단국대학교 2016학년도 수시모집 논술고사

자연계열 문제 및 답안(오전)

전형유형	논술우수자
수험번호
성 명

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

	2016학년도 수시모집 논술고사	자연계열

/10

<제시문>

(가) 함수 [eqn: f(x)]가 어떤 열린 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0]이면 [eqn: f(x)]는 그 구간에서 증가하고, [eqn: f`'(x)<0]이면 [eqn: f(x)]는 그 구간에서 감소한다. 또, 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간에서 연속이면, 이 구간에서 함수 [eqn: f(x)]는 최댓값과 최솟값을 갖는다.

(나) 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 곱 [eqn: f(x)g(x)]의 미분법을 이용하면 다음과 같은 적분 공식을 얻을 수 있다.

[eqn: int f(x) g`'(x) dx = f(x)g(x) - int f`'(x) g(x) dx]

이와 같은 적분법을 부분적분법이라고 한다.

(다) 닫힌 구간 [eqn: [a,~b]]에서 연속인 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]와 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: x=b]([eqn: a<b])로 둘러싸인 도형의 넓이 [eqn: S`]는 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y =g(x)]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: S]

[eqn: S= int_a ^b left |`f(x) - g(x) right|` dx]

[논제 1] 두 곡선 [eqn: y=`x`e ^{x}], [eqn: y= axe^x] 및 두 직선 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 6 left(1- 1 over e right )]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 음의 실수) (10점)

[논제 2] 좌표평면에서 곡선 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]([eqn: y>0], [eqn: r]는 양의 실수) 위를 움직이며 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 있다. 네 점 [eqn: (-r,~0)], [eqn: (r,~0)], [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를 꼭짓점으로 하는 사각형 중 넓이가 최대인 것을 [eqn: R`]라 하자. 실수 [eqn: k]가 다음 조건을 만족시킨다.

(1) 곡선 [eqn: y = kx^2]은 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를 지난다.

(2) 사각형 [eqn: R`]의 내부에서 곡선 [eqn: y = kx^2]의 윗 부분을 뺀 도형의 넓이가 [eqn: 15root3]이다.

두 실수 [eqn: r]와 [eqn: k]의 값을 구하시오. (20점)

문제 1

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 정적분의 개념을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는지를 평가

[논제 2] 도함수를 이용하여 도형의 최대 넓이를 찾을 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 이준열 외(2010), 수학 II, 163-169쪽, 188-206쪽

○ 유희찬 외(2010), 적분과 통계, 10-29쪽, 58-64쪽

○ 황선욱 외(2010), 적분과 통계, 20-31쪽, 54-59쪽

[논제 1 평가기준]

- 두 함수가 만나는 점 [eqn: (0,~0)]을 찾고, 주어진 구간에서 정적분의 식을 제시 : 5점

- [eqn: a]의 값이 [eqn: - 2]임을 제시 : 5점

[논제 2 평가기준]

- 최대가 되는 사각형의 넓이 제시 : 5점

- 곡선의 방정식 제시 : 5점

- 조건 (2)의 도형의 넓이 제시 : 5점

- [eqn: r=6], [eqn: k= root3 over3]을 제시 : 5점

□ 예시 답안

[논제 1]

[eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 [eqn: y=`x`e ^{x}]은 [eqn: y`' = e^x (1+x)]이므로 증가함수이고, [eqn: y= axe^x]은 [eqn: y`' = a e^x (1+x)]([eqn: a<0])이므로 감소함수이다. 두 곡선 [eqn: y=`x`e ^{x}]과 [eqn: y= axe^x]이 만나는 점은 [eqn: x e^x - axe^x =0]이므로 [eqn: (0,~0)]이다.

두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: x=-1]

[eqn: x=1]

[eqn: f(x)`=`x`e ^{x}]

[eqn: g(x) = axe^x]

[eqn: int_-1 ^0 (axe^x -xe^x ) dx + int_0 ^1 (xe^x -axe^x ) dx]

[eqn: = (a-1) int _-1 ^0 x e^x dx + (1-a) int_0 ^1 x e^x dx]

[eqn: =(a-1) LEFT [ (x-1)e^x RIGHT ] _-1 ^0 + (1-a) LEFT [ (x-1)e^x RIGHT ] _0 ^1]

[eqn: = 2(1-a) + 2(a-1) e^-1]

따라서 [eqn: 2(1-a) + 2(a-1) e^-1 = 6 left(1- 1 over e right)]이므로 [eqn: a= - 2]이다.

