자연계열 모범답안 및 평가기준

■ [문제I]

출제의도

수학의 역사에서 찾아볼 수 있는 사각형의 넓이를 구하는 데 이용했던 공식을 구체적인 예를 통해 그 적절성과 부당성을 분석하고, 도형과 삼각함수에 대한 지식을 활용해서 주어진 정확한 공식을 유도할 수 있는지를 알아보려는 문제이다.

평가 기준

(1) 수학사에 등장한 주어진 공식이 정확하게 적용되는 구체적인 예를 들 수 있는가?

일반적으로 그 공식을 적용할 수 없음을 보여주는 구체적인 예를 들 수 있는가?

(2) 삼각함수의 코사인 법칙을 이용해서 주어진 공식을 유도할 수 있는가?

사인함수를 이용해서 삼각형의 넓이를 구할 수 있고, 원에 내접하는 사각형의 대각의 성질을 이용해서 사각형의 넓이에 관한 주어진 공식을 유도할 수 있는가?

삼각함수 사이의 관계와 인수분해 공식을 이용해서 주어진 공식을 유도할 수 있는가?

(3) 삼각함수의 덧셈정리와 반각의 공식을 이용해서 주어진 공식을 유도할 수 있는가?

[정답 예시]

(1) 직사각형은 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있다.

한편, 마름모를 생각하면, 정사각형의 경우에는 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있지만, 변의 길이는 변함이 없지만 이를 ‘눌러서’ 만들 수 있는 마름모의 넓이는 원하는 만큼 작게 할 수 있다. 공식 ①을 일반적으로 적용할 수 없다.

(2) [1] ∠A와 ∠C의 크기를 각각 [eqn: A] 와 [eqn: C `] 라 하면, [eqn: A+C=180°]이다. 그러므로 [eqn: cosA=][eqn: cos(180°-C)=-cosC]이다. 대각선 BD의 길이를 코사인법칙으로 나타내면 다음을 얻는다.

[eqn: rm { bar BD }^2 =][eqn: a ^{2} +d ^{2} -2ad`cosA=b ^{2} +c ^{2} -2bc`cosC=b ^{2} +c ^{2} +2bc`cosA`],

[eqn: 2(ad+bc)cosA=a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2}],

[eqn: cosA= {a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2}} over {2(ad+bc)}]

[2] 그리고 □ABCD의 넓이 [eqn: S`]는 다음과 같다.

[eqn: S ``rm =△ABD+△BCD it = {1} over {2} ad`sinA+ {1} over {2} bc`sinC`]

[eqn: = {1} over {2} ad`sinA+ {1} over {2} bc`sin(180°-A)`][eqn: = {1} over {2} ad`sinA+ {1} over {2} bc`sinA`]

[eqn: = {1} over {2} (ad+bc)sinA`]

[3] 따라서 [eqn: sin A = sqrt { 1 - cos^2 A `}]이므로, 다음이 성립한다.

[eqn: S = {1} over {2} (ad+bc) sqrt {1-cos ^{2} A``}]

[eqn: = {1} over {2} (ad+bc) sqrt {(1-cosA)(1+cosA)``}]

[eqn: = {1} over {2} (ad+bc) sqrt {{(2ad+2bc-a ^{2} -d ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )} over {2(ad+bc)} {(2ad+2bc+a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} )} over {2(ad+bc)}}]

[eqn: = {1} over {2} sqrt {{LEFT { (b+c) ^{2} -(a-d`) ^{2} RIGHT }} over {2} {LEFT { (a+d) ^{2} -(b-c) ^{2} RIGHT }} over {2}}]

[eqn: = sqrt {{(b+c-a+d`)} over {2} {(b+c+a-d`)} over {2} { ( a+d-b+c) }over 2 {{(a+d+b-c)} over {2}}}]

[eqn: = sqrt {{(2p-2a`)} over {2} {(2p-2d`)} over {2} {(2p-2b)} over {2} {(2p-2c)} over {2}}]

[eqn: = sqrt {(p-a`)(p-b`)(p-c`)(p-d`)``}]

(3) 먼저 문제의 사각형 ABCD에서 ∠B와 ∠D의 크기를 각각 [eqn: B]와 [eqn: D] 라 하자. 그러면 [eqn: A+ B + C + D = 2 pi]이므로 [eqn: A+C over 2 = pi - B+D over 2]이고, 이에 [eqn: cos A+C over 2 = cos left ( pi - B+D over 2 right )][eqn: = - cos B+D over 2]이므로 [eqn: cos^2 alpha = cos^2 A+C over 2 = cos^2 B+D over 2]이다.

따라서 삼각함수의 덧셈정리와 반각의 공식에 의해 다음이 성립한다.

[eqn: 1 + cos A ` cos C -sin A ` sin C]

[eqn: = 1+cos( A + C )]

[eqn: = 2 cos ^{2} {A + C } over {2}]

[eqn: = 2 cos^2 alpha]

■ [문제II]

출제 의도

중력과 원운동에 대한 개념을 이해하여 인공위성, 특히 정지 위성과 같은 실생활에 잘 적용할 수 있는가를 측정하고자 하였으며, 수험생들의 이해 수준 등을 고려하여 교과서 및 신문 기사 등을 발췌하여 재구성하였다.

