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<자연계열>

2017학년도 신입학 수시모집

논술 모의평가 문제지 (자연계열)

※ 본 논술문제에 대한 지적 소유권은 광운대학교에 있으며,

시험 종료 후 답안지와 함께 제출하여야 합니다.

수험번호		성 명

※ 답안 작성 시 유의 사항

■ 시험시간은 2시간(120분)입니다.

■ 답안 작성란은 “검정색볼펜” 또는 “검정색 연필(샤프)“로 작성하십시오.

※ 검정색 이외(빨간색, 파란색 등) 사용 금지

※ 지우개, 수정액, 수정테이프 사용 가능

■ 답안지에는 제목을 쓰지 마십시오.

■ 답안과 관련 없는 표현이나 표시를 하지 마십시오.

■ 답안지 1장 이내에 답안을 작성해야 합니다.

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.(50점)

(1) 자연수 [eqn: a]와 자연수 [eqn: b]에 대하여 자연수 [eqn: q]가 존재하여 [eqn: a=bq]이면 [eqn: a]를 [eqn: b]의 배수, [eqn: b]를 [eqn: a]의 약수라 한다.

(2) 자연수 [eqn: a]와 자연수 [eqn: b]의 공약수 중에서 가장 큰 수를 자연수 [eqn: a]와 자연수 [eqn: b]의 최대공약수라 한다.

(3) 자연수 [eqn: a]와 자연수 [eqn: b]에 대하여 [eqn: a=bq+r], [eqn: 0 LEQ r<b]를 만족시키는 [eqn: q]와 [eqn: r]이 존재한다. 이때 [eqn: q]를 [eqn: a]를 [eqn: b]로 나누었을 때의 몫, [eqn: r]를 나머지라고 한다.

(4) 다항식 [eqn: A]를 다항식 [eqn: B``(B != 0)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q], 나머지를 [eqn: R]라 하면

[eqn: A=BQ+R]가 성립한다. 이때 [eqn: R]의 차수는 [eqn: B]의 차수보다 낮다.

(5) (수학적 귀납법) 자연수 [eqn: n]에 대한 명제 [eqn: p(n)]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.

(1) [eqn: n=1]일 때 명제 [eqn: p(n)]이 성립한다.

(2) [eqn: n=k]일 때 명제 [eqn: p(n)]이 성립한다고 가정하면

[eqn: n=k+1]일 때에도 명제 [eqn: p(n)]이 성립한다.

[1] 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a=2 ^{n} TIMES 3 ^{2n} -1]이 [eqn: 17]의 배수임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하시오.(10점)

[2] 자연수 [eqn: a]를 자연수 [eqn: b]로 나누었을 때 몫 [eqn: q _{1} ,`q _{2}]와 나머지 [eqn: r _{1} ,`r _{2}]가 존재하여 [eqn: a=bq _{1} +r _{1} `=bq _{2} +r _{2}]가 성립한다고 한다. 그러면 [eqn: q _{1} =q _{2}]이고 [eqn: r _{1} =`r _{2}]임을 증명하시오.(10점)

[3] 함수 [eqn: f`:`ℕ`` -> ℕ]를 다음과 같이 정의하자. ([eqn: ℕ]은 모든 자연수의 집합이다.)

[eqn: a IN ℕ]에 대하여 [eqn: f(a)=k] ([eqn: k]는 [eqn: a]와 [eqn: 2]의 최대공약수)

(1) 함수 [eqn: f]가 다음 성질을 만족하는지 판정하고 이유를 설명하시오.(3점)

모든 [eqn: a,``b` IN ℕ]에 대하여 [eqn: f(ab)``=`f(a)f(b)]이다.

(2) [eqn: f(a)=1]이고 [eqn: f(b)=1]인 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대하여 [eqn: f(ab)``=`f(a)f(b)]가 성립함을 증명하시오.(6점)

[4] 실수 [eqn: a,`b]에 대하여 두 다항식을 [eqn: f(x)=ax ^{2016} +bx ^{523} -6,``````g(x)=x ^{2} +x+1]라 놓으면 제시문(4)에 의하여 [eqn: f(x)=q(x)g(x)+r(x)]를 만족하는 다항식 [eqn: q(x)]와 [eqn: r(x)]가 존재한다. [eqn: r(x)=0]일 때 [eqn: ab]를 구하시오.(9점)

[5] 다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b,`````g(x)=x ^{2} +cx+d] [eqn: (a,`b,`c,`d` IN ℕ)]에 대하여 집합 [eqn: X]와 집합 [eqn: Y]를 다음과 같이 정의하자.

[eqn: X``= LEFT { x IN ℝ`|```f(x)+g(x)=0 RIGHT }],  [eqn: Y``= LEFT { x IN ℝ`|```f(x)g(x)=0` RIGHT }]

[eqn: X= LEFT { 2,`k RIGHT } ,```Y= LEFT { 2,`3,`8 RIGHT }]일 때 [eqn: k]를 구하시오. ([eqn: ℝ]는 모든 실수의 집합이고 [eqn: ℕ]은 모든 자연수의 집합이다)

(12점)

<다음 장에 계속>

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 문항 별로 풀이와 함께 답하시오. (50점)

(가) 어떤 구간 [eqn: I]에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f ``prime prime (x) = g(x)]을 만족시키는 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: y = f`(x)]는 부정적분을 반복적으로 구하여 찾을 수 있다. 먼저, 이계도함수 [eqn: f`` prime prime (x)]는 함수 [eqn: f`` prime (x)]의 도함수, 즉 [eqn: {d} over {dx} f`` prime (x)=f`` prime prime (x)]이므로 부정적분의 정의에 의해 [eqn: f``prime(x)]는 함수 [eqn: f`` prime prime (x) = g(x)]의 부정적분이다. 그리고 또한 함수 [eqn: g`(x)=f`` prime prime (x)]의 부정적분 [eqn: F(x)]는 다음과 같다.