[논제 2]

먼저, 두 점 [eqn: rm P]와 [eqn: rm Q]가 [eqn: y]축에 대칭이므로 사각형 [eqn: R`]는 사다리꼴이다. 점 [eqn: rm P]를 1사분면 위의 점이라 하면, 점 [eqn: rm P]는 곡선 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]([eqn: y>0]) 위의 점이므로 이 점의 좌표를 [eqn: (x,~ root{r^2 -x^2} )]이라 하면, [eqn: 0 < x < r]이고 사각형 [eqn: R`]의 넓이는 [eqn: A(x) = (r+x) root{r^2 -x ^2}]이다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: (x , ````y )]

[eqn: y= root{r^2 -x^2}]

[eqn: y= k x^2]

•

•

•

•

[eqn: rm O]

[eqn: -r]

[eqn: r]

함수 [eqn: A(x)]의 정의역은 [eqn: 0 < x < r]이고, 도함수는 [eqn: A'`(x) = root{r^2 -x ^2} - {x(r+x)} over{root {r^2 - x^2 }} = {-2x^2 -xr +r^2} over{root {r^2 - x^2 }}]이다.

이제 [eqn: A'`(x) =0]으로 놓으면 [eqn: -2x^2 -xr +r^2 =0]이므로 [eqn: -2(x+r) left(x- r over2 right) =0]이고 [eqn: x= r over2] 또는 [eqn: x=-r]이다. 그런데 [eqn: 0 < x < r]이므로 [eqn: x= r over2]이고, [eqn: A left( r over2 right) = {3root3} over4 r^2]이다. [eqn: A'`(x)]의 부호를 조사하여 [eqn: A(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: r over2}]	[eqn: cdots]	[eqn: r]
[eqn: A`'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: A(x)]	[eqn: r^2]	↗	[eqn: {3root3} over4 r^2]	↘	[eqn: 0]

위의 표에 의해 [eqn: A(x)]는 [eqn: x= r over2]일 때, 최댓값을 가지므로 사각형 [eqn: R`]의 넓이는 [eqn: {3root3} over4 r^2]이고, 이때 점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: left( r over2 ,~ root3 over 2 r right)]이다. 점 [eqn: rm P]는 곡선 [eqn: y = kx^2] 위에 있으므로 [eqn: root3 over2 r= k r^2 over4]으로부터 [eqn: k= {2root3}over r]이고, 곡선의 방정식은 [eqn: y ={2root3}overr x^2]이다.

사각형 [eqn: R`]의 내부에서 곡선의 윗부분의 넓이는 직선 [eqn: y=root3 over 2 r]와 곡선 [eqn: y= {2root3} over r x^2]으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으므로 [eqn: 2int _0 ^{r over2} left( root3 over 2 r - {2root3} over r x^2 right) dx = 2 left[ root3 over 2 r x - {2root3} over 3r x^3 right] _0 ^ {r over2} = root3 over3 r^2]이다.

사각형 [eqn: R`]의 넓이가 [eqn: {3root3} over4 r^2]이므로 사각형 [eqn: R`]의 내부에서 곡선 [eqn: y = kx^2]의 윗 부분을 뺀 도형의 넓이는 [eqn: {3root3} over4 r^2 - root3 over3 r^2 = {5root3} over12 r^2]이다. 따라서 조건 (2)로부터 [eqn: r^2 = 36]이므로 [eqn: r=6]이고, [eqn: k= root3 over3]이다.

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

[eqn: n][eqn: n][eqn: n][eqn: n][eqn: n][eqn: n]<제시문>

점 [eqn: rm A _{1}]과 [eqn: rm A _{2}]의 좌표를 [eqn: (1,`0)]이라 하자. [eqn: n]이 3 이상의 자연수일 때, 점 [eqn: rm A _{it n}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(1) 점 [eqn: rm A _{it n-1}]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= {1} over {x}]과 만나는 점을 [eqn: rm P _{it n-1}], 점 [eqn: rm P _{it n-1}]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q _{it n-1}]이라 하자.

