자연계열 [문제 1] 해설 및 모범답안

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 모든 자연수들의 집합을 [eqn: ℕ], 모든 정수들의 집합을 [eqn: ℤ], 모든 유리수들의 집합을 [eqn: ℚ], 모든 실수들의 집합을 [eqn: ℝ]로 나타낸다.

2. 내용이 참인지 거짓인지를 분명히 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 한다.

3. [eqn: p,``q]가 문장이나 식일 때,‘[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.’꼴의 명제에서 [eqn: p]를 가정, [eqn: q]를 결론이라 하고, 명제‘[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.’를 기호 [eqn: p``` -> ``q]로 나타낸다.

4. 변수를 포함하는 문장이나 식이 변수의 값에 따라 참, 거짓이 정해질 때, 그 문장이나 식을 조건이라고 한다.

5. 전체집합의 원소 중에서 조건을 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을 그 조건의 진리집합이라고 한다.

6. [eqn: a,b,m` IN ℚ]이고 [eqn: sqrt {m} IN ℝ-ℚ]일 때 [eqn: a+b sqrt {m} `=0]이면 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이다.

7. [eqn: n IN ℕ]을 [eqn: m IN ℕ]으로 나누었을 때 몫을 [eqn: q], 나머지를 [eqn: r]이라고 하면 [eqn: n=mq+r] 이다.

8. 이차함수 [eqn: f`(x)=ax ^{2} +bx+c]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 필요충분조건은 [eqn: b ^{2} -4ac>0]이다.

[1] 함수 [eqn: f``:ℕ` -> ``ℤ]는 [eqn: n IN ℕ]을 [eqn: 12]로 나눈 나머지를 [eqn: f(n)]에 대응시키는 함수이다. 함수 [eqn: f]가 [eqn: a,`b IN ℕ]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때 [eqn: f(2a+b ^{2} )]의 값을 구하시오.[10점]

[eqn: f(a)>f(b)]이고  [eqn: f(a)f(b)-1=f(a)+f(b)].

[2] 집합 [eqn: X= LEFT { -2,`-1,`0,`1,`2 RIGHT }]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: a,b,c` IN X]에 대하여 [eqn: a``+b sqrt {3} ``+c sqrt {7} ``=0]일 때 [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오.  [10점]

(2) [eqn: A]는 집합 [eqn: X]의 공집합이 아닌 부분집합이고 명제 ‘[eqn: a,b IN A````` -> ```a-b IN A].’를 만족시킨다. 이때 집합 [eqn: A]를 구하시오.  [12점]

[3] [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]를 다음과 같이 정의할 때 물음에 답하시오.

[eqn: f(x)=x ^{2} -4x-32],  [eqn: g(x)=x ^{2} -2ax+a-2]   [eqn: (1 LEQ a<2)]

(1) [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 모두 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만남을 보이시오.  [6점]

(2) 조건 ‘[eqn: p``:`f(x)g(x) LEQ 0]’의 진리집합에 속하는 모든 구간의 길이의 합을 [eqn: L]이라 할 때 [eqn: L]을 구하시오.  [12점]

■ 출제 의도

[1] 주어진 식을 인수분해 하는 계산 능력과 함수에 대한 이해력을 평가한다.

[2] (1) 무리수가 포함된 항등식에 대한 이해력과 계산능력을 평가한다.

(2) 명제의 진리집합을 구체적으로 구하는 논리력과 응용력을 평가한다.

[3] (1) 이차함수의 판별식에 대한 이해력과 계산능력을 평가한다.

(2) 이차함수의 그래프 개형에 대한 이해력과 부등식 [eqn: f(x)g(x) LEQ 0]의 의미에 대한 이해력 및 계산능력을

평가한다.

■ 문항 해설

집합, 명제 및 함수 등의 개념은 인문학과 자연과학을 포함한 모든 분야에서 유용하게 활용되고 있는 가장 기본적인 수학적 개념이다. 이러한 개념들을 이해하고 다음과 같은 과정을 통해 해결할 수 있는 문항이라고 할 수 있다.

1. 주어진 간단한 식을 인수분해 해서 답을 유도할 수 있는 문항이다.

