn: g(0)=0]이고 [eqn: f`'(x) = 1+e^-x] 이므로

[eqn: ` lim _{t -> 0} {} {g(t)} over {t} =` lim _{t -> 0} {} {g(t)-g(0)} over {t} ``=`g` prime (0)= {1} over {f` prime (g(0))} = {1} over {2}]

이다. 또, [eqn: h`'(x)= x^2 e^x]이므로

[eqn: lim _{t -> 0} {{h(g(a)+g(t)`)`-`h(g(a))} over {t} `}] [eqn: =` lim _{t -> 0} {{h(g(a)+g(t)`)`-`h(g(a))} over {g(t)} ` {g(t)} over {t}}]

[eqn: =`` lim _{s`` -> 0} {{h(g(a)+s)`-`h(g(a))} over {s} `` lim _{t -> 0} {} {g(t)} over {t} `}]

[eqn: =`h` prime `(g(a))``g'(0)]

[eqn: = { g(a) ^{2} e ^{g(a)} `} over {2}]

이다. 따라서 [eqn: a LEQ 0]일 때, [eqn: K(a) = {1} over {2} g(a) ^{2} e ^{g(a)}]가 최대가 되는 [eqn: a]의 값을 구한다. [eqn: g(x)]가 실수 전체 집합에서 일대일대응인 증가함수이고 [eqn: g(0)=0]이므로 [eqn: g(a)=x]로 치환하여 [eqn: x LEQ 0]일 때, [eqn: H(x)= {1} over {2} x ^{2} e ^{x}]의 최댓값을 구하면 된다.

[eqn: H``` prime (x)= {1} over {2} x(x+2)e ^{x} `]

[eqn: H`'(x)`=`0]에서 [eqn: x=`-2``]또는 [eqn: x=0``]이고 [eqn: H `'(x)]의 부호를 조사하면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	-2	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]
[eqn: H` prime]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: H`]	↗	[eqn: {2} over {e ^{2}}]	↘	[eqn: 0]	↗

따라서 [eqn: x=-2]일 때, 최댓값 [eqn: {2} over {e ^{2}}]을 갖는다.

한편, [eqn: g(a)=x=-2]로부터 [eqn: a=f(-2)=-1-e ^{2}]이므로 [eqn: a=-1-e ^{2}]일 때, [eqn: K(a)]는 최댓값 [eqn: {2} over {e ^{2}}]를 갖는다.

(참조) 함수 [eqn: H(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y=H`(x)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: {2} over {e ^{2}}]

[eqn: -2]

[문제3]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

<제시문>

(가) 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x-a)+b]가 함수 [eqn: y=g(x-a)+b]의 역함수가 되도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 존재한다고 하자. 이 경우 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]를 모두 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 두 곡선은 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

예를 들어 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} `+2]([eqn: x GEQ 0])와 [eqn: g(x)= sqrt {x+1} `+3]에 대하여, 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]를 같은 평행이동에 의해 이동한 두 곡선이 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이 될 수 있는지 알아보자. 먼저

[eqn: f(x-a)+b=(x-a) ^{2} +b+2````(x GEQ a),# g(x-a)+b= sqrt {x-a+1} `+b+3]

을 생각하자. 함수 [eqn: y=f(x-a)+b]의 역함수를 구하면 [eqn: y= sqrt {x-b-2} `+a]이다. 이 때 [eqn: b=a-3]이 성립하면 함수 [eqn: y=g(x-a)+b]가 함수 [eqn: y=f(x-a)+b]의 역함수가 됨을 알 수 있다. 따라서 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]를 모두 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a-3]만큼 평행이동한 두 곡선은 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)=10 ^{x}]은 실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수이고 연속함수이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]는 아래로 볼록하고, [eqn: n]이 [eqn: 2]이상의 자연수일 때 직선 [eqn: y=x+n]과 두 점에서 만나며 그 교점은 각각 제[eqn: 1]사분면과 제[eqn: 2]사분면 위에 있다.

