자연계열 [문제 1] 해설 및 모범답안

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: [a]]는 [eqn: a]를 넘지 않는 최대의 정수이다.

2. 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 근은 [eqn: x= {-b± sqrt {b ^{2} -4ac}} over {2a}] 이다.

3. 다항식 [eqn: A]를 다항식 [eqn: B]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q], 나머지를 [eqn: R]라고 하면  [eqn: A=BQ+R](단, [eqn: R]의 차수는 [eqn: B]의 차수보다 낮다.) 특히, [eqn: R=0], 즉, [eqn: A=BQ]일 때, [eqn: A]는 [eqn: B]로 나누어떨어진다고 한다.

4. 세 집합 [eqn: X,`W,`Y]에 대하여 두 함수 [eqn: f:X -> W,`````g:W -> Y]의 합성함수 [eqn: g CIRC f]는 [eqn: g CIRC f:X -> Y,```````(g CIRC f)(x)=g(f(x))]이다.

5. 집합 [eqn: X]와 함수 [eqn: f:X -> X]에 대하여 [eqn: f CIRC f]는 [eqn: f]를 두 번 합성한 함수, [eqn: f CIRC f CIRC f]는 [eqn: f]를 세 번 합성한 함수를 나타낸다.

[1] 모든 자연수에서 정의된 함수 [eqn: f(n)= sqrt {n+2} `+ sqrt {n+1}] 의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 음의 정수 [eqn: k]만큼 평행이동시켰을때 얻는 함수를 [eqn: g(n)]이라 하자. 이때 [eqn: sum _{n=1} ^{2018} {2} over {g(n)}]를 구하시오. [10점]

[2] 함수 [eqn: f(x)= {1} over {1-x}]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: k]가 자연수일 때 [eqn: f]를 [eqn: 3k]번 합성한 함수를 [eqn: g(x)]라고 하자. 이때 [eqn: lim _{x -> 3} {` {f(x)} over {g(x)}}]를 구하시오. [9점]

(2) [eqn: n]이 자연수일 때 [eqn: f]를 [eqn: n]번 합성한 함수를 [eqn: h(x)]라고 할 때 [eqn: h(x)=1- {1} over {x}]이면 [eqn: n=3t+2]인 정수 [eqn: t]가 존재함을 설명하시오. [7점]

[3] 다항식 [eqn: g(x)=x ^{2} +x+1]에 대하여 [eqn: g(x)=0]의 하나의 허근을 [eqn: w]라고 하자. 다항식 [eqn: f(x)=ax ^{52} +bx ^{27} +1]가 [eqn: g(x)]로 나누어떨어진다고 가정할 때, 즉, [eqn: f(x)=q(x)g(x)]인 다항식 [eqn: q(x)]가 존재할 때, 실수 [eqn: a]와 [eqn: b]를 구하시오. [10점]

[4] 두 다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x-3,````g(x)=x ^{2} -2x-5]에 대하여 방정식

[eqn: 2[`f(x)`]+1=[`g(x)`]-1]

을 만족시키는 정수 [eqn: x]를 모두 구하시오. [14점]

■ 출제 의도

[1] 도형의 평행이동, 무리수를 포함한 분모의 유리화과정에 대한 이해력과 수열의 합에 대한 계산능력을 평가한다.

[2] (1) 함수의 합성과 함수의 극한의 이해력 및 계산능력을 평가한다.

(2) 함수의 합성에 대한 이해력 및 논리력을 평가한다.

[3] 3차 방정식의 허근에 대한 이해력 및 계산능력을 평가한다.

[4] 함수 [eqn: [x]]의 이해와 이차부등식에 대한 계산능력을 평가한다.

■ 문항 해설

도형의 평행이동, 무리수, 수열의 합, 함수의 합성, 이차부등방정식 및 함수의 극한 등의 개념은 인문학과 자연과학을 포함한 모든 분야에서 유용하게 활용되고 있는 가장 기본적인 수학적 개념이다. 이러한 개념들을 이해하면 다음과 같은 간단한 과정을 통해 해결할 수 있는 문항이라고 할 수 있다.

1. 도형의 평행이동, 무리수를 포함한 분모의 유리화과정을 수행함으로써 해결할 수 있는 문항이다.

2. (1) 함수의 합성과 함수의 극한을 계산함으로써 해결할 수 있는 문항이다.

