2011학년도 신입학 논술 모의평가 문제지

( 자 연 계 열 )

※ 본 논술문제에 대한 지적 소유권은 광운대학교에 있으며,

시험 종료 후 답안지와 함께 제출하여야 합니다.

수험번호		성 명

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■ 시험시간은 2시간(120분) 입니다.

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■ 논술 답안 정정시에는 원고지 교정법을 따라야 합니다.

■ 논술 답안지에는 제목을 쓰지 말고, 특별한 표시를 하지 마시오.

■ 제시문의 문장을 그대로 옮겨 적지 마시오.

■ 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오. [문제 1]

고대 이집트의 수학 문제를 다룬 아메스 파피루스(기원전 1650년경)에는 사각형의 넓이에 관한 문제가 있는데, 오른쪽 그림과 같이 연속한 네 변의 길이가 [eqn: a,```b,```c,```d`]인 사각형의 넓이 [eqn: S `]를 다음과 같이 계산하고 있다.

[eqn: c]

[eqn: d]

A

B

C

D

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: S= {a+c} over {2} cdot {b+d} over {2}] ⋯⋯①

이 공식이 정확하지 않음을 쉽게 확인할 수 있는데, 신기하게도 이 공식이 중국과 우리나라의 전통 수학에도 나타난다.

이런 사각형의 넓이 [eqn: S`]를 찾는 정확한 공식은 다음과 같다.

[eqn: S= sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd`cos ^{2} alpha ``}] ⋯⋯②

(단, [eqn: 2p=a+b+c+d `], [eqn: 2 alpha`]는 두 대각의 크기의 합)

(1) 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있는 사각형의 예를 들어보시오. 그리고 공식 ①을 일반적으로

적용할 수 없는 이유를 구체적인 예를 들어 설명하시오.

(2) 인도의 수학자 브라마굽타는 오른쪽 그림과 같이 연속한 네 변의 길이가 [eqn: a,```b,```c,```d`]이고 원에 내접하는 사각형 ABCD의 넓이 [eqn: S`]를 구하는 다음과 같은 공식을 발견했다.

D

C

A

B

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: S= sqrt {(p-a)`(p-b)`(p-c)`(p-d)`}] ⋯⋯③

(단,  [eqn: 2p=a+b+c+d`])

이 사각형에서 ∠A의 크기를 [eqn: A]라 할 때,

[1] 코사인 법칙을 이용해서 [eqn: cosA= {a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2}} over {2(ad+bc)}]을 유도하고,

[2] 삼각형의 넓이 공식을 이용해서 [eqn: S = {1} over {2} (ad+bc)sinA`]를 유도한 다음에,

[3] 이런 결과를 이용해서 공식 ③을 증명하시오.

(3) 일반적인 공식 ②는 다음과 같이 증명할 수 있다.

A

B

C

D

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: A]

[eqn: C `]

오른쪽 그림과 같이 볼록 사각형 ABCD에서 연속한 네 변의

길이를 [eqn: a,``b,``c,``d`]라 하고, 마주보는 ∠A와 ∠C의 크기를 각각

[eqn: A]와 [eqn: C `]라 하면, [eqn: S = 1 over 2 ad ` sin A + 1 over 2 bc ` sin C `]이고,

[eqn: a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} = 2ad ` cos A - 2bc ` cos C `]이 성립한다.

그러므로 다음을 얻는다.

[eqn: 16S ^{2} = ( 2ad ` sin A + 2bc ` sin C ) ^{2} +(2ad ` cos A - 2bc `cos C ) ^{2} -( a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} ) ^{2}]

[eqn: = LEFT { 4a ^{2} d ^{2} +4b ^{2} c ^{2} +8abcd-(a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} ) ^{2} RIGHT } `- 8abcd ( 1 + cos A ` cos C -sin A ` sin C )]

[eqn: = (b+c+a-d)(b+c-a+d)(a+d+b-c)(a+d-b+c)-16abcd ` cos ^{2} alpha],

[eqn: S ^{2} = LEFT ( {a+b+c-d} over {2} RIGHT ) LEFT ( {b+c-a+d} over {2} RIGHT ) LEFT ( {a+b-c+d} over {2} RIGHT ) LEFT ( {a-b+c+d} over {2} RIGHT ) -abcd ` cos ^{2} alpha],

[eqn: S = root{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd ` cos^2 alpha }]

위의 증명 과정에서 이용한 다음 등식을 증명하시오.

[eqn: 1 + cos A ` cos C -sin A ` sin C =2 cos^2 alpha]

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■ 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오. [문제 2]

(가)   지구 표면에서 물체를 수평으로 던질 때 초기에 던지는 속력 [eqn: v`]가 클수록 더 먼 곳에 떨어진다. 즉, 오른쪽 그림에서 [eqn: A`]보다는 [eqn: B`]의 경우에 물체가 그리는 곡선이 더 완만해진다. 지구는 평면이 아닌 구형이므로 던지는 물체의 초기 속력 [eqn: v`]를 적절히 크게 하면 물체가 그리는 곡선의 휘어지는 정도는 지구와 같은 구부러진 정도가 되어 지상으로 떨어지지 않고 [eqn: C`]와 같이 지구 주위를 원운동 하게 될 것이다. 이때, 지구 표면의 굴곡에 부딪히거나 대기와의 마찰은 없는 것으로 가정하고, 지구의 질량은 [eqn: M`], 지구의 반지름은 [eqn: R`]이라 하자.

