국민대학교 2013학년도 신입생 수시 2차 모집 논술우수자전형

<자연계> 논술고사 시험문제

< 유의사항 >

1. 시험시간은 120분임.

2. 답안내용 작성은 어문 규정을 따라야 함.

3. 답안은 문제번호를 기재하고 본문부터 바로 작성함.

【문제 1】【지정문제 1】 (배점 27%)

아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

애니팡 게임을 좋아하는 다섯 사람 A, B, C, D, E가 있다. 이들 중 어떤 두 사람이 서로 하트를 주고받은 적이 있는 경우 그 두 사람을 서로 친구라 하자. A와 B가 친구일 때 로, 친구가 아닐 때 로 나타내면 친구관계를 그림으로 나타낼 수 있다. 예를 들면, 아래 그림에서 A와 B, C와 D가 친구이고 A와 D는 친구가 아니라는 것을 알 수 있다.

A

B

C

D

E

A    B

A    B

다섯 사람의 친구 관계는 아래와 같은 조건을 만족한다.

(ㄱ) 다섯 사람 모두는 각각 적어도 한 사람과 친구이다.

(ㄴ) B는 정확히 한 사람과 친구이다.

(ㄷ) A는 D와 친구가 아니다.

(ㄹ) A와 친구인 사람은 모두 D와도 친구이다.

(ㅁ) 만약 C와 D가 친구라면 C와 E는 친구가 아니다.

(1-1) A와 E, B와 D, C와 E, D와 E가 각각 서로 친구이고, 다른 어떤 두 사람도 서로 친구가 아닌 경우가 있는지 설명하시오.

(1-2) 만약 친구가 4명인 사람이 있다면 A와 E는 반드시 친구인지 말하고 그 이유를 설명 하시오.

(1-3) 만약 정확히 세 사람이 각각 C와 친구라면 서로 친구인 관계는 최대 몇 쌍이 있을 수 있는지 설명하고, 그 때 서로 친구인 모든 쌍을 말하시오.

【문제 2】【지정문제 2】 (배점 27%)

아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

관개용 수로 중에는 덮개가 없는 긴 형태의 수로가 많다. 수로의 규모가 클수록 경제적으로 설계하는 것이 중요해진다. 주어진 조건 하에서 담수량이 최대가 되거나 또는 유량이 최대가 되는 단면을 경제적 단면이라고 할 수 있다.

수로에서 바닥판의 폭은 정하여져 있으나 옆면의 각도는 정하여져 있지 않은 경우를 살펴보기로 한다. 이 경우에는 옆면의 각도를 설계하는 과정이 남아있다. 옆면으로 사용하는 두 평판의 폭이 각각 5로 정하여져 있는 경우를 생각하자. 두 판은 같은 폭을 가지며 설치할 때 아래 단면도에서와 같이 좌우로 대칭되게 설치되어야 한다. 이런 상황에서 단면의 넓이가 최대가 되는 경제적인 설치방법을 찾아보기로 한다. 물은 그림과 같이 가득 차 있는 것으로 가정한다.

(2-1) 수로 단면의 넓이를 바닥면의 길이 b와 바닥면과 옆면이 이루는 각 [eqn: theta]의 함수로 나타내시오.

(2-2) 주어진 바닥폭 b에 대하여 단면의 넓이가 최대가 되는 경우에서 바닥면과 옆면과의 각 [eqn: theta]의 코사인 값 [eqn: cos theta]를 b를 포함하는 식의 형태로 구하시오.

(2-3) 문제 (2-2)에서 구한 식에서 b≥0일 때 [eqn: theta]값의 범위를 구하시오.

【문제 3】 (배점 23%)

아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

(1) 지표면 근처에서 운동하는 모든 물체들의 속도는 수평성분과 연직성분으로 나누어 표현할 수 있고, 연직 아래방향으로는 일정한 중력가속도([eqn: g`=10`(rm m/s^{2} it )])가 작용한다. 지표면 근처에서, 처음 속도가 수평방향인 경우에는 물체의 운동속도의 성분들은 시간 [eqn: t]에 대해서 다음과 같이 주어진다.

(수평성분) [eqn: v _{x} (t)=v _{0}],      (연직성분) [eqn: v _{y} (t)=`gt]

위 식에서 [eqn: v _{0}]는 처음 속도의 크기 즉, 처음 속력이다.

