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<자연계열>

2018학년도 신입학 수시모집

논술 모의평가 문제지 (자연계열)

※ 본 논술문제에 대한 지적 소유권은 광운대학교에 있으며,

시험 종료 후 답안지와 함께 제출하여야 합니다.

지원계열
수험번호		성 명

※ 답안 작성 시 유의 사항

■ 시험시간은 2시간(120분)입니다.

■ 답안 작성란은 “검정색볼펜” 또는 “검정색 연필(샤프)“로 작성하십시오.

※ 검정색 이외(빨간색, 파란색 등) 사용 금지

※ 지우개, 수정액, 수정테이프 사용 가능

■ 답안지에는 제목을 쓰지 마십시오.

■ 답안과 관련 없는 표현이나 표시를 하지 마십시오.

■ 답안지 1장 이내에 답안을 작성해야 합니다.

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 모든 자연수들의 집합을 [eqn: ℕ], 모든 정수들의 집합을 [eqn: ℤ], 모든 유리수들의 집합을 [eqn: ℚ], 모든 실수들의 집합을 [eqn: ℝ]로 나타낸다.

2. 내용이 참인지 거짓인지를 분명히 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 한다.

3. [eqn: p,``q]가 문장이나 식일 때, ‘[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.’꼴의 명제에서 [eqn: p]를 가정, [eqn: q]를 결론이라 하고, 명제‘[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.’를 기호 [eqn: p``` -> ``q]로 나타낸다.

4. 변수를 포함하는 문장이나 식이 변수의 값에 따라 참, 거짓이 정해질 때, 그 문장이나 식을 조건이라고 한다.

5. 전체집합의 원소 중에서 조건을 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을 그 조건의 진리집합이라고 한다.

6. [eqn: a,b,m` IN ℚ]이고 [eqn: sqrt {m} IN ℝ-ℚ]일 때 [eqn: a+b sqrt {m} `=0]이면 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이다.

7. [eqn: n IN ℕ]을 [eqn: m IN ℕ]으로 나누었을 때 몫을 [eqn: q], 나머지를 [eqn: r]이라고 하면 [eqn: n=mq+r] 이다.

8. 이차함수 [eqn: f`(x)=ax ^{2} +bx+c]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 필요충분조건은 [eqn: b ^{2} -4ac>0]이다.

[1] 함수 [eqn: f``:ℕ` -> ``ℤ]는 [eqn: n IN ℕ]을 [eqn: 12]로 나눈 나머지를 [eqn: f(n)]에 대응시키는 함수이다. 함수 [eqn: f]가 [eqn: a,`b IN ℕ]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때 [eqn: f(2a+b ^{2} )]의 값을 구하시오.[10점]

[eqn: f(a)>f(b)]이고  [eqn: f(a)f(b)-1=f(a)+f(b)].

[2] 집합 [eqn: X= LEFT { -2,`-1,`0,`1,`2 RIGHT }]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: a,b,c` IN X]에 대하여 [eqn: a``+b sqrt {3} ``+c sqrt {7} ``=0]일 때 [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오.  [10점]

(2) [eqn: A]는 집합 [eqn: X]의 공집합이 아닌 부분집합이고 명제 ‘[eqn: a,b IN A````` -> ```a-b IN A].’를 만족시킨다. 이때 집합 [eqn: A]를 구하시오.  [12점]

[3] [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]를 다음과 같이 정의할 때 물음에 답하시오.

[eqn: f(x)=x ^{2} -4x-32],  [eqn: g(x)=x ^{2} -2ax+a-2]   [eqn: (1 LEQ a<2)]

(1) [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 모두 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만남을 보이시오.  [6점]

(2) 조건 ‘[eqn: p``:`f(x)g(x) LEQ 0]’의 진리집합에 속하는 모든 구간의 길이의 합을 [eqn: L]이라 할 때 [eqn: L]을 구하시오.  [12점]

[문제 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 함수의 증가와 감소

함수 [eqn: f(x)]가 어떤 열린구간에서 미분 가능할 때, 그 구간의 모든 [eqn: x]에 대하여

㉠ [eqn: f`prime (x)>0]이면  [eqn: f(x)]는 그 구간에서 증가한다.

㉡ [eqn: f`prime (x)<0]이면  [eqn: f(x)]는 그 구간에서 감소한다.

2. 미적분의 기본 정리

함수 [eqn: f(t)]가 구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 [eqn: f(t)]의 한 부정적분을 [eqn: F(t)]라고 하면

[eqn: int_a^b f(t)``dt=F(b)-F(a)]

3. 적분과 미분의 관계

함수 [eqn: f(t)]가 구간 [eqn: [a,b]]에서 연속일 때,

[eqn: {d}over{dx} int_a^x f(t)``dt=f(x)]  (단, [eqn: a<x<b])

4. 사이값 정리

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 [eqn: f(a) neq f(b)]이면, [eqn: f(a)]와 [eqn: f(b)] 사이의 임의의 값 [eqn: k]에 대하여

[eqn: f(c)=k ~~(a<c<b)]

인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다.

5. 합성함수의 미분법

미분 가능한 두 함수 [eqn: y=f(u),``u=g(x)]에 대하여 합성합수 [eqn: y=f(g(x))]의 도함수는

[eqn: {dy}over{dx}= {dy}over{du} cdot {du}over{dx}] 또는 [eqn: y `prime = f`prime (g(x))g`prime (x)]

6. 곡선의 오목과 볼록

함수 [eqn: f(x)]가 어떤 구간에서

㉠ [eqn: f`prime prime (x)>0]이면 곡선 [eqn: y=f(x)]는 이 구간에서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다.

㉡ [eqn: f`prime prime (x)<0]이면 곡선 [eqn: y=f(x)]는 이 구간에서 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다.

7. 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 다음이 성립한다.

[eqn: | sint | leq | t|]

8. 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 이 구간에서 [eqn: f(x) leq g(x)]일 때,

다음이 성립한다.

[eqn: int_a^b f(x)`dx leq int_a^b g(x)`dx]

구간 [eqn: (-infty, infty)]에서 정의된 두 함수 [eqn: F(x),~ G(x)]는 다음과 같다.

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {} (t ^{3} +4t+1-sin`t ^{3} )`dt,~~G(x)=F(x ^{2} )-1]

이 두 함수에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1]

(1) [eqn: F(1)-F(-1)]의 값을 구하시오. [10점]

(2) 제시문 7을 이용하여 다음이 성립함을 보이시오. [10점]

[eqn: 3 leq F(1) leq 3.5]

(3) [1]-(2)의 결과를 이용하여 방정식 [eqn: F(x)=2.99]를 만족시키는 근이 [eqn: 0]과 [eqn: 1]사이에 있음을 보이시오.

[10점]

[2]

(1) 함수 [eqn: G(x)]는 구간 [eqn: (0, infty)]에서 증가함을 보이시오. [8점]

(2) 함수 [eqn: G(x)]의 극값을 구하시오. [4점]

(3) 곡선 [eqn: y=G(x)]의 오목과 볼록을 조사하시오. [8점]