2011학년도 신입학 수시 1차 모집

논술고사 문제지 (자연계열)

※ 본 논술문제에 대한 지적 소유권은 광운대학교에 있으며,

시험종료 후 답안지와 함께 제출하여야 합니다.

지원학과(부)
수 험 번 호		성 명

※ 답안 작성시 유의 사항

■ 시험시간은 2시간(120분) 입니다.

■ 답안지는 1장으로 작성하여야 하며, 검정색 볼펜으로 작성하십시오.

(연필, 수정액, 수정테이프 사용금지)

■ 답안지 정정시에는 원고지 교정법을 따라야 합니다.

■ 답안지에는 제목을 쓰지 말고, 특별한 표시를 하지 마십시오.

■ 제시문의 문장을 그대로 옮겨 적지 마십시오.

□ 출제문제 (자연)

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

케플러(Johannes Kepler, 1571~1630)는 함수의 증분이 최댓값 또는 최솟값의 근방에서 거의 무시할 수 있을 정도로 작다는 사실을 관찰했다. 페르마(Pierre de Fermat, 1601~1665)는 이 사실을 최댓값 또는 최솟값을 결정하는 과정으로 해석했다. 간단히 말하면 그 방법은 다음과 같다. 함수 [eqn: f`]가 [eqn: x`]에서 최댓값 또는 최솟값을 갖고 [eqn: h`]를 매우 작은 값이라 하면, [eqn: f(x + h )]의 값은 [eqn: f(x)]의 값과 거의 같을 것이다. 따라서 임시로 [eqn: f(x + h ) = f(x)]라 놓고, 이 방정식을 정리한 다음에 [eqn: h]에 [eqn: 0]을 대입해서 방정식을 수정한다. 그 결과로 얻은 방정식의 근 [eqn: x`]는 [eqn: f]를 최댓값 또는 최솟값으로 만드는 값이다.

페르마가 이런 과정을 적용한 최초의 문제는 다음과 같다. ㉠ “주어진 양수를 음이 아닌 두 수의 합으로 나타내는데, 그 두 수의 곱이 최대가 되는 경우를 찾아라.” 페르마는 상수는 대문자 자음으로, 변수는 대문자 모음으로 표현했다. 이에 따라 [eqn: B`]를 주어진 양수라 하고, 구하려는 두 수를 [eqn: A]와 [eqn: B-A`]로 나타낸다. 증분을 [eqn: E`]라 하여 곱 [eqn: (A+E) left { B-(A+E) right }]를 만들고 이를 [eqn: A(B-A)]와 같다고 놓으면, 다음 방정식을 얻는다.

[eqn: A(B-A)=(A+E)(B-A-E)],  곧  [eqn: BE-2AE-E^2 = 0]

[eqn: E`]로 양변을 나누면, [eqn: B-2A-E=0]이다. 이제 [eqn: E=0]으로 놓으면, [eqn: 2A=B`]를 얻는다. 따라서 찾는 경우는 주어진 양수 [eqn: B`]를 그것의 반씩으로 나누어 곱하는 것이다.

위의 논리에는 미비한 점이 많다. 그렇지만 이 방법은 함수 [eqn: f`]의 도함수를 [eqn: 0]으로 만드는 수를 찾는 것과 본질적으로 같은데, 이 방법을 ‘페르마의 방법’이라 한다. 그렇지만 페르마는 ㉡ [eqn: f `]의 도함수가 0이 되는 것은 극값이 존재하기 위한 충분조건이 아니라 필요조건이라는 사실을 깨닫지 못했다. 또, ㉢ 페르마의 방법은 극댓값과 극솟값을 구별하고 있지도 않다.

[문제 1] (40점)

(1) 페르마가 고려한 문제 ㉠을 미분을 이용해서 해결하시오. 곧, 주어진 양수를 [eqn: a`]라 놓고 적절한 변수 [eqn: x`]와 함수 [eqn: f(x)]를 정해서, [eqn: f(x)]가 최댓값을 취하는 [eqn: x`]의 값을 미분을 이용해서 구하시오.

(2) ㉡의 사실을 보여주는 함수의 예로 실수 전체에서 미분가능한 함수 [eqn: f `]를 찾고, [eqn: f `]에 대해 이 사실을 확인하시오.

(3) ㉢을 밝히기 위해서 도함수가 0일 때 극댓값도 나타날 수 있고 극솟값도 나타날 수 있음을 보여주는 함수의 예로 실수 전체에서 미분가능한 함수 [eqn: f `]를 찾고, [eqn: f `]에 대해 이 사실을 확인하시오.