(2) 점 [eqn: rm Q _{itn-1}]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm R _{itn-1}], 점 [eqn: rm R _{itn-1}]을 [eqn: x]축의 방향으로 점 [eqn: rm A _{itn-2}]의 [eqn: x]좌표만큼 평행이동한 점을 [eqn: rm A _{itn}]이라 하자.

[논제 1] 두 자연수 [eqn: d,``r`]에 대하여 첫째항이 [eqn: a]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열을 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], 첫째항이 [eqn: a]이고 공비가 [eqn: r]인 등비수열을 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이라 하자. [eqn: a]가 [eqn: d]의 배수일 때,

[eqn: LEFT { b _{n} ``` LEFT | ````n``=1,`2,`3,` CDOTS ` RIGHT } RIGHT .] [eqn: SUBSET] [eqn: LEFT { a _{n} `` LEFT | ````n``=1,`2,`3,` CDOTS ` RIGHT } RIGHT .]

이 성립함을 보이시오. (10점)

[논제 2] <제시문>에서 점 [eqn: rm A _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{n}]이라 하면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: x _{2n} =` {(2n-1)`!} over {2 ^{2(n-1)} f(n)}]

일 때, [eqn: f(n)]을 구하시오. (20점)

문제 2

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 등차수열과 등비수열의 개념을 이해하고 있는지를 평가

[논제 2] 귀납적으로 정의된 수열의 일반항에 관한 문제를 해결할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 이강섭 외(2010), 수학 I, 103-147쪽

○ 이준열 외(2010), 수학 I, 114-173쪽

○ 황석근 외(2010), 수학 II, 106-148쪽

[논제 1 평가기준]

- [eqn: left{ a _{n} right]과 [eqn: left{b _{n} right]의 일반항을 제시 : 5점

[eqn: m _{} =s`r ^{n-1} -s+1]이 자연수임을 제시 : 5점

[논제 2 평가기준]

- 점화식 [eqn: x _{n+1} = {1} over {x _{n}} +x _{n-1}]을 제시 : 5점

[eqn: x _{n+1} = {n} over {n-1} x _{n-1}]을 제시 : 5점

[eqn: x_2n]을 제시 : 5점

[eqn: f(n)`=` LEFT { (n-1)! RIGHT } ^{2}]임을 제시 : 5점

□ 예시 답안

[논제1]

[eqn: LEFT { b _{n} ``` LEFT | ````n``=1,`2,`3,` CDOTS ` RIGHT } RIGHT .] [eqn: SUBSET] [eqn: LEFT { a _{n} `` LEFT | ````n``=1,`2,`3,` CDOTS ` RIGHT } RIGHT .]임을 보이려면, 모든 자연수 [eqn: n]에 대해 원소 [eqn: b _{n}]이 집합 [eqn: LEFT { a _{n} `` LEFT | ````n``=1,`2,`3,` CDOTS ` RIGHT } RIGHT .]의 원소임을 보이면 된다. 즉, 모든 자연수 [eqn: n]에 대해  [eqn: b _{n} =a _{m}]인 자연수 [eqn: m]이 있음을 보이면 된다. 등비수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]의 일반항은 [eqn: b _{n} =a`r ^{n-1}]이고 [eqn: a _{m} =a+(m-1)d]이므로

[eqn: b _{n} =a _{m}] [eqn: LRARROW `] [eqn: a`r ^{n-1} =a+(m-1)d]   [eqn: CDOTS `]  ①

이다. 한편, [eqn: a]가 [eqn: d]의 배수이므로 [eqn: a=s`d]를 만족시키는 자연수 [eqn: s]가 존재한다. 따라서 식 ①을 [eqn: m]에 관해 풀면

[eqn: m _{} =s`r ^{n-1} -s+1]

이고, [eqn: s]와 [eqn: r]이 자연수이므로 [eqn: m]도 자연수이다.

그러므로 [eqn: LEFT { b _{n} ``` LEFT | ````n``=1,`2,`3,` CDOTS ` RIGHT } RIGHT .] [eqn: SUBSET] [eqn: LEFT { a _{n} `` LEFT | ````n``=1,`2,`3,` CDOTS ` RIGHT } RIGHT .]이 성립한다.