(참고) 일차원 운동에서 어떤 물체가 시간 [eqn: t_0]에서 [eqn: t_1]까지 [eqn: v(t)]의 속력으로 이동한 거리는 아래와 같은 식으로 구할 수 있다.

[eqn: s=int_{t_0}^{t_1}{v(t)dt}]

(2) 직접 거리를 측정하기 어려운 두 지점의 거리를 알아낼 때 삼각함수가 유용하게 사용된다. 바닷가 마을에서 험준한 산의 높이를 알아내기 위하여 작은 봉우리(B)와 바닷면에서 [eqn: 100`` rm m] 높이의 전망대(C)를 이용하고자 한다. 기존에 알려진 측량에 의하여 작은 봉우리(B)와 전망대(C)까지의 거리는 [eqn: 2`` rm km]임이 알려져 있다. 작은 봉우리(B)에서 산꼭대기(A)를 올려다 본 각(∠ABA1)은 [eqn: 45 DEG]이고, 마을의 전망대(C)에서 산꼭대기(A)를 올려다 본 각(∠ACA2)은 [eqn: 30DEG]이다. 또한, 작은 봉우리(B) 에서 산꼭대기(A)와 전망대(C)를 바라 본 사잇각(∠ABC)을 측정한 결과 [eqn: 135DEG]임을 알 수 있었다.

(3-1) 높이를 측정하기 위하여 작은 봉우리(B)에서 무게 [eqn: 1`rm kg]의 포탄을 수평방향으로 [eqn: 1`(rm km/s)]의 속도로 발사하였을 때 [eqn: 2 sqrt {30}]초 후에 바닷면에 도달했다. 작은 봉우리(B)의 높이는 바닷면을 기준으로 약 [eqn: 600` rm m] 임을 설명하시오. 단, 연직 운동과 수평 운동은 서로 영향을 주지 않고, 공기의 저항은 무시할 만큼 작다고 가정한다(중력가속도는 [eqn: g`=10`(rm m/s ^{2} it )]을 이용하시오).

(3-2) 문제 (3-1)의 결과를 이용하여 바닷면을 기준으로 산꼭대기(A)의 높이를 구하시오.

【문제 4】 (배점 23%)

아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

동전 4개를 동시에 던져서 앞면이 나온 수에 따라서 움직이는 게임이 있다. 동전들을 던지는 기회는 한 번씩 번갈아 가면서 주어지며 두 사람 모두 출발지점부터 시작하여 번호 순서대로 이동하다가 도착지점에 도달하거나 지나치면 승리한다.

이 게임은 아래와 같은 규칙으로 진행된다.

(ㄱ) 동전들을 던졌을 때 앞면이 각각 1개, 2개, 3개가 나왔다면 한 칸, 두 칸, 세 칸 이동한다.

(ㄴ) 동전 4개가 모두 앞면이 나오면 4칸을, 모두 뒷면이 나오면 5칸을 이동한다.

(ㄷ) (ㄴ)의 경우가 일어났을 때 다시 한 번 동전들을 던진다. 따라서 먼저 시작한 사람이 상대방에게 동전들을 던질 기회를 주지 않고 게임을 이길 수도 있다.

(ㄹ) 동전들을 던져 이동했을 때 상대방과 같은 곳에 도착했다면 상대방을 잡았다고 하며 이 때 상대방은 출발위치로 돌아가고 나는 다시 한 번 동전들을 던진다.

예를 들면, 내가 ③의 위치에 있고 상대방이 출발위치에서 동전을 던졌을 때 앞면이 3개가 나왔다면 상대방이 나를 잡았기 때문에 나는 출발지점으로 되돌아가야 하며 상대방은 ③의 위치에서 다시 한 번 동전들을 던진다.

(4-1) 동전들을 던졌을 때 모두 뒷면이 나올 확률은 [eqn: 1over16]이고 앞면이 1개 나올 확률은 [eqn: 1over4]이다. 앞면이 2, 3, 4개 나올 확률을 구하여 아래의 표를 완성하시오.

앞면의 수	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
확률	[eqn: 1over16]	[eqn: 1over4]

(4-2) 상대방이 ②의 위치에 멈추어 있고, 내가 출발위치에서 동전들을 던져 ⑤의 위치까지 이동하여 멈추고 상대방이 동전들을 던질 차례가 될 확률을 구하시오.