(4) 삼차함수 [eqn: f `]의 도함수는 [eqn: f`' (x) = 3x^2 - 6x `]이고 극솟값이 [eqn: 0]일 때, 구간 [eqn: [ -1, ``` 3]]에서 [eqn: f `]의 최댓값을 구하시오.

(5) 구간 [eqn: [ -1,``` 3]]에서 함수 [eqn: f(x) = x e^-x `]의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

<다음 면 계속>

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 금속 도체 안에는 많은 자유전자가 있다. 이 자유전자들은 원자들과 충돌하며 자유롭게 돌아다니면서 무질서하게 운동한다. 그러나 도체에 전지를 연결하여 전압을 걸어주면 자유전자들이 평균적으로 한쪽 방향으로 움직이게 된다. 이와 같은 자유전자의 흐름을 전류라 하고, 전류의 세기([eqn: I])는 단위 시간에 도체의 단면을 통과하는 총 전하량으로, 전류의 방향은 전자의 이동 방향과 반대 방향으로 정의한다.

그림 (1)

(나) 그림 (1)과 같이 말굽 모양 자석에 의해 만들어진 자기장 B  속에 자기장과 수직으로 놓인 회색 원기둥 모양의 도선에 전류 I 가 흐르고 있다. 말굽 모양 자석의 바깥쪽 부분의 자기장은 그 세기가 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정하자. 회색 원기둥 모양 도선에 자기력 F 가 작용하여 자기장의 방향(양의 [eqn: z]축 방향)과 도선에 흐르는 전류의 방향(양의 [eqn: y]축 방향)에 모두 수직인 방향(양의 [eqn: x]축 방향)으로 힘을 미친다. 이 힘의 크기([eqn: F])는 자기장의 크기([eqn: B]), 도선에 흐르는 전류의 세기([eqn: I]) 및 자기장 안에 놓인 도선의 길이([eqn: l])의 곱이다. 즉 [eqn: F=B`I``l] 이다.

(다) 그림 (2)와 같이 작은 자석 위에 금속 나사(또는 압정)를 붙인다. 그리고 손으로 전지를 들어서, 전지의 음극(-)에 금속 나사(또는 압정)의 꼬리 부분을 붙인다. 도선의 한쪽 끝을 전지의 양극(+)인 [eqn: a] 위치에 손가락으로 눌러 고정한 후, 도선의 나머지 한쪽을 자석의 옆 부분인 [eqn: b] 위치에 살짝 접촉시킨다.

그림 (2)

[문제 2] (30점)

(1) 어떤 금속 도체로 이루어진 도선의 단면을 80초 동안 모두 [eqn: 10 ^{21}`]개의 전자가 통과하여 지나간다. 전자 한 개의 전하량은 [eqn: 1.6 TIMES 10 ^{-19} ` rm C`]이다. 제시문 (가)를 읽고 이 도선에 흐르는 전류의 세기([eqn: I])를 구하시오.

(2) 제시문 (나)의 그림 (1)에서 다른 장치들은 모두 동일한 상태로 유지한 채 회색 원기둥 모양의 도선을 길이가 2배가 되도록 늘려 가늘게 만들어서 그림 (1)과 똑같은 위치에 놓았다. 전체 도선 중 회색 원기둥 모양 도선 이외 다른 도선 부분의 저항은 무시할 수 있다고 할 때, 회색 원기둥 모양 도선이 자기장 안에서 받는 자기력의 크기는 어떻게 바뀌는지 설명하시오.

(3) 제시문 (다)의 자석과 그 위에 올린 금속 나사(또는 압정)는 회전 운동을 한다. 회전의 방향을 제시하고 그 이유를 그림 (2)에 그려진 좌표축인 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축을 사용하여 설명하시오.

<다음 면 계속>

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 19세기부터 석탄, 석유와 같은 화석연료를 사용함에 따라 연소과정에서 생성된 다량의 이산화탄소가 대기 중으로 배출되는 결과를 가져왔다. 그러한 결과로 대기 중의 이산화탄소 농도는 그림 (1)과 같이 지속적으로 증가하는 경향을 보이고 있다. 미국과 같은 산업 선진국 외에 중국, 인도 등과 같은 신흥 개발도상국 등도 경제 발전을 위하여 다량의 에너지 자원을 필요로 하고 있으며, 최근 연간 이산화탄소 배출량 기준으로는 중국의 이산화탄소 배출량이 미국을 앞지르는 것으로 보고되고 있다.