[논제2]

점 [eqn: rm A _{1}]과 [eqn: rm A _{2}]의 좌표가 [eqn: (1,`0)]이므로 [eqn: x _{1} =1,``x _{2} =1]이고 점 [eqn: rm P _{2}]의 좌표는 [eqn: (1,`1)], 점 [eqn: rm Q _{2}]의 좌표는 [eqn: (0,``1)], 점 [eqn: rm R _{2}]의 좌표는 [eqn: (1,`0)]이므로 점 [eqn: rm A _{3}]의 [eqn: x]좌표 [eqn: x _{3} =]([eqn: rm R_2]의 [eqn: x]좌표)[eqn: +x _{1} =1+1=2]이다.

정해진 규칙에 따라 점 [eqn: rm P _{n}]의 좌표는 [eqn: (x _{n} ,` {1} over {x _{n}} )], [eqn: rm Q _{n}]은 [eqn: (0,` {1} over {x _{n}} )], [eqn: rm R _{n}]은 [eqn: ( {1} over {x _{n}} ,`0)]이므로 점화식

[eqn: x _{n+1} = {1} over {x _{n}} +x _{n-1}] (단, [eqn: n GEQ 2]인 자연수)

를 얻는다. 즉 [eqn: x _{n+1} x _{n} -x _{n} x _{n-1} =1]이다. 한편, 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: y _{n} =x _{n+1} x _{n}]이라 놓으면

[eqn: y _{1} =x _{2} x _{1} =1]이므로 수열 [eqn: LEFT { y _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 1]인 등차수열이다. 따라서 수열 [eqn: LEFT { y _{n} RIGHT }]의 일반항은 [eqn: y _{n} =n], 즉 [eqn: x _{n+1} x _{n} =n]이고, 이로부터 다음을 얻는다.

[eqn: x _{n+1} = {n} over {x _{n}} = {n} over {n-1} x _{n-1} = {n} over {n-1} TIMES {n-2} over {n-3} x _{n-3}]

[eqn: = {n} over {n-1} TIMES {n-2} over {n-3} times {n-4}over{n-5} x _{n-5}]

따라서 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음이 성립한다.

[eqn: x _{2n} = 2n-1 over 2n-2 times 2n-3 over2n-4 times 2n-5 over 2n-6 x_2n-6]

[eqn: = {2n-1} over {2n-2} TIMES {2n-3} over {2n-4} TIMES {2n-5} over {2n-6} TIMES CDOTS TIMES {5} over {4} TIMES {3} over {2} `# # =` {(2n-1)`!} over {(2n-2) ^{2} (2n-4) ^{2} ` CDOTS 4 ^{2} BULLET `2 ^{2}}# ````````# =` {(2n-1)!} over {2 ^{2(n-1)} LEFT { (n-1)! RIGHT } ^{2}}]

그러므로 [eqn: f(n)`=` LEFT { (n-1)! RIGHT } ^{2}] 이다.

[문제3]  다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

<제시문>

(가) 두 벡터 [eqn: vec{rmLM},~vec{rmLN}`]이 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때,

[eqn: | {vec{rm LM it}} |```| {vec{rm LN it}} `|][eqn: cos theta `]
를 [eqn: {vec{rm LM it}} `]와 [eqn: {vec{rm LN it}} `]의 내적이라 하고 기호로 [eqn: {vec{rm LM it}} ` BULLET ~ {vec{rm LN it}} `]과 같이 나타낸다.

(나) 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 구 [eqn: O`]가 점 [eqn: rm A`]에서 평면 [eqn: alpha]에 접한다. 점 [eqn: rm`A]를 지나고 평면 [eqn: alpha]와 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]인 직선이 구 [eqn: O]와 만나는 점을 [eqn: rm `B]([eqn: != rm`A])라 하고, 점 [eqn: rm `B]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영을 [eqn: rm`B']이라 하자.