2. (1) 무리수가 포한된 항등식에서 실수와 무리수의 관계를 이용하여 해결할 수 있는 문항이다.

(2) 주어진 명제를 이해하고 집합 [eqn: A]에 속하는 원소를 구체적으로 검증함으로써 해결할 수 있도록 구성된 문항이다.

3. (1) 이차함수의 판별식을 이해함으로써 간단히 계산할 수 있는 문항이다.

(2) 이차함수의 그래프개형에 대한 이해를 기반으로 간단한 계산을 통해 답을 구할 수 있는 문항이다.

■ 채점 기준

문항번호	채점 기준	배점
1	[eqn: f(a)=3], [eqn: f(b)=2]을 구했으면	5
	[eqn: f(2a+b ^{2} )=10]을 구했으면	5
2-1	[eqn: a ^{2} ``-3b ^{2} -7c ^{2} =0], [eqn: 2bc=0]을 구했으면	5
	[eqn: a+b+`c=0]를 구했으면	5
2-2	[eqn: a IN A,``a != 0]에 대하여 [eqn: -a IN A]임을 보였으면	3
	[eqn: a IN A,``a != 0]일 때 [eqn: n IN ℕ]에 대하여 [eqn: na IN A]임을 보였으면	5
	[eqn: A= LEFT { 0 RIGHT }]임을 보였으면	4
3-1	[eqn: f(x)]의 판별식 [eqn: 16+128=144>0]을 보였으면	3
	[eqn: g(x)]의 판별식 [eqn: 4a ^{2} -4a+8>0]을 보였으면	3
3-2	[eqn: f(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]값 [eqn: -4,``8]을 구했으면	2
	[eqn: g(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]값 [eqn: a- sqrt {a ^{2} -a+2}], [eqn: a+ sqrt {a ^{2} -a+2}]을 구했으면	2
	진리집합에 속하는 구간 [eqn: [`-4,``a- sqrt {a ^{2} -a+2} ``]][eqn: CUP [``a+ sqrt {a ^{2} -a+2} ``,``8`]] 을 구했으면	6
	[eqn: L=12``-2 sqrt {a ^{2} -a+2}]을 구했으면	2

■ 예시 답안

[1] [eqn: f(a)f(b)-f(a)-f(b)+1=2]이므로 [eqn: (f(a)-1)(f(b)-1)=2]이다. 그런데 [eqn: f(a) GEQ 0]이고 [eqn: f(b) GEQ 0]이므로 다음과 같은 두 가지 경우가 성립한다.

(1) [eqn: f(a)=2]이고 [eqn: f(b)=3].

(2) [eqn: f(a)=3]이고 [eqn: f(b)=2].

조건에서 [eqn: f(a)>f(b)]이므로 [eqn: f(a)=3]이고 [eqn: f(b)=2]이다. 따라서 [eqn: a=12s+3,``b=12t+2]인 [eqn: s,`t]가 존재한다. 그런데

[eqn: 2a+b ^{2} =2(12s+3)+(12t+2) ^{2} =12(2s+12t ^{2} +4t)+10]

이므로 [eqn: f(2a+b ^{2} )=10] 이다.

[2] (1) [eqn: a``+b sqrt {3} ``+c sqrt {7} ```=0]이므로 [eqn: a ^{2} ``=(b sqrt {3} ```+`c sqrt {7} `) ^{2} =3b ^{2} +7c ^{2} +2bc sqrt {21}] 이다. 따라서 [eqn: a ^{2} `-3b ^{2} -7c ^{2} -2bc sqrt {21} `=0]이므로 [eqn: a ^{2} ``-3b ^{2} -7c ^{2} =0]이고 [eqn: 2bc=0]이다. [eqn: bc=0]이므로 [eqn: b=0] 또는 [eqn: c=0]이다. 만일 [eqn: b=0]이면 [eqn: a``+c sqrt {7} ``=0]이므로 [eqn: a=0]이고 [eqn: c=0]이다. 만일 [eqn: c=0]이면 [eqn: a``+b sqrt {3} ```=0]이므로 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이다. 그러므로 [eqn: a+b+`c=0]이다.