[eqn: F(x)= int _{} ^{} {} g(x)`dx+C _{0}], [eqn: C _{0}]은 적분상수

여기서 [eqn: f``prime(x)]와 [eqn: F`(x)]의 도함수가 모두 [eqn: g`(x)=f`` prime prime (x)]로 같으므로 다음이 성립한다.

[eqn: f`` prime (x)=F(x)+C _1],  [eqn: C_1]은 상수

이로부터 함수 [eqn: y = f`(x)]는 다음 식으로 구할 수 있다.

[eqn: f`(x)= int _{} ^{} {} LEFT ( ``F(x)+C_1` RIGHT ) ``dx`+`C _{2}], [eqn: C _{2}]는 적분상수

(나) 함수 [eqn: y = f`(x)]가 구간 [eqn: I]에서 미분가능하다고 하자. 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 점 [eqn: P`(x,``f(x)),~x``IN `I]에서의 접선 [eqn: L]이 [eqn: x`]축과 만나는 경우, 두 직선의 이루는 각의 크기를 양의 [eqn: x`]축으로부터 시곗바늘이 도는 방향의 반대 방향으로 재고 [eqn: alpha (x)] (라디안)라 하자. 또 같은 점 [eqn: P`(x,f(x))]를 지나고 직선 [eqn: L]에 수직인 직선 [eqn: L `prime]이 [eqn: x`]축과 이루는 각의 크기도 같은 방법으로 재고 그 크기를 [eqn: beta ``(x)] (라디안)로 나타내기로 하자. 점 [eqn: P`(x,f(x))]에서의 접선 [eqn: L]이 [eqn: x`]축과 만나지 않는, 즉 평행한 경우에는 [eqn: alpha`(x)=0], [eqn: beta ``(x) = pi over 2]로 정한다. 그러면 [eqn: 0 LEQ alpha (x)< pi , ~alpha(x) neq piover 2]이고, 각 [eqn: alpha(x)]가 예각일 경우는 [eqn: beta(x) = alpha(x) + pi over 2]이고, 각 [eqn: alpha(x)]가 둔각이라면 [eqn: alpha (x)=beta(x)+ {pi } over {2}]의 관계가 성립한다. <그림 1>은 [eqn: alpha(x)]가 예각인 경우의 한 예를 나타낸 것이다.

(※ 함수 [eqn: y = f`(x)]가 이계도함수를 가지면 함수 [eqn: alpha(x)]는 미분가능하다고 가정한다.)

<그림 1>

<다음 장에 계속>

[1] 제시문 (나)의 점 [eqn: P`(x,f(x))]에서의 접선 [eqn: L]에 대하여

(1) [eqn: alpha (x)]와 함수 [eqn: y= f(x)]의 도함수 [eqn: f`` prime (x)]와의 관계식을 구하시오.(5점)

(2) [eqn: alpha`(x) neq piover2]인 이유를 설명하시오.(2점)

[2] 함수 [eqn: y= f(x)]가 구간 [eqn: I]에서 미분가능하고 [eqn: f`` prime (x) != 0]을 만족시킨다고 할 때, [eqn: tan`left(` alpha`(x) + beta`(x) `right)]와 도함수 [eqn: f`` prime (x)]의 관계식을 구하시오.(8점)

[3] 다음 물음에 답하시오.

(1) 구간 [eqn: I]에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: y= f(x)]에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오.(6점)

[eqn: {d alpha (x)} over {dx} = {f`` prime prime (x)} over {1+ LEFT { f`` prime (x) RIGHT } ^{2}} ,~x IN I]

(2) 함수 [eqn: f(x)=ln(sec``x),~I=left(- pi over 2`, ``pi over 2`right)]에 대하여 [eqn: {d } over {dx}alpha (x)]를 구하시오.(5점)

[4] 구간 [eqn: I= (-inf, inf)]에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: y=f(x)]에 대한 다음 명제를 증명하시오.(12점)

함수 [eqn: y=f(x)]가 상수함수 또는 일차함수이면 [eqn: {d over {dx} alpha (x)}=0,~x IN I]이고, 그 역도 성립한다.

[5] 함수 [eqn: f(x)=sin`x,```I=[0,`2 pi ]]에 대해 [eqn: g`(x)= {d } over {dx}alpha (x)]라고 할 때, [eqn: g`(x)]의 값이 최대가 되는 점 [eqn: x _{M} in I]와 최소가 되는 점 [eqn: x _{m} in I]를 찾고, [eqn: x_M]과 [eqn: x_m]에서의 [eqn: alpha(x)]와 [eqn: {d} over {dx} alpha (x)]의 값을 구하시오.(12점)

<끝>