점 [eqn: rm `A]를 출발하여 구 [eqn: O`] 위를 움직이며 점 [eqn: rm`A]로 되돌아오는 점 [eqn: rm P]의 자취 [eqn: C `]에 대하여 곡선 [eqn: C`]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영 [eqn: ELL]은 길이가 [eqn: 10]인 선분이라고 하자.(단, 점 [eqn: rm`P]는 출발할 때와 도착할 때 이외에는 점 [eqn: rm`A]를 지나지 않는다.)

[eqn: alpha]

[eqn: theta]

[eqn: O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm B']

[논제 1] 좌표공간에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 3인 구와 평면 [eqn: x-y +z +a=0]이 만나서 생기는 원 [eqn: D``]가 있다. 선분 [eqn: rm PQ]가 원 [eqn: D``]의 지름일 때, 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이가 [eqn: sqrt{3} over 3 a]이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.(단, [eqn: rm O]는 원점이다.) (10점)

[논제 2] <제시문> (나)에서 선분 [eqn: ELL]과 직선 [eqn: rm AB']이 이루는 각의 크기가 [eqn: 45 DEG]이고 [eqn: tan` theta = {1} over {2}]이라 하자. 두 벡터 [eqn: rm {vec{AB}}]와 [eqn: rm {vec{AP}}]의 내적이 최대일 때 벡터 [eqn: ` rm {vec{AP}} `]의 길이는 [eqn: a]이다. [eqn: LEFT ( {1} over {5} a RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하시오. (30점)

문제 3

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

□ 출제의도

[논제 1] 좌표공간에서 평면과 구의 개념을 이해하고 이를 활용하여 거리와 넓이에 관한 개념적인 문제를 해결할 수 있는지를 평가

[논제 2] 정사영의 개념을 이해하고 벡터의 내적을 이용하여 문제를 해결할 수 있는지를 평가

□ 자료출처

○ 이강섭 외(2010), 기하와 벡터, 108-125쪽, 146-179쪽

○ 김수환 외(2010), 기하와 벡터, 76-108쪽, 112-165쪽

○ 유희찬 외(2010), 기하와 벡터, 149-159쪽

[논제 1 평가기준]

- 구의 중심과 평면과의 거리[eqn: {LEFT | a RIGHT |}over{root{1^2 +(-1)^2 +1^2}} = a over {sqrt{3}}]을 제시 : 5점

[eqn: a=2 sqrt{6`}]을 제시 : 5점

[논제 2 평가기준]

- [eqn: C]가 대원임을 제시 : 5점

- 점 [eqn: rm B]를 평면 [eqn: beta]에 정사영시킨 점([eqn: =rm B`''])의 위치를 제시 : 5점

- 최대가 되는 점 [eqn: rm P]의 위치를 제시(<그림 2>의 설명) : 10점

- [eqn: bar{rm AP_0}]의 값을 제시 : 10점

□ 예시 답안

[논제 1]

원 [eqn: D``]의 중심을 [eqn: rm O ']이라고 하자. 구의 중심 [eqn: rm O(0,~0,~0)]과 평면 [eqn: x-y +z +a=0]의 거리는

[eqn: {LEFT | a RIGHT |}over{root{1^2 +(-1)^2 +1^2}} = a over {sqrt{3}}]이므로 [eqn: bar{rm OO'} = a over {sqrt{3}}]이고, 이 길이는 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 높이이다.

삼각형 [eqn: rm OPQ]는 원 [eqn: D``]의 지름을 한 변으로 하고, 구의 반지름을 두 변으로 하는 이등변삼각형이다. 원 [eqn: D``]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 하면, [eqn: {r ^2 = 9- a^2 over 3]이므로 [eqn: r = root{9- a^2 over3}]이다.

삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이는 [eqn: 1over2 times a over sqrt{3} times 2root{9- a^2 over 3}]이다. 문제의 조건으로부터 [eqn: 1over2 times a over sqrt{3} times 2root{9- a^2 over 3} = a over root3]이므로 [eqn: a=2 sqrt{6`}]이다.

[논제 2]

곡선 [eqn: C`]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이 선분이므로 곡선 [eqn: C`]는 구 [eqn: O`] 위의 원이거나 원의 일부이다.

평면 [eqn: alpha]가 구 [eqn: O`]에 접하므로 곡선 [eqn: C`]는 대원(의 일부)이고 [eqn: ELL]의 길이가 [eqn: 10]이고 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rm A`]를 출발할 때와 도착할 때만 지나므로 곡선 [eqn: C]는 대원 전체이다.