(4-3) 경기를 시작하였을 때 처음 동전들을 던진 사람이 계속 동전들을 던짐으로써 상대방이 동전들을 던질 기회를 주지 않고 경기를 이길 확률을 구하시오.

<끝>

국민대학교 2013학년도 신입생 수시 2차 모집 논술우수자전형

<자연계> 논술고사 출제방향 및 출제의도

출제방향

국민대학교 논술고사는 제시문과 자료에 대한 이해력, 수리적 분석력, 논리적 사고와 서술 능력, 통합적 사고 능력 등을 균형 있게 평가하는 것을 목적으로 한다. 이러한 목적을 위하여 일상생활에서 접할 수 있는 소재를 활용하고 고등학교에서 습득한 교과영역의 지식을 이용하여 풀어낼 수 있는 문제를 출제하였다. 특히 학생들의 개별 분야에 대한 사전 지식의 습득 여부가 논술고사의 평가에 미치는 영향을 최소화 하도록 노력하였다.

출제의도

2013학년도 국민대학교 신입생 수시 2차 모집 논술우수자전형 자연계 논술고사는 학생들이 대학의 자연계열 또는 공학계열의 학생들에게 필요한 고등학교 기본 교과목의 기본적인 개념들을 확실히 이해하였는가와 다양한 현실 사례를 통합적 사고의 틀 안에서 응용력을 발휘하여 해결할 수 있는가를 종합적으로 평가할 수 있도록 출제하였다.

구체적으로 사람 사이의 친구관계를 결정하는 몇 가지 조건에 대한 논리적, 분석적 사고와 추론 능력 등을 파악하도록 하였으며, 단면적의 최대 넓이를 구하기 위한 식의 표현능력 및 미분의 개념을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는지를 평가한다. 또한 물체의 이동에 대한 물리적 현상을 수리적으로 이해하고 분석하는 능력 및 삼각형과 관련된 삼각함수 기본공식을 공간도형에 적용하는 응용력을 평가하고자 하였고, 확률의 개념을 정확하게 이해하여 실제 생활에서 접할 수 있는 문제에 적용하고 올바르게 계산해낼 수 있는지를 평가하고자 하였다.

결론적으로 자연계열의 개별 과목에 편중된 내용을 평가하기보다 학생들의 자연계 고교 교과목의 기본 개념 습득과 이를 바탕으로 한 논리적, 통합적 사고의 중요성을 강조하고 논리적 추론 능력과 문제를 합리적으로 해결하는 역량을 평가하고자 하였다.

< 끝 >

국민대학교 2013학년도 신입생 수시 2차 모집 논술우수자전형

<자연계> 논술고사 문제 설명

【문제1】

사람 사이의 관계를 친구와 친구가 아닌 관계로 구분하고 친구 관계에 대한 몇 가지 주어진 조건을 분석하고 종합적으로 정리하도록 하여 일상생활을 포함한 개인이나 사회생활의 여러 영역에서 다양한 정보를 처리하기 위해 필요한 논리적, 분석적 사고와 추론 능력을 평가하고자 하였다. 주어진 다섯 명 사이에 특정한 조건이 주어질 때 조건을 만족하는 관계를 확정할 수 있는지 알아보는 문제를 통하여 논리적, 분석적 사고를 현실에 적용할 수 있는 능력과 추론 능력을 알아보도록 하였다.

【문제2】

독립변수인 각도와 길이를 적절히 활용하여 종속변수인 넓이를 표현하는 능력을 평가하도록 하였다. 또한 넓이가 최대값을 가지려면 도함수가 0 이 된다는 극값의 특성을 활용하는 능력을 평가한다. 삼각함수에서 배각의 공식을 활용할 수 있는지, 복잡한 식을 치환법을 이용하여 단순화할 수 있는지, 2차방정식의 근의 공식을 활용할 수 있는지 평가한다. 함수의 증가 감소를 판별하기 위하여 도함수의 부호를 활용할 수 있는지와 유리함수의 극한을 구할 수 있는지 평가한다.

【문제3】

거리와 속도 사이의 관계를 미분과 적분의 개념으로 이해하여 문제를 해결하는 능력을 평가하고자 하였다. 제시문에서 거리와 속도 사이의 관계를 소개하고 있으며, 이를 바탕으로 문제 (3-1)은 높이에 대한 식을 도출할 수 있는지를 평가하는 문항이다. (3-2)에서는 삼각형과 관련된 삼각함수의 기본공식을 이용한 삼각측량의 원리를 이해하고 적용할 수 있는지를 알아보도록 하였다.