(2) [eqn: a IN A,``a != 0]이라면 [eqn: a-a IN A]이므로 [eqn: 0 IN A]이다. 또한 [eqn: 0-a IN A]이므로 [eqn: -a IN A]이고 [eqn: a-(-a) IN A]이므로 [eqn: 2a IN A]이다. 이와 같은 방법으로 모든 [eqn: n IN ℕ]에 대하여 [eqn: na IN A]이므로 집합 [eqn: A]는 무한집합이다. 그런데 [eqn: A]는 [eqn: X]의 부분집합이므로 모순이 되어 [eqn: a != 0]이면 [eqn: a NOTIN A]이다. 만일 [eqn: A= LEFT { 0 RIGHT }]이면 명제 ‘[eqn: a,b IN A````` -> ```a-b IN A].’가 참이므로 [eqn: A= LEFT { 0 RIGHT }]이다.

[3] (1) [eqn: f(x)]의 판별식은 [eqn: 16+128=144>0]이다. 또한 [eqn: g(x)]의 판별식은

[eqn: 4a ^{2} -4a+8=4(a- {1} over {2} ) ^{2} +7>0]이다. 따라서 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 모두 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

(2) [eqn: f(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]값은 [eqn: -4,`8]이고 [eqn: g(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]값은

[eqn: a- sqrt {a ^{2} -a+2}], [eqn: a+ sqrt {a ^{2} -a+2}]이다. 그런데, [eqn: 1 LEQ a<2]이므로

[eqn: -4<a- sqrt {a ^{2} -a+2}] [eqn: <`a+ sqrt {a ^{2} -a+2} ``<8] 이다. 또한 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 이차항의 계수가 양수이고 [eqn: f(0)<0,```g(0)<0]이므로 조건 [eqn: p``:`f(x)g(x) LEQ 0]의 진리집합에 속하는 모든 구간은 [eqn: [`-4,``a- sqrt {a ^{2} -a+2} ``]][eqn: CUP [``a+ sqrt {a ^{2} -a+2} ``,``8`]]이다. 그러므로

[eqn: L=8-(a+ sqrt {a ^{2} -a+2} `)][eqn: +(a- sqrt {a ^{2} -a+2} `)-(-4)][eqn: =12``-2 sqrt {a ^{2} -a+2}]이다.

자연계열 [문제 2] 해설 및 모범답안

[문제 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 함수의 증가와 감소

함수 [eqn: f(x)]가 어떤 열린구간에서 미분 가능할 때, 그 구간의 모든 [eqn: x]에 대하여

㉠ [eqn: f`prime (x)>0]이면  [eqn: f(x)]는 그 구간에서 증가한다.

㉡ [eqn: f`prime (x)<0]이면  [eqn: f(x)]는 그 구간에서 감소한다.

2. 미적분의 기본 정리

함수 [eqn: f(t)]가 구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 [eqn: f(t)]의 한 부정적분을 [eqn: F(t)]라고 하면

[eqn: int_a^b f(t)``dt=F(b)-F(a)]

3. 적분과 미분의 관계

함수 [eqn: f(t)]가 구간 [eqn: [a,b]]에서 연속일 때,

[eqn: {d}over{dx} int_a^x f(t)``dt=f(x)]  (단, [eqn: a<x<b])

4. 사이값 정리

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 [eqn: f(a) neq f(b)]이면, [eqn: f(a)]와 [eqn: f(b)] 사이의 임의의 값 [eqn: k]에 대하여

[eqn: f(c)=k ~~(a<c<b)]

인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다.

5. 합성함수의 미분법

미분 가능한 두 함수 [eqn: y=f(u),``u=g(x)]에 대하여 합성합수 [eqn: y=f(g(x))]의 도함수는

[eqn: {dy}over{dx}= {dy}over{du} cdot {du}over{dx}] 또는 [eqn: y `prime = f`prime (g(x))g`prime (x)]

6. 곡선의 오목과 볼록

함수 [eqn: f(x)]가 어떤 구간에서

㉠ [eqn: f`prime prime (x)>0]이면 곡선 [eqn: y=f(x)]는 이 구간에서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다.

㉡ [eqn: f`prime prime (x)<0]이면 곡선 [eqn: y=f(x)]는 이 구간에서 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다.

