2012학년도 신입생 수시 1차 모집 논술우수자전형(Ⅰ)

<자연계> 논술고사 시험문제지

【 문제 1 】【 지정문제 1】(배점 25%)

아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

Angry BirdsⓇ은 새총으로 새를 날려서 돼지를 맞추는 게임이다. 이 게임에서 새는 항상 원점 [eqn: O]를 지나서 날아가는데 원점을 지날 때 새의 속도는 [eqn: v _{0} =10m/sec]이다. 날아가는 동안 새는 수평방향으로 등속 운동을 하고, 수직 방향으로 가속도가 [eqn: g=10m/sec ^{2}]인 운동을 한다. 원점에서 수평선과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]인 방향으로 새가 날아갈 때 속도의 수평성분은 [eqn: v _{0} cos theta], 수직성분은 [eqn: v _{0} sin theta]이다. [eqn: P(x,``y)]의 성분 [eqn: x]와 [eqn: y]는 시간 [eqn: t]일 때 각각 새의 수평방향 이동거리와 높이를 나타낸다. 새가 원점을 지날 때의 시간을 [eqn: t=0]이라 하고 [eqn: P(x,``y)]에서 새가 운동하는 속도의 [eqn: x]성분과 [eqn: y]성분을 각각 [eqn: v _{x} (t)], [eqn: v _{y} (t)]라 하면, 수직 방향으로 가속도가 [eqn: -g]인 운동을 하기 때문에 새의 운동 속도는 다음과 같다.

[eqn: v _{x} (t)=v _{0} cos theta],     [eqn: v _{y} (t)=v _{0} sin theta ~-gt]

(참고) 물체의 운동에서 거리와 속도를 각각 시간 [eqn: t]의 함수 [eqn: s(t)]와 [eqn: v(t)]라 하면 다음 관계를 만족한다.

[eqn: s(t)= int _{} ^{} {v(t)dt}],    [eqn: v(t)= {s(t)} over {dt}]

(1-1) [eqn: P(x,``y)]의 성분 [eqn: x]와 [eqn: y]를 각각 [eqn: t]의 함수로 나타내시오.

(1-2) [eqn: P _{1} (5 sqrt {2} ,~5 sqrt {2} -5)]에 있는 돼지를 맞출 수 있는 [eqn: theta]의 값을 구하시오. 이 때 [eqn: t]의 값을 구하시오.

(1-3) [eqn: P _{2} (4,``5)]에 있는 돼지를 맞출 수 있는지 설명하시오.

(1-4) [eqn: P _{3} (5 sqrt {3} ,~0)]에 있는 돼지를 맞출 수 있는 [eqn: theta]의 값을 구하시오.

(1-5) 문제 (1-2)와 (1-4)의 결과에 대한 차이점을 설명하시오.

【 문제 2 】(배점 20%)

아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

용두리 RV사는 스노모빌용 엔진(S엔진)과 보트용 엔진(B엔진)을 조립 ․ 생산하는 기업이다. S엔진과 B엔진의 대당 판매가격은 각각 80만 원과 100만 원이며, B엔진은 생산하는 즉시 전량 판매되지만 S엔진은 월간 최대 70대까지 판매된다.

용두리 RV사는 모든 원가를 고정원가와 변동원가로 구분한다. 고정원가는 시설투자, 직원 월급 등으로 구성되며 수개월 내에 변화하지 않는 반면, 변동원가는 생산되는 제품 대수에 비례하여 변동하는 원가이다. 용두리 RV사의 고정원가는 월 2억 원이며, S엔진과 B엔진의 대당 변동원가는 각각 56만 원과 62만 원이다.

용두리 RV사의 생산라인은 조립 라인과 품질검사 라인으로 구성되어 있으며, 수개월 내에 생산라인을 증설하는 것은 불가능하다. 조립 라인의 월 최대 가동시간은 600기계시간(machine-hours)이며, S엔진과 B엔진의 조립에는 각각 2기계시간, 5기계시간이 필요하다. 품질검사 라인의 월 최대 가동시간은 120검사시간(testing-hours)이며, S엔진과 B엔진의 검사에는 각각 1검사시간, 0.5검사시간이 소요된다.

(2-1) 판매가격에서 변동원가를 뺀 금액을 공헌이익이라고 한다. S엔진과 B엔진의 대당 공헌이익은 각각 얼마인지 말하시오.