【문제4】

제시된 게임의 규칙을 이해하고 게임에서 일어날 수 있는 가능성에 대한 확률의 계산능력을 평가하고자 하였다. 제시문에서 게임의 규칙을 소개하고 있으며, 이를 바탕으로 동전의 앞면이 나온 수에 따라 움직이는 확률을 계산하고 이를 바탕으로 게임에서 일어날 수 있는 다양한 상황에 대한 확률을 계산할 수 있는지 평가하고자 하였다.

< 끝 >

국민대학교 2013학년도 신입생 수시 2차 모집 논술우수자전형

<자연계> 논술고사 모범답안 예시

【문제 1】

(1-1) (배점 30%)

주어진 조건을 그림으로 나타내면

A

B

C

D

E

이때 (ㄱ)~(ㅁ)의 다섯 가지 모두 만족된다.

따라서 조건을 만족하는 경우가 있다.

(1-2) (배점 30%)

4명과 친구인 사람은

(오른쪽 친구관계 그림의 □에 들어갈 사람)

(ㄴ)에서 B가 아니다.

(ㄷ)에서 A와 D가 아니다.

(ㅁ)에서 C와 D가 아니다.

따라서 4명과 친구인 사람은 E이다.

이때 , , , 인 관계는 (ㄱ)~(ㅁ)까지 모든 조건을 만족한다.

A    E

B    E

C    E

D    E

따라서 이다.

A    E

(1-3) (배점 40%)

(ㅁ)에서 C는 D, E 모두와 친구가 될 수는 없으므로 친구가 세 사람이 되려면 D, E 중 한 사람과 친구인 동시에 A, B 두 사람 모두와 친구이다.

이므로 (ㄹ)에서 이다. 따라서 이다.

C    A

C    D

C    E

(ㄴ), (ㄷ)에 의하여 친구관계는 그림과 같다.

A

B

C

D

E

여기서 이고, 일 때, (ㄱ)~(ㅁ)의 조건이 모두 성립하므로 서로 친구인 관계는 아래 그림과 같으며 친구인 쌍은 , , , , 의 다섯 쌍이다.

A    E

D    E

A    C

A    E

B    C

C    D

D    E

A

B

C

D

E

【문제 2】

(2-1) (배점 30%)

바닥면과 측면간의 각도를 [eqn: theta] 로 두면

사다리꼴의 높이 = [eqn: 5sin`theta]

사다리꼴의 밑변 = [eqn: b]

사다리꼴의 윗변 = [eqn: b`+`10cos` theta] 이므로

사다리꼴의 넓이 [eqn: A]는 [eqn: A = 5sin theta(b+5cos theta)]이다.

(2-2) (배점 30%)

[eqn: theta > pi over 2]이면 단면의 넓이가 직사각형의 넓이 [eqn: 5b]보다 작아지므로 넓이가 최대가 되기 위해서는 [eqn: 0 < theta LEQ {pi } over {2}]여야 한다.

[eqn: 0 < theta LEQ {pi } over {2}]일 때 사다리꼴의 넓이가 최대가 되려면 [eqn: theta]에 대해서 미분한 값이 [eqn: 0]이 되어야 한다. 즉 단면적이 최대가 되려면 [eqn: {dA} over {d theta } =50 cos^2 theta + 5b`cos` theta -25=0]이 되어야 한다. ([eqn: 0 < theta LEQ {pi } over {2}]에서 [eqn: {d ^{2} A} over {d theta ^{2}} <0]이므로 [eqn: {dA} over {d theta } =`0] 인 점에서 최댓값을 가진다.)

[eqn: cos theta]를 [eqn: X]로 치환하면 [eqn: 10X ^{2} +bX-5=0]을 얻는다. 이 식의 두 근을 구한 후, [eqn: 0 < theta LEQ {pi } over {2}]이므로 양의 근을 택한다.