평가 기준

(1) 원운동과 중력의 이해를 통해 원운동 하는 물체의 초기 속력 과 원운동의 반지름 [eqn: r`] 사이의 관계식을 유도할 수 있는가?

(2) 제시문을 읽고 정지 위성에 대한 설명을 이해하여 그 주기 [eqn: T `]와 원운동의 반지름 [eqn: r`] 사이의 관계식을 통해 정지 위성이 되기 위한 조건을 추론할 수 있는가?

(3) 인공위성의 역학적 에너지 보존 법칙을 탈출 속도를 구하는 데 적용할 수 있는가?

(4) 일정한 각속도로 회전하는 물체 내에서 위치에 따른 선속도의 차이를 이해하고 있는가?

[정답예시]

(1) 지구와 질량 인 인공위성에 작용하는 만유인력이 원운동의 구심력 역할을 한다.

만유인력의 크기는 (여기서 는 중력상수)이고, 구심력의 크기는 이다. 만유인력과 구심력의 크기는 서로 같으므로 이 되어, 으로 주어진다. 즉, 인공위성의 공전 속력 [eqn: v`]는 지구 중심으로부터의 거리 [eqn: r`]의 제곱근에 반비례한다.

(2) 정지 위성이 되려면 위성의 주기가 지구의 자전 주기인 24시간과 같아야 한다.

먼저, 위성의 원운동 속도의 크기로부터 주기를 구하면 이다. 여기에 문제 (1)에서 구한 결과를 대입하면  , 즉 이다. [eqn: T `]가 지구의 자전 주기인 24시간과 같으려면 지구 중심으로부터의 거리인 의 값이 하나로 정해져야 한다. 제시문 (나)에 의하면 이 거리는 적도 상공 약 36000 km에 해당한다.

(3) 물체의 운동에너지와 위치에너지의 합인 역학적 에너지를 구하면  이다. 초기에 지구 표면에서의 역학적 에너지인 는 나중 상태인 지구로부터 벗어난 무한대에서도 보존된다. 탈출 속도는 중력장을 겨우 벗어날 정도의 에너지, 즉 무한대에서 속도가 0이 되는 조건으로 무한대에서의 위치에너지는 0, 운동에너지도 0으로 역학적 에너지도 0인 경우에 해당한다. 이때 역학적 에너지 보존 법칙을 사용하면 가 되어 탈출 속도의 크기는 가 된다. 이는 문제 (1) 에서 구한 속력의 배에 해당한다.

(4) 위성 발사 시 발사체를 이용하여 인공위성을 저궤도에 올려놓은 뒤 거기로부터 다시 가속하는 방식을 사용하면 원운동에 필요한 초기 속력의 크기를 지표면에서 보다 줄일 수 있어 유용하다. 인공위성의 초기 속력을 얻기 위해서는 지구의 자전을 이용하는 것이 좋다. 그래서 이상적으로는 위도가 0도인 적도에서 발사하면 극지방에 비해 지구의 회전 반경이 커서 초기 속력을 크게 얻을 수 있다. 마찬가지 이유로 위성의 발사 방향을 지구의 자전 방향과 일치시켜 동쪽으로 발사하면 지구 자전의 효과로 위성의 초기 발사 속력을 효율적으로 얻을 수 있게 된다.

■ [문제III]

출제 의도

화학의 기본 원리 중 하나인 ‘용액의 총괄성’을 물리학의 쿨롱의 법칙과 연계해서 논리적으로 설명할 수 있는지 평가하고, 산·염기, 전해질, 비전해질 등 물질의 해리에 대한 이해를 활용해서 총괄성 대한 논리를 도출할 수 있는지 알아보려는 문제이다.

평가 기준

(1) 쿨롱의 법칙이 무엇인지 이해하고 이를 이용하여 실제 반트호프 인자 [eqn: i]가 예측 값으로부터 벗어나는 이유를 설명할 수 있는가?

(2) 강산과 약산에 대해 이해를 바탕으로 물질의 해리 정도를 나타내는 반트호프 인자의 예상 값을 논리적으로 유추할 수 있는가?

(3) 용액의 어는점 내림 현상으로부터 비전해질 용질의 분자량을 계산할 수 있는가?

[정답 예시]

(1)

1)	쿨롱의 법칙은 전하를 띠고 있는 두 물체 사이에 작용하는 힘 [eqn: F]가 물체가 가지는 두 전하 [eqn: q _{1}]과 [eqn: q _{1}]의 곱에 비례하고, 거리 [eqn: r]의 제곱에 반비례한다는 것을 나타낸다.

[eqn: F``=`k {q _{1} q _{2}} over {r ^{2}}]

이때 [eqn: k]는 비례상수이다.