7. 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 다음이 성립한다.

[eqn: | sint | leq | t|]

8. 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 이 구간에서 [eqn: f(x) leq g(x)]일 때,

다음이 성립한다.

[eqn: int_a^b f(x)`dx leq int_a^b g(x)`dx]

구간 [eqn: (-infty, infty)]에서 정의된 두 함수 [eqn: F(x),~ G(x)]는 다음과 같다.

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {} (t ^{3} +4t+1-sin`t ^{3} )`dt,~~G(x)=F(x ^{2} )-1]

이 두 함수에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1]

(1) [eqn: F(1)-F(-1)]의 값을 구하시오. [10점]

(2) 제시문 7을 이용하여 다음이 성립함을 보이시오. [10점]

[eqn: 3 leq F(1) leq 3.5]

(3) [1]-(2)의 결과를 이용하여 방정식 [eqn: F(x)=2.99]를 만족시키는 근이 [eqn: 0]과 [eqn: 1]사이에 있음을 보이시오.

[10점]

[2]

(1) 함수 [eqn: G(x)]는 구간 [eqn: (0, infty)]에서 증가함을 보이시오. [8점]

(2) 함수 [eqn: G(x)]의 극값을 구하시오. [4점]

(3) 곡선 [eqn: y=G(x)]의 오목과 볼록을 조사하시오. [8점]

■ 출제 의도

[1]

(1) 적분의 여러 가지 성질을 이용하여 함수의 값을 구할 수 있는지를 평가하는 문제이다.

(2) 정적분 계산 및 정적분의 성질을 이용하여 함수의 크기를 측정하는 문제이다.

(3) 정적분의 성질 및 사이값정리를 이용하여 방정식의 근의 존재성을 아는 지를 평가하는 문제이다.

[2]

(1) 적분형태로 표현된 함수의 도함수 및 합성함수의 도함수를 구할 수 있는지를 평가하고 도함수의 부호를 이용하여 함수의 증가와 감소를 아는 지를 평가하는 문제이다.

(2) 함수의 미분 및 증감을 사용하여 극값을 구할 수 있는 지를 평가하는 문제이다.

(3) 주어진 함수의 이계도함수를 구하고 이계도함수의 부호와 함수의 그래프의 오목, 볼록과의 관계를 사용할 수 있는 지를 측정하는 문제이다.

■ 문항 해설

함수 및 미분 적분학은 자연과학을 포함한 많은 분야에서 유용하게 활용되고 있는 수학적 개념이다. 그 중 연속 함수의 성질, 함수의 증가와 감소, 사이값 정리, 합성함수의 미분법, 극값, 곡선의 오목과 볼록, 삼각함수의 미분법, 미적분학의 기본정리, 다항함수의 미분 및 적분 등 미적분학에서 기본의 되는 개념들을 잘 이해하면 해결할 수 있는 문항들을  다루었다.