(나)   교육 과학 기술부와 한국 항공 우주 연구원은 지난 6월 27일에 남미 프랑스령 기아나 쿠루 우주 센터(위도 5.2도)에서 ‘아리안-5ECA’ 발사체에 실려 발사된 천리안 위성이 목표 정지 궤도(동경 128.2도, 적도 상공 36000 km) 진입에 성공했다고 밝혔다. 천리안 위성은 지구의 자전 방향과 같은 방향으로 지구의 자전 속력과 거의 같은 속력으로 지구 주위를 돌고 있는 정지 위성이다. 우리나라는 천리안 위성 발사로 인해 세계 7번째로 독자 기상 위성을 보유하게 되었다. 우리나라는 외국의 기상 영상에 의존하지 않고, 독자적인 기상 관측 및 예보가 가능하게 되어 기상 정보 수혜국에서 제공국으로의 위상을 갖게 될 것으로 기대된다. 또한 국산 기술로 개발된 통신 탑재체로 Ka대역(20GHz~30GHz)을 이용한 차세대 위성 방송 통신 서비스의 기반을 마련하게 된다.

(1) 제시문 (가)의 그림에서 질량이 인 인공위성이 지구 중심으로부터 [eqn: r`](단, [eqn: r > R `])만큼 떨어져서 지구 주위를 [eqn: C`]와 같이 원운동 하는 경우, 이 인공위성의 초기 속력 [eqn: v`]는 지구 중심으로부터의 거리 [eqn: r`]과 어떤 관계가 있는지 구하시오.

(2) 질량이 인 인공위성이 제시문 (나)의 천리안 위성과 같은 정지 위성이 되려면 어떤 조건을 만족하여야 하는지 구하시오.

(3) 지구 중심으로부터 거리 [eqn: r`]인 위치에 있는 질량 인 물체의 중력에 의한 위치에너지는 로 주어진다. 질량 인 물체가 별다른 추진력 없이 제시문 (1)의 궤도 [eqn: E `]와 같이 지구로부터의 중력을 벗어날 수 있는 최소 크기의 초기 속력을 ‘탈출 속도’라고 한다. 이 탈출 속도는 문제 (1)에서 구한 궤도 [eqn: C`]의 원운동에 필요한 초기 속력보다 커야 할 것이다. 얼마나 더 커야 하는지 구하시오.

(4) 제시문 (나)에 의하면 정지 위성인 천리안은 남미 프랑스령 기아나 쿠루 우주 센터에서 ‘아리안-5ECA’ 발사체에 실려 발사되었다고 한다. ‘아리안-5ECA’ 발사체는 천리안을 일정한 고도까지 올려놓는 추진체이다. 위성 발사 시 이러한 로켓 추진체를 이용하고, 우리나라가 아닌 남미 프랑스령 기아나 쿠루 우주 센터에서 발사하며, 지구 자전 방향과 일치시켜 서쪽에서 동쪽으로 향하도록 발사하는 이유를 설명하시오.

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■ 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오. [문제 3]

(가) 용액의 총괄성은 용질 자체의 종류 및 성질과 무관하게 용질의 양 또는 농도에 의해 용액의 물리적 성질이 달라지는 현상을 말한다. 즉, 총괄성의 일종인 어는점 내림 현상은 몰랄 농도가 같은 경우에 글루코오스 용액과 수크로오스(설탕) 용액에서 같은 정도의 어는점 내림이 관찰된다.

(나) 상기 제시문 (가)의 경우는 비전해질 용액의 총괄성에 대한 설명이다. 전해질 용액의 총괄성은 한 가지 특성을 더 고려하여야 한다. 전해질의 경우 물(용매)에서 양이온과 음이온으로 해리되는 특성 때문에 전해질 용액의 총괄성은 전해질의 몰랄 농도가 아닌 해리된 이온 전체의 몰랄 농도에 의해 결정된다. 이를 표현하기 위해 반트호프 인자 (Van't Hoff factor, [eqn: i])를 이용한다. 예를 들어, 비전해질인 설탕은 물에서 설탕 자체로 해리되므로 [eqn: i=1]인 반면, 전해질인 NaCl은 Na+와 Cl-로 분리되어 해리되므로 [eqn: i=2]이다.

(1) 전해질 NaCl과 MgSO4의 '예측되는' 반트호프 인자 [eqn: i]는 모두 2이다. 그러나 아래 표에서 볼 수 있는 바와 같이 어는점 내림의 측정값으로부터 얻어진 '실제' 두 전해질의 [eqn: i]는 1) 용액의 몰랄 농도(0.00500-0.500m)와 2) 전해질의 종류(NaCl 또는 MgSO4)에 따라 크게 다르다. 그 이유를 전하를 띠고 있는 물체 사이에 작용하는 힘에 대해 기술한 쿨롱의 법칙을 이용하여 논하시오.

표 1. 수용액의 어는점 내림을 측정함으로써 얻어진 반트호프 인자

몰랄 농도 (m)	반트호프 인자, i
	NaCl	MgSO4
0.00500	1.96	1.72
0.0100	1.94	1.53
0.0200	1.92	1.44
0.0500	1.89	1.30
0.100	1.87	1.21
0.200	1.84	1.12
0.500	1.81	1.07

(2) 0.1m의 염산 HCl과 아세트산 CH3COOH 및 황산 H2SO4의 반트호프 인자 [eqn: i]의 값을 각각 예측하고 그 이유에 대해 논하시오.

(3) 겨울철 자동차용 냉각수가 얼지 않도록 넣어주는 부동액은 용액의 어는점 내림 현상을 이용한다. 50.0g의 물에 50.0cm3의 비전해질 A(밀도 [eqn: d=]1.12g/cm3)가 함유된 부동액을 제조하였다. 이때 부동액의 어는점이 －33.7oC로 측정되었다면 비전해질 A의 분자량은 얼마인가?

(단, 물 용매의 몰랄 어는점 내림 상수 [eqn: k _{f} =]1.86oC/m)

마지막 장입니다.

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