(2) 나눗셈 정리를 적용하고 함수의 합성을 구함으로써 해결할 수 있는 문항이다.

3. 3차 방정식의 허근에 대한 성질을 적용함으로써 계산할 수 있는 문항이다.

4. 함수 [eqn: [x]]의 성질을 이해하고 계산함으로써 해결할 수 있는 문항이다.

■ 채점 기준

하위문항	채점 기준	배점
1	[eqn: g(n)= sqrt {n-k+2} `+ sqrt {n-k+1}]을 구했으면	3
	[eqn: {2} over {g(n)} `=2( sqrt {n-k+2} `- sqrt {n-k+1} `)]을 구했으면	3
	[eqn: sum _{n=1} ^{2018} {2} over {g(n)} `=2( sqrt {2020-k} ``- sqrt {2-k} `)]를 구했으면	4
2-1	[eqn: g(x)=x]를 구했으면	5
	[eqn: lim _{x -> 3} {` {f(x)} over {g(x)} } {``=`- {1} over {6}}]을 구했으면	4
2-2	[eqn: n=3t] 또는 [eqn: n=3t+1] 또는 [eqn: n=3t+2]인 정수 [eqn: t]가 존재함을 설명했으면	3
	[eqn: n=3t]이면 [eqn: h(x)=x]이고 [eqn: n=3t+1]이면 [eqn: h(x)= {1} over {1-x}]임을 설명했으면	4
3	[eqn: f(w)=0]을 구했으면	3
	[eqn: f(w)=aw ^{52} +bw ^{27} +1=aw+b+1]을 구했으면	3
	[eqn: a=0], [eqn: b=`-1]을 구했으면 (각각 2점씩)	4
4	[eqn: -1 LEQ [x ^{2} -2x]<0]을 구했으면	6
	[eqn: -1 LEQ [x ^{2} -2x]]은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립함을 보였으면	3
	[eqn: [x ^{2} -2x]<0]로부터 [eqn: 0<x<2]를 구했으면	3
	[eqn: x=1]을 구했으면	2

■ 예시 답안

[1] [eqn: g(n)=f(n-k)= sqrt {n-k+2} `+ sqrt {n-k+1}]이다. 그런데

[eqn: {2} over {g(n)} `=` {2} over {sqrt {n-k+2} `+ sqrt {n-k+1}} ``=` {2( sqrt {n-k+2} `- sqrt {n-k+1} `)} over {( sqrt {n-k+2} `+ sqrt {n-k+1} )( sqrt {n-k+2} `- sqrt {n-k+1} )}]

[eqn: ``=2( sqrt {n-k+2} `- sqrt {n-k+1} `)]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{2018} {2} over {g(n)} `=` sum _{n=1} ^{2018} 2( sqrt {n-k+2} `- sqrt {n-k+1} `)`=2( sqrt {2020-k} ``- sqrt {2-k} `)]이다.

[2] (1) [eqn: (f CIRC f)(x)=1- {1} over {x}], [eqn: (f CIRC f CIRC f)(x)=x], [eqn: (f CIRC f CIRC f CIRC f)(x)=f(x)], [eqn: CDOTS] 이므로  [eqn: g(x)=x]이다. 따라서 [eqn: lim _{x -> 3} {` {f(x)} over {g(x)} `=`} lim _{x -> 3} {` {{1} over {1-x}} over {x} ``=`} lim _{x -> 3} {` {1} over {x(1-x)} ``=`- {1} over {6}}]이다.

(2) [eqn: n=3t] 또는 [eqn: n=3t+1] 또는 [eqn: n=3t+2]인 정수 [eqn: t]가 존재한다. 만일 [eqn: n=3t]이면 [eqn: h(x)=x]이다. 만일 [eqn: n=3t+1]이면 [eqn: h(x)= {1} over {1-x}]이다. 따라서,  [eqn: n=3t+2]인 정수 [eqn: t]가 존재한다.

[3] [eqn: f(w)=q(w)g(w)=0]이고 [eqn: w ^{3} =1]이므로 [eqn: f(w)=aw ^{52} +bw ^{27} +1=aw+b+1=0]이다. 그런데 [eqn: w= {-1+ sqrt {3} i} over {2}] 또는 [eqn: w= {-1- sqrt {3} i} over {2}]이고 [eqn: a]와 [eqn: b]는 실수이므로 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=`-1]이다.