■ 채점 기준

문항번호	채점 기준	배점
[1]-(1)	[eqn: F(1)= int _{0} ^{1} {}( t ^{3} +4t+1-sin(t ^{3} )) `dt], [eqn: F(-1)= - int _{-1} ^{0} {}( t ^{3} +4t+1-sin(t ^{3} )) `dt]	4
	[eqn: F(1)-F(-1)= int _{-1} ^{1} {}( t ^{3} +4t+1-sin(t ^{3} )) `dt= 2 int_0^1 1`dt=2]	6
[1]-(2)	[eqn: 0 le t le 1]이면 [eqn: -t le sin t le t]이므로 [eqn: -t^3 le -sin (t^3 ) le t^3]	2
	[eqn: 3=int_0^1 (4t+1)`dt le F(1) le int _{0} ^{1} {}(2 t ^{3} +4t+1) `dt=3.5](각 등호 부등호 2점씩)	8
[1]-(3)	[eqn: F(0)=0]	3
	[1]-(2)에 의하여 [eqn: F(1) ge 3]이므로 [eqn: F(0) < 2.99 <F(1)]이다.	4
	제시문 4.에 의하여 방정식 [eqn: F(x)=2.99]의 근이 [eqn: 0]과 [eqn: 1]사이에 적어도 한 개 존재한다.	3
[2]-(1)	[eqn: F`prime (x)=x^3 +4x+1-sin (x^3 )].	2
	[eqn: G `prime (x)= 2x F`prime(x^2 )= 2x left(x^6 + 4x^2 +1 -sin (x^6 ) right)] [eqn: x>0], [eqn: 1- sin (x^6 ) ge 0]이므로 [eqn: G `prime (x) >0] 따라서 [eqn: G(x)]는 구간 [eqn: (0, infty)]에서 증가한다.	6
[2]-(2)	[eqn: x<0]이면 [eqn: G`prime (x) <0]이고 [eqn: x> 0]이면 [eqn: G` prime (x) >0]이므로	2
	함수 [eqn: G(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: G(0)=F(0)-1=-1]을 갖는다.	2
[2]-(3)	[eqn: G `prime prime (x)= 2 F`prime(x^2 ) + 4x^2 F`prime prime (x^2 )]	6
	[eqn: = 2 left(x^6 + 4x^2 +1 -sin (x^6 ) right) + 4x^2 left( 4+ 3x^4 (1- cos (x^6 )) right) >0]
	곡선 [eqn: y=G(x)]는 구간 [eqn: (-infty, infty)]에서 아래로 볼록(위로 오목)하다.	2

■ 예시 답안

[1]

(1)             [eqn: F(1)= int _{0} ^{1} {}( t ^{3} +4t+1-sin(t ^{3} )) `dt],

[eqn: F(-1)= - int _{-1} ^{0} {}( t ^{3} +4t+1-sin(t ^{3} )) `dt]

세 함수 [eqn: t^3 , ~4t,~ sin (t^3 )]의 그래프는 모두 원점에 대칭이므로 다음이 성립한다.

[eqn: F(1)-F(-1)= int _{-1} ^{1} {}( t ^{3} +4t+1-sin(t ^{3} )) `dt= 2 int_0^1 1`dt=2]

(2) 제시문 7에 의하여 [eqn: 0 le t le 1]이면 [eqn: -t le sin t le t]이므로 [eqn: -t^3 le -sin (t^3 ) le t^3]이다.

따라서 제시문 8에 의하여 다음이 성립한다.

[eqn: 3= int _{0} ^{1} {} (4t+1)`dt LEQ F(1) LEQ int _{0} ^{1} {} (2t ^{3} +4t+1)`dt=3.5]

(3) [eqn: F(0)=0]이고 [1]-(2)에 의하여 [eqn: F(1) ge 3]이므로 다음이 성립한다.

[eqn: F(0) < 2.99 <F(1)]

그러므로 사이값정리에 의하여 방정식 [eqn: F(x)=2.99]의 근이 [eqn: 0]과 [eqn: 1]사이에 적어도 한 개 존재한다.

[2]

(1)  [eqn: F`prime (x)=x^3 +4x+1-sin (x^3 )]이다. [eqn: x>0], [eqn: 1- sin (x^6 ) ge 0]이므로

합성함수의 미분법에 의하여 다음이 성립한다.

[eqn: G `prime (x)= 2x F`prime(x^2 )= 2x left(x^6 + 4x^2 +1 -sin (x^6 ) right) >0]

따라서 함수 [eqn: G(x)]는 구간 [eqn: (0, infty)]에서 증가한다.

(2)  [eqn: x<0]이면 [eqn: G`prime (x) <0]이고 [eqn: x> 0]이면 [eqn: G` prime (x) >0]이므로

함수 [eqn: G(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: G(0)=F(0)-1=-1]을 갖는다.

(3) 구간 [eqn: (-infty, infty)]에서

[eqn: G `prime prime (x)= 2 F`prime(x^2 ) + 4x^2 F`prime prime (x^2 )]

[eqn: = 2 left(x^6 + 4x^2 +1 -sin (x^6 ) right) + 4x^2 left( 4+ 3x^4 (1- cos (x^6 )) right) >0]이다.

따라서 곡선 [eqn: y=G(x)]은 구간 [eqn: (-infty, infty)]에서 아래로 볼록(위로 오목)이다.