[eqn: cos` theta = X ={-b+ sqrt {b ^{2} +200}} over {20}]

(2-3) (배점 40%)

[eqn: X]가  [eqn: b]에 대하여 증가하는지 감소하는지를 알아보기 위하여 [eqn: X]를 [eqn: b]에 대하여 미분하면 [eqn: {dX} over {db} = 1over20 left(-1+` {b} over {sqrt {b ^{2} +200}}right)] 이 되며 이 값은 [eqn: b GEQ 0] 에서 항상 음이다. 즉 이 구간에서 감소한다. 따라서  [eqn: b=0]일 때 [eqn: X] 의 최댓값 [eqn: root2 over 2] 를, 즉 [eqn: theta] 의 최솟값 [eqn: pi over 4]를 갖는다. 또한, [eqn: lim_{b->inf}{X} =0] 이므로 [eqn: b->inf]일 때 [eqn: theta ```->` pi over 2]이다. 따라서 구하는 [eqn: theta]의 범위는 [eqn: pi over 4 le theta < pi over 2]이다.

【문제 3】

(3-1) (배점 40%)

거리와 속도의 관계에 의해

[eqn: s= int _{} ^{} {v _{y} (t)} dt=` {1} over {2} gt ^{2}].

연직 운동과 수평 운동은 서로 영향을 주지 않고 공기의 저항을 무시하므로 수평 방향으로 대포를 발사한 후 지표면에 닿을 때까지 걸린 시간과 연직 아래방향으로 자유 낙하 운동을 하는 경우에서의 낙하 시간은 같다. 따라서 연직 방향의 식만 가지고도 높이를 계산할 수 있다. 따라서 봉우리의 높이는 대포를 발사한 때부터 지표면에 닿을 때까지 연직 아래방향으로 이동한 거리이고 이것은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: s= {1} over {2} gt ^{2} `=` {1} over {2} TIMES 10` TIMES (2 sqrt {30} ) ^{2} `=600(rm m)]

(3-2) (배점 60%)

길이의 단위를 [eqn: rm km]로 표현하면, 작은 봉우리(B)와 전망대(C)의 높이 차이는 [eqn: 0.5` rm km] 이다. 산꼭대기(A)와 작은 봉우리(B)의 높이 차이(AA1)를 [eqn: x]라 하면,

삼각형 ABA1에서 [eqn: AB= {x} over {sin`45 ^{CIRC }} = sqrt {2} x], 삼각형 ACA2에서 [eqn: AC={x+0.5} over {sin`30 ^{CIRC }}=2x+1], [eqn: BC=2] 이므로, 삼각형 ABC의 세변의 길이 모두를 [eqn: x]에 대한 식으로 쓸 수 있다.

이제 코사인법칙을 적용하면 [eqn: x]에 대한 이차방정식을 얻는다.

[eqn: cosB= {AB ^{2} +BC ^{2} -CA ^{2}} over {2 CDOT AB CDOT BC} = {2x ^{2} +4-(2x+1) ^{2}} over {2 CDOT sqrt {2} x CDOT 2} =- {1} over {sqrt {2}}]

정리하면, [eqn: 2x^2 -3 =0]에서 [eqn: x= {sqrt {6}} over {2} `]이고, 작은 봉우리(B)의 높이를 더하면, 산꼭대기(A)의 높이는 [eqn: {sqrt {6}} over {2} +0.6 (rm km)]이다.

【문제 4】

(4-1) (배점 20%)

앞면이 2개 나올 확률: [eqn: {`_4 C_2}over{2^4} = 3over8],  앞면이 3개 나올 확률: [eqn: {`_4 C_1}over{2^4} = 1over4]

앞면이 4개 나올 확률: [eqn: {`_4 C_4}over{2^4} = 1over16]

앞면의 수	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
확률	[eqn: 1over16]	[eqn: 1over4]	[eqn: 3over8]	[eqn: 1over4]	[eqn: 1over16]

(4-2) (배점 40%)

④ → ⑤로 가는 경우: [eqn: 1over16 times 1over4 = 1over64]

②로 가서 상대방의 말을 잡고 → ⑤로 가는 경우: [eqn: 3over8 times 1over4 = 3over32]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1over64 + 3over32 = 7over64]

(4-3) (배점 40%)

⑤ → 끝나는 경우: [eqn: 1over 16^2]

⑤ → ⑨ → 끝나는 경우: [eqn: 1over 16^2]

④ → ⑨ → 끝나는 경우: [eqn: 1over 16^2]

④ → ⑧ → 끝나는 경우: [eqn: 1over16^2 times left( 1 - 1over4 right) = 1over16^2 times 3over4]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1over 16^2 + 1over 16^2 + 1over 16^2 + 1over16^2 times 3over4 = 15 over {4 times 16^2} = 15 over 1024].

< 끝 >