그림 (1)

그런데 지구를 둘러싸고 있는 대기는 태양으로부터 전달된 태양 복사 에너지를 통과시키나, 지표에서 반사된 지구 복사 에너지는 흡수하여 그 일부를 지구 표면으로 돌려주는 역할을 하고 있다. 이로 인하여 지구 대기의 온도가 상승하는 현상이 나타난다(그림 (2)). 대기의 주성분인 질소와 산소는 적외선을 흡수할 수 없어 대기 온도 상승에 별 영향을 나타내지 않지만, 이산화탄소, 수증기, 메탄과 같은 가스는 지표면에서 반사된 적외선을 흡수하여 온실효과를 가져오기 때문에 온실가스라 불리고 있다.

그림 (2)

(나) 지구상의 원시 대기에는 현재보다 훨씬 많은 양의 이산화탄소가 존재하였던 것으로 추정된다. 원시대기 중에 존재하던 이산화탄소 중 일부는 광합성 생물체에 의한 탄소 고정화 과정을 거쳐 포도당과 같은 유기물로 전환되었고, 그보다 더 많은 양의 이산화탄소는 해수에 용해된 후 해수 중의 칼슘이온과 같은 무기물과 반응하여 탄산칼슘을 주성분으로 하는 석회석을 형성하여 지각성분을 구성하였다.

(다) 광합성의 산물인 당과 같은 유기물이 세포 안으로 흡수되어 대사될 경우 당에 포함되어 있던 탄소는 다시 이산화탄소로 전환된다. 생성된 이산화탄소는 혈액에 용해되는데 탄산무수화효소에 의하여 다음과 같은 일련의 반응을 거쳐 최종적으로 탄산이온으로 전환될 수 있다.

[eqn: rmCO _{2} `+`H _{2} O```] [eqn: REL EXARROW {탄산무수화효소} {}] [eqn: rm H _{2} CO _{3````} ` REL EXARROW {} {} `````H ^{+`} +`HCO _{3} ^{-```} ` REL EXARROW {} {} `````H ^{+} `+`CO _{3} ^{2-}]

<다음 면 계속>

[문제 3] (30점)

(1) 제시문 (나)를 바탕으로 지구 온난화를 유발하는 이산화탄소의 대기 중의 농도를 감소시킬 수 있는 방안을 2가지 이상 제시하시오.

(2) 제시문 (가)의 그림 (1)의 이산화탄소 농도 변화를 살펴 보면 1960년도에는 1 m3 공기 안에 315 mL CO2가 존재하였으나, 2010년도에는 390 mL CO2 로 증가하였다. 이산화탄소 증가의 유일한 원인이 프로판가스의 연소에 의한 것이라고 가정하자. 이렇게 이산화탄소가 증가하기 위하여 연소된 프로판가스의 질량을 제시하시오(유효숫자 3자리). 단 공기 총 부피는 1 m3이며, 기체의 경우 이상기체, 표준상태에서 1몰의 기체의 부피는 22.4 L 라고 가정한다. 화석연료의 하나인 프로판가스를 연소시킬 경우의 반응식은 다음과 같다.

[eqn: rm C _{3} H _{8} `+`5O _{2} ```` -> ````3CO _{2} `+`4H _{2} O]

(3) 해수 중에 용해된 이산화탄소가 칼슘이온과 반응하여 탄산칼슘을 형성하는 과정은 다음과 같은 화학식으로 표현된다.

[eqn: rm CO _{2} `+`H _{2} O`````` REL EXARROW {} {} ``````H _{2} CO _{3} `]       (단계 1)

[eqn: rm H _{2} CO _{3} ````` REL EXARROW {} {} `````H ^{+} `+`HCO _{3} ^{-}]      (단계 2)

[eqn: rm HCO _{3} ^{-} `````` REL EXARROW {} {} `````H ^{+} `+`CO _{3} ^{2-}]       (단계 3)

[eqn: rm Ca^{ 2+ } `+`CO_{ 3 } ^{ 2- } `` rarrow ``CaCO_{ 3 }] (침전물 형성) (단계 4)

위 반응 단계들 중 반응 속도가 가장 느려서 전체 반응 속도를 결정하는 단계는 무엇인지 제시문 (다)를 근거로 이유와 함께 제시하시오. 또한 해수가 산성화 되는 것과 염기성화 되는 것 중 어느 쪽이 이산화탄소의 용해 및 탄산칼슘 침전물의 형성을 촉진할 것인지 이유와 함께 제시하시오.