[4] [eqn: [`f(x)`]=[x ^{2} -2x]-3,```[`g(x)`]=[x ^{2} -2x]-5]이므로 [eqn: 2[x ^{2} -2x]-5=[x ^{2} -2x]-6]이다. 따라서 [eqn: [x ^{2} -2x]=`-1]이고 [eqn: -1 LEQ [x ^{2} -2x]<0]이다. 부등식 [eqn: -1 LEQ [x ^{2} -2x]]로부터 [eqn: [x ^{2} -2x+1] GEQ 0]이다. 그런데 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} -2x+1 GEQ 0]이므로, 부등식 [eqn: -1 LEQ [x ^{2} -2x]]은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립한다. 또한 [eqn: [x ^{2} -2x]<0]으로부터 [eqn: x ^{2} -2x<0]이고 [eqn: x(x-2)<0]이므로 [eqn: 0<x<2]이다. 그러므로 주어진 방정식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: x=1]이다.

자연계열 [문제 2] 해설 및 모범답안

[문제 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 도형의 평행이동

방정식 [eqn: f(x,y)=0]이 나타내는 도형을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 도형의 방정식은

[eqn: f(x-a,y-b)=0]

2. 이계도함수를 이용한 극대와 극소의 판정

연속인 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(a)=0]일 때

㉠ [eqn: f`''(a)<0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극대이고, 극댓값 [eqn: f(a)]를 가진다.

㉡ [eqn: f` '' (a)>0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극소이고, 극솟값 [eqn: f(a)]를 가진다.

3. 함수의 곱의 미분법

미분 가능한 두 함수 [eqn: f(x),`g(x)]에 대하여

[eqn: LEFT { f(x)g(x) RIGHT } '=f`'(x)g(x)+f(x)g`'(x)]

4. 곡선과 [eqn: x]축 사이의 넓이

함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: [a,`b]]에서 연속일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=a,``y=b]로 둘러싸인 도형의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= int _{a} ^{b} {`|`f(x)`|``dx}]

5. 합성함수의 미분법

미분가능한 두 함수 [eqn: y=f(u)], [eqn: u=g(x)]에 대하여 합성함수 [eqn: y=f(g(x))]를 미분하면

[eqn: {dy} over {dx} = {dy} over {du} CDOT {du} over {dx}] 또는 [eqn: LEFT { f(g(x)) RIGHT } '=f`'(g(x))g`'(x)]

[1] [eqn: y=log _{2} x]를 [eqn: y]축의 방향으로 평행이동시켜 점 [eqn: (3,`k)] ([eqn: k]는 자연수)를 지나도록 하는 곡선의 [eqn: x]절편을 [eqn: a _{k}]라 하자. 이때 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } a _{k}]의 값을 구하시오. [5점]

[2] 열린구간 [eqn: (0,`2 pi )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {cos`x} over {e ^{3x}}]가 [eqn: x=a]에서 극솟값을 갖는다. 이때 [eqn: tan`a]와 [eqn: cos`a]의 값을 구하시오. [10점]

[3] 자연수 [eqn: n]에 대하여 구간 [eqn: LEFT [ LEFT ( n- {1} over {4} RIGHT ) pi ,` LEFT ( n+ {1} over {4} RIGHT ) pi RIGHT ]]에서 곡선 [eqn: y= LEFT | LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} tan`x RIGHT | `]와 [eqn: x]축, 그리고 직선 [eqn: x= LEFT ( n- {1} over {4} RIGHT ) pi]와 [eqn: x= LEFT ( n+ {1} over {4} RIGHT ) pi]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 부정적분 [eqn: int _{} ^{} {tan`x`dx}]를 구하시오. [6점]

(2) [eqn: S _{n}]을 구하시오. [7점]

[4] 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면에서 [eqn: x,`y]에 대한 연립부등식

[eqn: {cases{y GEQ t(x+2)``#(x+2) ^{2} +(y-3) ^{2} LEQ 9}}]

가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 원 [eqn: C:`(x+2) ^{2} +(y-3) ^{2} =9]의 중심을 [eqn: O], 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l:`y=t(x+2)]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: A,`B]라 하자. 직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ` LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]라 할 때 [eqn: ANGLE AOB]의 크기와 부채꼴 [eqn: OAB]와 삼각형 [eqn: OAB]의 넓이를 구하시오. [6점]

(2) 주어진 연립 부등식이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 할 때 [eqn: g( theta )]를 구하시오. [6점]

(3) [eqn: t]와 [eqn: theta]의 관계 및 [eqn: g( theta )]를 이용하여 [eqn: f`'`(1)]의 값을 구하시오. [10점]

■ 출제 의도

2-1. 평행이동을 이해하고 로그함수의 성질을 알고 있으며 무한등비급수의 합을 구할 수 있는지 평가하는 문제이다.