곡선 [eqn: C`]를 포함한 평면을 [eqn: beta]라 하고 점 [eqn: rm B]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영을 [eqn: rm B'']라 하자.(아래 <그림1>)

[eqn: rm {vec{AB}}]를 직선 [eqn: rm {{AP}}] 위로 정사영시킨 벡터와 [eqn: rm {vec{AB''}}]을 직선 [eqn: rm {{AP}}] 위로 정사영시킨 벡터가 같은 벡터이므로

[eqn: rm {vec{AB}}][eqn: BULLET][eqn: rm {vec{AP}}][eqn: = rm ` {vec{AB''}}][eqn: BULLET][eqn: rm {vec{AP}}]

이다.

<그림1>

선분 [eqn: ELL]과 선분 [eqn: rm {bar{AB` prime }}]이 이루는 각의 크기는 [eqn: 45 DEG]이므로 [eqn: rm {vec{AB` prime }}]의 크기를 [eqn: m], 점 [eqn: rm B'']에서 평면 [eqn: alpha]까지의 거리(=높이)를 [eqn: h]라 하면 구의 중심 [eqn: rm O]에서 구 위의 점 [eqn: rm B]까지의 거리가 [eqn: 5]이므로

[eqn: m ^{2} `+(5-h) ^{2} `=`25]

이고, [eqn: h=m times tan theta `=` {m} over {2}]이므로 [eqn: h=2]이다.

[eqn: ELL]

[eqn: rm P _{0}]

[eqn: O]

[eqn: rm {vec{AB''}}]

[eqn: rm A]

<그림2>

옆 그림과 같이 [eqn: rm {vec{AB''}} `]과 [eqn: rm {vec{AP}} `]의 내적이 최대가 되는 점을 [eqn: rm P _{0}]이라 하자. 내적이 최대가 되기 위해서는 점 [eqn: rm P _{0}]에 접하는 접선이 [eqn: rm {vec{AB''}} `]의 연장선과 수직으로 만나야 하고, 또한 원의 특성에 의해서 점 [eqn: rm P _{0}]에 접하는 접선은 선분 [eqn: rm {bar{OP _{0}}}]과도 수직이다. 그러므로 두 벡터 [eqn: rm {vec{AB''}} `]와 [eqn: rm {vec{OP _{0}}} `]은 평행하다. (<그림2>)

벡터 [eqn: rm {vec{OP _{0}}} `]의 직선 [eqn: ELL] 위로 정사영한 벡터의 성분의 길이를 [eqn: p], 점 [eqn: rm O]를 지나고 직선 [eqn: ELL]과 수직인 직선 위로 정사영한 벡터의 성분의 길이를 [eqn: q]라 하자.(아래 <그림3>)

[eqn: rm {vec{AB''}} `]과 [eqn: rm {vec{OP _{0}}} `]은 평행하므로 아래 그림과 같이

[eqn: {2} over {2 sqrt {2}} = {q} over {p}] 이고 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =25]

이다. 따라서 [eqn: p=5 sqrt {{2} over {3}} ,```q=5 {1} over {sqrt {3}}]이고 결국 [eqn: rm {Bar{AP _{0}}} `]의 길이는 선분 [eqn: rm bar{OA} `]의 길이가 [eqn: 5]이므로

[eqn: sqrt {LEFT ( 5 sqrt {{2} over {3}} RIGHT ) ^{2} +` LEFT ( 5 sqrt {{1} over {3}} +5 RIGHT ) ^{2}} `=` {5} sqrt {2+ {2over3}sqrt {3}}]

이다. 그러므로 정답은 [eqn: {2+ {2over3}sqrt {3}}]이다.

[eqn: rm 5]

[eqn: ELL]

[eqn: rm P _{0}]

[eqn: O]

[eqn: rm {vec{AB''}}]

[eqn: rm A]

[eqn: rm 2 sqrt {2}]

[eqn: rm 2]

[eqn: p]

[eqn: q]

[eqn: rm 5]

<그림3>

<참고> [eqn: beta]평면에 좌표평면을 설정해서 풀 수 있다.