[논제 1] 두 곡선 [eqn: y=10 ^{x+1} `+2]와 [eqn: y=log`(x-1)]을 모두 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 두 곡선이 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이라고 하자. 곡선 [eqn: y=10 ^{x+1} `+2]를 이동한 곡선이 [eqn: y=10 ^{x+c}]일 때, 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하시오. (10점)

[논제 2] 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(x)=10 ^{`x-n} -n]이라 하고, 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=1+log`(x+1)]이 두 점 [eqn: LEFT ( alpha `,`f( alpha ) RIGHT )], [eqn: LEFT ( beta `,`f( beta ) RIGHT )]에서 만날 때 [eqn: p(n)= LEFT [ alpha RIGHT ] + LEFT [ beta RIGHT ]]라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} p(n)]의 값을 구하시오.(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.) (30점)

문제 3

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 지수함수와 로그함수의 개념을 이해하고 함수와 그 함수의 역함수의 대칭성에 관한 문제를 해결할 수 있는지를 평가

[논제 2] 지수함수와 로그함수의 그래프의 개형을 이용하여 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프의 교점에 관한 문제를 해결할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 이강섭 외(2010), 수학 Ⅰ, 64-67쪽, 89-93쪽

○ 황석근 외(2010), 수학 Ⅰ, 66-69쪽, 93-100쪽

○ 이준열 외(2010), 수학 Ⅰ, 75-78쪽, 101-107쪽

[논제 1 평가기준]

- 역함수를 제시 : 5점

- [eqn: a=`-1], [eqn: b=`-2], [eqn: c=2]를 제시 : 5점

※ 제시되는 역함수는 여러 가지가 있을 수 있음. 예를 들어 [eqn: y=`a-1+log`(x-b-2)],

[eqn: y=10 ^{`x-b} +a+1], [eqn: y=`-c+log`x] 등이 있음.

[논제 2 평가기준]

- 서로 역함수가 되는 두 함수를 제시 : 5점

- [eqn: 10 ^{`p(n)-n+1} LEQ p(n)+2], [eqn: 10 ^{`p(n)-n+2} >p(n)+3]을 제시 : 10점

- [eqn: p(n)= {cases{n-1,&``1 LEQ n LEQ 7#n,&``8 LEQ n LEQ 10}}]임을 제시 : 10점

- [eqn: sum _{n=1} ^{10} p(n)=48]임을 제시 : 5점

※ 서로 역함수가 되는 두 함수는 여러 가지로 제시될 수 있음. 예를 들어

[eqn: y=10 ^{`x-n-1}]과 [eqn: y=(n+1)+log`x],

[eqn: y=10 ^{`x-n} `+1]과 [eqn: y=n+log`(x+1)],

[eqn: b=n+a-1]일 때, [eqn: y=10 ^{`x-n-a} -n+b]과 [eqn: y=b+1+log`(x-a+1)]

등으로 제시될 수 있음.

□ 예시 답안

[논제 1]

곡선 [eqn: y=10 ^{x+1} `+2]와 곡선 [eqn: y=log`(x-1)]을 모두 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 두 곡선은 각각 [eqn: y=10 ^{x-a+1} `+b+2]와 [eqn: y=b+log`(x-a-1)]이다. 함수 [eqn: y=10 ^{x-a+1} `+b+2]의 역함수는 [eqn: y=`a-1+log`(x-b-2)]이므로, [eqn: a-1=b]가 성립할 때  함수 [eqn: y=b+log`(x-a-1)]은 함수 [eqn: y=10 ^{x-a+1} `+b+2]의 역함수가 된다. 또한 함수 [eqn: 10 ^{x-a+1} `+b+2=10 ^{`x+c}]이어야 하므로 [eqn: b=`-2], [eqn: c=`-a+1]이다. 따라서 [eqn: a=`-1]이고, [eqn: c=2]이다. 그러므로 [eqn: a=`-1], [eqn: b=`-2], [eqn: c=2]이다.

(별해) 곡선 [eqn: y=10 ^{x+1} `+2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 곡선 [eqn: y=10 ^{x-a+1} `+b+2]가 [eqn: y=10 ^{x+c}]과 같아야 하므로 [eqn: c=`-a+1], [eqn: b=`-2]이다. 한편 함수 [eqn: y=10 ^{x+c}]의 역함수 [eqn: y=`-c+log`x]가 [eqn: y=b+log`(x-a-1)]과 같아야 하므로 [eqn: -c=b], [eqn: a+1=0]이어야 한다. 이로부터 [eqn: a=`-1], [eqn: c=2]를 얻는다.