2-2. 이계도함수를 이용한 극대와 극소의 판정에 관해 정확히 이해하고 주어진 함수의 극대/극소를 판정할 수 있는지 평가하는 문제이다.

2-3 정적분과 넓이와의 관계를 올바로 이해하고 있는지의 여부를 절대값이 포함된 함수를 통해 평가하는 문제이다.

2-4 연립부등식으로 주어진 영역의 넓이를 수식으로 표현하고 합성함수의 미분법을 활용해 넓이의 순간변동을 구할 수 있는지 평가하는 문제이다.

■ 문항 해설

제시문의 내용은 수학을 활용해 각종 문제를 해결하는데에 가장 기초적인 내용의 일부를 구성한다. 따라서 이를 활용해 평행이동을 이해하고 로그함수의 성질을 알고 있으며 무한등비급수의 합을 구할 수 있는지, 이계도함수를 이용한 극대와 극소의 판정에 관해 정확히 이해하고 주어진 함수의 극대/극소를 판정할 수 있는지, 정적분과 넓이와의 관계를 올바로 이해하고 있는지, 연립부등식으로 주어진 영역의 넓이를 수식으로 표현하고 합성함수의 미분법을 활용해 넓이의 순간변동을 구할 수 있는지 등을 평가하는 문제로 구성되어 있다.

■ 채점 기준

하위문항	채점 기준	배점
[1]	이 곡선의 [eqn: x]절편 [eqn: a _{k} = {3} over {2 ^{k}}]을 구한다.	3
	[eqn: sum _{k=1} ^{INF } a _{k} = {{3} over {2}} over {1- {1} over {2}} =3]을 구한다.	2
[2]	[eqn: f`'`(a)=0]이므로 [eqn: 3`cos`a`+`sin`a=0] 을 구한 후 [eqn: cos`a != 0]임을 확인하고 양변을 [eqn: cos`a`]으로 나누어 [eqn: tan`a`=`-3]을 구한다.	5
	[eqn: f`''`(x)=e ^{-3x} (8cos`x+6sinx)]을 올바로 얻고 [eqn: f`''(a)>0]을 이용하여 [eqn: cos`a<0]이므로 [eqn: cos`a`=`- {1} over {sqrt {10}}]을 구한다.	5
[3]-(1)	치환적분법을 활용하여 [eqn: int _{} ^{} {tanx`dx`=` int _{} ^{} {{sinx} over {cosx} `dx}} =- int _{} ^{} {{1} over {t} `dt} =-ln`|`t`|`+C]을 구한다.	6
	적분 상수를 빠트리면	-2
[3]-(2)	[eqn: int _{LEFT ( n- {1} over {4} RIGHT ) pi } ^{LEFT ( n+ {1} over {4} RIGHT ) pi } {LEFT | tan`x RIGHT | `dx``} =ln2]를 올바로 계산한다.	5
	그러므로 [eqn: S _{n} = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `ln2]을 얻는다.	2
[4]-(1)	부채꼴 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} 3 ^{2} (2 theta )=9 theta]을 얻는다	3
	삼각형 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: {9} over {2} ``sin`2 theta]을 얻는다.	3
[4]-(2)	[eqn: g( theta )=9 pi -9 theta + {9} over {2} `sin2 theta]을 올바로 얻는다.	6
[4]-(3)	[eqn: t=tan theta]을 이용하여 [eqn: g`'( theta )=f`'(tan theta )sec ^{2} theta]을 올바로 얻는다.	3
	[eqn: g` prime ( theta )=-9+9`cos2 theta =-9+9(1-2sin ^{2} theta )=-18sin ^{2} theta]를 얻는다.	3
	[eqn: f` prime (1)=-18sin ^{2} theta cos ^{2} theta =- {9} over {2}]	4

■ 예시 답안

[1]