2)	농도가 증가함에 따라 반트호프 인자 [eqn: i]가 예측 값인 2로부터 벗어나며 점점 작아지는 것은 농도가 증가하면 양이온과 음이온 사이의 거리 [eqn: r]이 점점 짧아지고 따라서 두 이온 사이에 서로 끌어당기는 인력이 강해져 독립된 양이온과 음이온이 아닌 이온쌍이라는 형태 (양이온과 음이온이 쌍을 이루는 형태)로 존재하기 때문이다.

3)	같은 몰랄 농도에서 MgSO4가 NaCl보다 반트호프 인자 [eqn: i]가 예측 값인 2로부터 더 많이 벗어나는 것은 낮은 전하([eqn: +1], [eqn: -1])를 가진 NaCl과 달리 높은 전하([eqn: +2], [eqn: -2])를 가지는 MgSO4가 서로 끌어당기는 인력이 더욱 강해 독립된 양이온 (Mg2+)과 음이온 (SO42-)이 아닌 MgSO4 이온쌍의 형태로 존재하는 비율이 NaCl보다 크기 때문이다.

(2)

1)	강산인 염산 HCl은 아래의 화학반응식과 같이 해리되어 100% H+와 Cl-로 분리되므로 반트호프 인자 [eqn: i]는 2일 것으로 예측된다.

HCl(aq) → H+(aq) + Cl-(aq)

여기서 오른쪽 방향 화살표(→)는 100% 정방향으로 반응이 진행됨을 의미한다.

2)	약산인 아세트산 CH3COOH은 전체가 해리되지 않고 극히 일부분인 몇 %만이 해리되어 H+와 CH3COO-로 분리되므로 반트호프 인자 [eqn: i]는 1보다 약간 큰 값일 것으로 판단된다.

CH3COOH(aq) ⇄ H+(aq) + CH3COO-(aq)

여기서 양쪽 방향 화살표(⇄)는 100% 정방향으로 반응이 진행되지 않고 어느 시점에 정반응과 역반응이 같은 정도로 진행되는 평형(동적 평형)에 도달함을 의미한다(즉, CH3COOH의 일정 %만 부분적으로 해리됨을 의미).

3)	황산 H2SO4은 아래와 같이 두 번에 걸쳐 해리되는 다양자성 산이다.

H2SO4(aq) → H+(aq) + HSO4-(aq)

HSO4-(aq) ⇄ H+(aq) + SO4-(aq)

이때 중요한 것은 H2SO4은 강산이고 HSO4-은 약산이라는 것이다. 따라서 강산인 H2SO4의 첫 번째 해리는 100% 진행되고, 약산인 황산수소 이온 HSO4-은 몇 %만 해리된다. 따라서 황산 H2SO4의 전체 [eqn: i]는 2보다는 크고 3보다는 작은 값 (2에 근접한 값)으로 예측된다.

(3)

1)	어는점 내림을 나타내는 관계식은 다음과 같다.

[eqn: DELTA T _{f} `=`k _{f} TIMES LEFT ( 몰랄`농도 RIGHT )]

여기서 [eqn: DELTA T _{f}]는 어는점 내림을 나타내고, [eqn: k _{f}]는 용매인 물에 대한 몰랄 어는점 내림 상수이다. 문제에서 부동액의 어는점이 －33.7oC이고 순수한 물의 어는점이 0oC이므로 어는점 내림([eqn: DELTA T _{f}])은 33.7oC이다. 그러므로 다음이 성립한다.

[eqn: DELTA T _{f} `= LEFT ( 33.7` CENTIGRADE RIGHT ) `= LEFT ( 1.86 CENTIGRADE /m RIGHT ) TIMES LEFT ( 몰랄`농도 RIGHT )]

따라서 부동액의 몰랄 농도는 18.12 m이다.

2)	몰랄 농도의 정의는 다음과 같다.

[eqn: 몰랄`농도= {용질의`몰`수`(rmmol)} over {용매의`질량`(rmkg)}]

문제에서 용매인 물의 질량이 50.0g이었으므로 용질에 해당하는 비전해질 A의 몰 수는 다음과 같다.

[eqn: 비전해질` rm A의`몰`수`( rm mol)`=몰랄`농도 TIMES 물의`질량`( rm kg)]

[eqn: = LEFT ( 18.12`rmmol/rmkg RIGHT ) TIMES LEFT ( 0.0500`rmkg RIGHT )]

[eqn: =`0.906`rmmol]

3)	여기서 다시 몰 수의 정의를 적용하면 다음을 얻는다.

[eqn: 몰`수`(rmmol)= {물질의`질량`(rmg)} over {물질의`분자량`(rmg/mol)}]

여기서 비전해질 A의 부피는 50.0cm3이고 밀도 [eqn: d=] 1.12g/cm3이므로 이로부터 A의 질량은 56.0g이다.

[eqn: 물질의`분자량`(rmg/mol)= {용질의`질량`(rmg)} over {몰`수`(mol)} = {56.0`g} over {0.906`mol} =61.8`rmg/mol]

따라서 부동액의 제조에 사용된 비전해질 A의 분자량은 62g/mol이다.