(2-2) 월간 공헌이익([eqn: t])을 S엔진의 월간 생산대수([eqn: x])와 B엔진의 월간 생산대수([eqn: y])의 함수로 나타내시오.

(2-3) 조립 라인의 가동시간, 품질검사 라인의 가동시간, S엔진 판매량으로 인한 제약조건을 S엔진의 월간 생산대수([eqn: x])와 B엔진의 월간 생산대수([eqn: y])의 부등식으로 나타내시오.

(2-4) 좌표평면 위에 문제 (2-3)에서 도출한 부등식의 영역을 빗금으로 표시하고, 그 영역이 의미하는 바를 설명하시오.

(2-5) 용두리 RV사가 주어진 생산라인을 활용하여 얻을 수 있는 월간 최대 공헌이익은 얼마인지 말하고, 이 때 S엔진과 B엔진의 월간 생산량은 각각 몇 대인지 말하시오.

【 문제 3 】【 지정문제 2】(배점 35%)

아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

트리는 같은 꼭짓점으로 되돌아오는 경로가 없는 그래프이다. 트리의 꼭짓점은 노드라 하고, 변으로 연결된 두 노드 중 위의 노드는 부모 노드, 아래의 노드는 자식 노드라 한다. 루트(root) 기반 트리는 루트 노드라 하는 특별한 1개의 노드가 존재한다. 루트 노드는 부모 노드가 없다.

루트 기반 트리의 일종인 이진트리는 컴퓨터 정보 처리를 위해 매우 유용하게 사용되는 트리로서 다음과 같이 구성된다.

1개의 노드를 가지는 트리는 이진트리이다.

1개보다 많은 노드를 가지는 이진트리는 루트 노드와 2개의 이진 부분트리―왼쪽 이진 부분트리, 오른쪽 이진 부분트리―로 구성된다.

따라서 이진트리는 각 노드가 0개나 2개의 자식 노드를 갖는 특성을 보인다. 왼쪽 그림은 9개의 노드를 갖는 이진트리의 예로서 루트 노드 [eqn: n _{1}]과 2개의 이진 부분트리 [eqn: T _{L}]과 [eqn: T _{R}]로 구성된다. [eqn: T _{L}]과 [eqn: T _{R}]도 각각 자신의 루트 노드와 2개의 이진 부분트리로 구성되는 이진트리이다.

[eqn: n_1]

[eqn: n_2]

[eqn: n_4]

[eqn: n_3]

[eqn: n_5]

[eqn: n_6]

[eqn: n_7]

[eqn: n_8]

[eqn: n_9]

[eqn: T_L]

[eqn: T_R]

자식 노드를 갖는 노드는 내부 노드, 자식 노드를 갖지 않는 노드는 단말 노드라 한다. 그림에서 원으로 나타낸 노드가 내부 노드, 사각형으로 나타낸 노드가 단말 노드이다.

모든 노드는 루트 노드로 연결된 하나의 경로가 있으며, 각 노드의 경로의 길이는 경로 상에 있는 변의 개수이다. 예를 들어 [eqn: n _{8}]의 경로의 길이는 3이며 [eqn: n _{3}]의 경로의 길이는 1이다. 최대 경로의 길이를 트리의 높이라 한다. 루트 노드에서 노드까지의 경로의 길이를 노드의 깊이라 하고, 깊이가 [eqn: i]인 모든 노드의 집합을 레벨 [eqn: i]라 한다. 그러므로 레벨 [eqn: i]의 최대 노드 개수는 [eqn: 2 ^{i}]이다. 가령 루트 노드는 깊이가 0이고 레벨 0에 속하며, [eqn: n _{4,} ``n _{5,} ``n _{6,} ``n _{7}]은 깊이가 2이고 레벨 2에 속한다.

(3-1) 높이가 [eqn: h]인 이진트리가 가질 수 있는 최대 노드의 개수를 구하시오.

(3-2) 높이가 [eqn: h]인 이진트리에서 레벨 [eqn: i]에 속한 내부 노드의 개수를 [eqn: N _{i}]라고 할 때, [eqn: 0 LEQ i<h]인 [eqn: i]에 대해 레벨 [eqn: i+1]의 노드 개수가 [eqn: 2N _{i}]임을 보이시오.

(3-3) 높이가 [eqn: h]인 이진트리에서 레벨 [eqn: i]에 속한 내부 노드의 개수를 [eqn: N _{i}], 레벨 [eqn: i]에 속한 단말 노드의 개수를 [eqn: L _{i} `]라고 할 때, [eqn: 0 LEQ i<h]인 [eqn: i]에 대해 [eqn: N _{i} = {N _{i+1} +L _{i+1}} over {2}]이 성립함을 보이시오.