[eqn: y=log _{2} x]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시키면 [eqn: y=log _{2} x+b]이다. 이 곡선이 점 [eqn: (3,`k)]를 지나기 때문에 [eqn: b=log _{2} {2 ^{k}} over {3}]이다. 이 곡선의 [eqn: x]절편 [eqn: a _{k} = {3} over {2 ^{k}}]이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } a _{k} = {{3} over {2}} over {1- {1} over {2}} =3]

[2]

[eqn: f(x)=e ^{-3x} `cos`x]이므로 [eqn: f`'(x)=-e ^{-3x} (3cos`x+sin`x)]

[eqn: f`'`(a)=0]이므로 [eqn: 3`cos`a`+`sin`a=0]. 여기서 [eqn: cos`a != 0] 이다. (만약 [eqn: cos`a=0]이라면 [eqn: a`=` {pi } over {2}] 또는 [eqn: a`=` {3pi } over {2}]이다. 이때 [eqn: sin` {pi } over {2} =1]이고 [eqn: sin {3 pi } over {2} =-1]이므로 두 경우 모두 [eqn: 3cos`a`+`sina` != 0]이다). 따라서 양변을 [eqn: cos`a`]으로 나눌 수 있고 그렇게 하면 [eqn: tan`a`=`-3]

[eqn: f`''`(x)=e ^{-3x} (8cos`x+6sinx)]이고 [eqn: 3`cos`a`+`sin`a=0]으로부터 [eqn: f` '' (a)=e ^{-3a} (-10cos`a)]이며 제시문 2의 ㉡에 의해 [eqn: f`''(a)>0]이므로 [eqn: cos`a<0]이고 [eqn: tan ^{2} a+1=sec ^{2} a]으로부터

[eqn: cos`a`=`- {1} over {sqrt {10}}]

[3]

(1) [eqn: int _{} ^{} {tanx`dx`=` int _{} ^{} {{sinx} over {cosx} `dx}}]에서 [eqn: t=cos`x]로 치환하면

[eqn: int _{} ^{} {tanx`dx`=` int _{} ^{} {{sinx} over {cosx} `dx}} =- int _{} ^{} {{1} over {t} `dt} =-ln`|`t`|`+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

구하는 식은 [eqn: -ln|cosx|`+C]  (단, [eqn: C]는 적분상수)

(2)

[eqn: y=tanx]의 그래프를 통해

[eqn: int _{LEFT ( n- {1} over {4} RIGHT ) pi } ^{LEFT ( n+ {1} over {4} RIGHT ) pi } {LEFT | tan`x RIGHT | `dx``} =2 int _{n pi } ^{LEFT ( n+ {1} over {4} RIGHT ) pi } {tan`x`dx`=`2 int _{0} ^{{pi } over {4}} {tanx``dx}} =2 LEFT [ -ln LEFT | cos`x RIGHT | RIGHT ] _{0}^{{pi } over {4}} =ln2]임을 알 수 있다. 그러므로 [eqn: S _{n} = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `ln2]

[4]

(1)

[eqn: ANGLE OAB= ANGLE OBA= {pi } over {2} - theta]이므로 삼각형 [eqn: OAB]에서 [eqn: ANGLE AOB=2 theta]

그러므로 부채꼴 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} 3 ^{2} (2 theta )=9 theta], 삼각형 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: {9} over {2} ``sin`2 theta]

(2)

위 (1)로부터 연립부등식 [eqn: {cases{y<t(x+2)``#(x+2) ^{2} +(y-3) ^{2} LEQ 9}}]가 나타내는 영역의

넓이는 [eqn: 9 theta - {9} over {2} `sin2 theta]. 따라서 [eqn: g( theta )=9 pi -9 theta + {9} over {2} `sin2 theta]

(3)

[eqn: t=tan theta]이므로 [eqn: g( theta )=f(t)=f(tan theta )]이다. 양변을 [eqn: theta]에 대하여 미분하면

[eqn: g`'( theta )=f`'(tan theta )sec ^{2} theta]

(2)에서 [eqn: g` prime ( theta )=-9+9`cos2 theta =-9+9(1-2sin ^{2} theta )=-18sin ^{2} theta]이다.

[eqn: t=1]일 때 [eqn: tan theta =1]이고 [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로 [eqn: sin theta =cos theta = {1} over {sqrt {2}}]이다. 그러므로

[eqn: f` prime (1)=-18sin ^{2} theta cos ^{2} theta =- {9} over {2}]