[논제 2]

[eqn: g(x)=1+log`(x+1)]이라 하면 곡선 [eqn: y=f(x)]와 곡선 [eqn: y=g(x)]를 모두 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 두 곡선은 각각 [eqn: y=10 ^{`x-n-a} -n+b]와 [eqn: y=(b+1)+log`(x-a+1)]이다. [eqn: y=10 ^{`x-n-a} -n+b]의 역함수는 [eqn: y=(n+a)+log`(x+n-b)]이므로 [eqn: b=n+a-1]을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: y=10 ^{`x-n-a} -n+b]와 [eqn: y=(b+1)+log`(x-a+1)]은 서로 역함수이다.

특별히 [eqn: a=1], [eqn: b=n]이라 하면 [eqn: y=f(x)]와 곡선 [eqn: y=g(x)]를 모두 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 두 곡선은 각각 [eqn: y=10 ^{`x-n-1}]과 [eqn: y=(n+1)+log`x]이다. 이 때 함수 [eqn: f _{1} (x)=10 ^{`x-n-1}]과 함수 [eqn: g _{1} (x)=(n+1)+log`x]는 증가함수이고 서로 역함수이다. 따라서 방정식 [eqn: f _{1} (x)=g _{1} (x)]의 해는 [eqn: 10 ^{`x-n-1} `=x]의 해와 같다. 한편 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 해는 방정식 [eqn: 10 ^{`x-n-1} `=x]의 해에서 [eqn: 1]을 뺀 값이므로 [eqn: 10 ^{`x-n-1} `=x]의 해는 [eqn: alpha _{1} = alpha +1], [eqn: beta _{1} = beta +1]이다.

편의상 [eqn: alpha < beta]라고 가정하면, 지수함수의 그래프의 개형에 의하여 [eqn: 10 ^{`x-n-1} `=x]의 해 [eqn: alpha _{1}], [eqn: beta _{1}]은 [eqn: 0< alpha _{1} <1], [eqn: beta _{1} >2]를 만족시킨다.

[eqn: alpha = alpha _{1} -1]이므로 [eqn: -1<alpha <0]이 되어 [eqn: LEFT [ alpha RIGHT ] =`-1]이다. 이를 [eqn: p(n)= LEFT [ alpha RIGHT ] + LEFT [ beta RIGHT ]]에 대입하면 [eqn: LEFT [ beta RIGHT ] =p(n)+1]을 얻는다. [eqn: beta _{1} = beta +1]로부터 [eqn: LEFT [ beta _{1} RIGHT ] =p(n)+2]이므로 [eqn: p(n)+2 LEQ beta _{1} <p(n)+3]이 성립해야 한다.

이제 [eqn: 10 ^{`x-n-1} `=x]의 해 [eqn: beta _{1}]이 구간 [eqn: [p(n)+2,`p(n)+3)]에 존재하기 위해서는 지수함수의 그래프의 개형에 의하여

[eqn: 10 ^{`p(n)+2-n-1} LEQ p(n)+2], [eqn: 10 ^{`p(n)+3-n-1} >p(n)+3], 즉

[eqn: 10 ^{`p(n)-n+1} LEQ p(n)+2], [eqn: 10 ^{`p(n)-n+2} >p(n)+3] … (*)

이 성립해야 한다. 한편 [eqn: beta _{1} >2]이므로 [eqn: LEFT [ beta _{1} RIGHT ] GEQ 2]이고, 이를 [eqn: LEFT [ beta _{1} RIGHT ] =p(n)+2]에 대입하면 [eqn: p(n) GEQ 0]을 얻는다. 이제 두 부등식 (*)로부터 다음 관계를 얻을 수 있다.

(ⅰ) [eqn: 3 LEQ p(n)+3 LEQ 9]인 경우, [eqn: p(n)-n+2=1]이어야 하므로 [eqn: p(n)=n-1]이고, 이때 [eqn: 1 LEQ n LEQ 7]이다.

(ⅱ) [eqn: p(n)+3=10]을 만족시키는 [eqn: n]은 존재하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: 11 LEQ p(n)+3 LEQ 99]인 경우, [eqn: p(n)-n+2=2]이어야 하므로 [eqn: p(n)=n]이고, 이때 [eqn: 8LEQ n LEQ 96]이다.

따라서,

[eqn: p(n)= {cases{n-1,&``1 LEQ n LEQ 7#n,&``8 LEQ n LEQ 10}}]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} p(n)=0+1+` CDOTS `+6+8+9+10= {10 TIMES 11} over {2} `-7=48]

이다.