(3-4) [eqn: n]개의 노드를 갖는 이진트리는 [eqn: n-1]개의 변을 가짐을 보이시오.

(3-5) [eqn: n]개의 단말 노드를 갖는 이진트리는 [eqn: n-1]개의 내부 노드를 가짐을 보이시오.

(3-6) [eqn: n]개의 단말 노드를 갖는 이진트리의 최대 높이가 [eqn: n-1]임을 보이시오.

【 문제 4 】(배점 20%)

아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

일 년 내내 기온이 따뜻하고 천적이 없는 섬에 토끼 두 쌍을 풀어 놓고 2개월마다 토끼의 수를 조사하였다. 조사 결과 1992년 5월에 500마리, 1992년 9월에 2,000마리, 1993년 3월에 16,000마리였다(토끼의 수를 가능한 한 정확히 조사하였으나 약간의 오차는 있을 수 있다). 이 기간 동안 토끼가 번식하는 데에는 아무런 제약이 없었다.

(4-1) 토끼를 처음 풀어 놓은 때부터 계속 같은 비율로 토끼의 수가 증가하였다면 토끼를 처음 풀어 놓은 시기는 몇 년 몇 월인지 말하시오.

(4-2) 아무런 제약 없이 토끼가 번식하는 동안 관찰되는 개체 수의 변화를 수학적 모델로 나타내려고 한다. 토끼를 처음 풀어 놓은 시점을 [eqn: t=0]이라 하고 2개월 주기로 계산할 때, [eqn: t]시점의 개체 수 [eqn: R(t)]를 [eqn: R(t)=ka ^{t}] 형태로 나타내시오.

(4-3) 토끼를 처음 풀어놓은 지 20년이 지난 2011년 현재시점에서 위의 수학적 모델 [eqn: R(t)=ka ^{t}]이 현실적으로 적용될 수 있는지 설명하시오([eqn: 2 ^{10}]은 1000으로 계산).

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2012학년도 신입생 수시 1차 모집 논술우수자전형(Ⅰ) 논술고사

출제방향 및 출제의도 <자연계>

출제방향

국민대학교 논술고사는 제시문과 자료에 대한 이해력, 수리적 분석력, 논리적 서술 능력, 통합적 사고 능력 등을 균형 있게 평가하는 것을 목적으로 한다. 이러한 목적을 위하여 일상생활에서 접할 수 있는 소재를 활용하고 고등학교에서 습득한 교과영역의 지식을 이용하여 풀어낼 수 있는 문제를 출제하였다. 특히 학생들의 개별 분야에 대한 사전 지식의 습득 여부가 논술고사의 평가에 미치는 영향을 최소화 하도록 노력하였다.

출제의도

2012년도 국민대학교 신입생 모집 수시 1차 자연계 논술고사는 학생들이 자연계 고교 교과과목의 기본 개념들을 확실히 이해하였는가와 다양한 현실 사례를 통합적 사고의 틀 안에서 응용력을 발휘하여 해결할 수 있는가를 종합적으로 평가할 수 있도록 출제하였다.

구체적으로 학생들에게 친숙한 게임의 특성을 이용하여 물체의 이동에 대한 물리적 현상을 수리적으로 이해하고 분석하는 능력을 파악하도록 출제하였다. 또한 생물의 번식 행태의 수리모델화, 공장의 생산 최적화에 대한 함수 도출 등을 통하여 복잡한 현실 세계를 수리적 모델로 변환하는 능력을 평가하려고 노력하였다. 특히 컴퓨터에 응용되는 이진트리에 대한 정의와 속성을 제시하고 이에 대한 이해를 바탕으로 문제를 논리적 추론을 통하여 해결하는 능력을 평가하고자 하였다. 이러한 문제의 출제를 통하여 자연계 교과과정의 개별 분야 지식의 축적보다는 제시문의 정확한 이해를 바탕으로 요구하는 문제를 풀 수 있는 응용능력을 평가하고자 하였다. 결론적으로 자연계의 개별 과목에 편중된 내용을 평가하기보다 학생들의 자연계 고교 교과목의 기본 개념 습득과 이를 바탕으로 한 통합적 사고의 중요성을 강조하고자 하였다.

< 끝 >