<끝>

/ 4

□ 모범답안 (자연)

【 문제 1 】

(1) 주어진 수 [eqn: a`]를 음이 아닌 두 수의 합으로 나타낼 때, 그 한 수를 변수 [eqn: x`]로 놓으면 두 수의 곱은 [eqn: x]의 함수 [eqn: f(x) = x ( a - x)]이다. 이때 함수 [eqn: f`]의 정의역은 [eqn: [0, ``` a ]]이다. [eqn: f`]는 다항함수이므로, [eqn: f`]의 최댓값은 구간 [eqn: [0, ``` a ]]에서 [eqn: f(x)]의 극값 및 [eqn: f(0)]과 [eqn: f(a)] 중에서 최대인 값이다.

[eqn: x]	0	⋯	[eqn: a/2]	⋯	[eqn: a]
[eqn: f`'(x)]	＋	＋	0	－	－
[eqn: f(x)]	0	↗	극댓값 [eqn: a^2 /4]	↘	0

[eqn: f ` ' ( x) = a - 2x =0]에서 [eqn: x = a over 2]이므로, [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 나타내는 표는 오른쪽과 같다.

따라서 [eqn: f(x)]의 최댓값 [eqn: a^2 over 4]는 [eqn: x = a over 2]일 때 취한다.   답: [eqn: x = a over 2]

[eqn: x]	⋯	0	⋯
[eqn: f`'(x)]	＋	0	＋
[eqn: f(x)]	↗	0	↗

(2) 함수 [eqn: f(x) = x^3]는 [eqn: f ` ' (x) = 3x^2]이므로 [eqn: x = 0]에서 [eqn: f `' (x) = 0]이다. 그러나 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수는 언제나 증가하므로, [eqn: x = 0]에서 극값을 취하지 않는다.

[eqn: x]	⋯	－1	⋯	1	⋯
[eqn: f`'(x)]	＋	0	－	0	＋
[eqn: f(x)]	↗	극댓값	↘	극솟값	↗

(3) [eqn: f(x) = x^3 - 3x]라 하면, [eqn: f ` ' ( x) = 3 (x - 1) (x + 1) = 3x^2 - 3]이므로 [eqn: f `' ( -1) = f ` ' (1 )= 0]이다.  증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수의 경우에 [eqn: f(-1)]은 극댓값이고 [eqn: f (1)]은 극솟값이다.

[eqn: x]	[eqn: -1]	⋯	0	⋯	2	⋯	3
[eqn: f`'(x)]		＋	0	－	0	＋
[eqn: f(x)]		↗	극댓값	↘	0 극솟값	↗

(4) 삼차함수 [eqn: f `]의 도함수가 [eqn: f`' (x) = 3x^2 - 6x `]이므로 [eqn: f(x) = x^3 - 3x^2 + c `]이다. 극솟값이 0이므로, 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 극솟값 [eqn: f(2) = 8 - 12 + c = 0]에서 [eqn: c =4]이다. 곧, [eqn: f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 `]이다. 그러므로 [eqn: f(-1) = 0], [eqn: f(0) = 4], [eqn: f(2) = 0], [eqn: f(3) = 4]이다. 따라서 구간 [eqn: [ -1, ``` 3]]에서 [eqn: f `]의 최댓값은 4이다.  답: 4

[eqn: x]	－1	⋯	1	⋯	3
[eqn: f`'(x)]		＋	0	－
[eqn: f(x)]	[eqn: - e]	↗	[eqn: 1 over e] 극댓값	↘	[eqn: 3 over e^3]

(5)  [eqn: f ` ' (x) = e^-x - x e^-x = e^-x ( 1 - x)]이므로, [eqn: x =1]일 때 [eqn: f ` ' (x) = 0]이다.  증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수의 경우에 [eqn: f(1)]은 극댓값이다. [eqn: f( -1 ) = - e], [eqn: f(1) = 1 over e], [eqn: f(3) = 3 over e^3]이다. 따라서 구간 [eqn: [-1,``` 3]]에서 [eqn: f `]의 최댓값은 [eqn: 1 over e]이고 최솟값은 [eqn: - e]이다.   답: 최댓값 [eqn: 1 over e], 최솟값 [eqn: - e]

【 문제 2 】

(1)  Q(총전하량) = 총전자갯수 × 전자 한 개의 전하량 = [eqn: 10 ^{21}] × [eqn: 1.6 TIMES 10 ^{-19} `C] = 160 C,

I(전류) = Q(총전하량) / t(시간) = 160 C / 80 sec = 2 A

(2) 원기둥모양 도선의 부피는 일정하므로 길이를 2배 늘리면 면적은 [eqn: {1} over {2}]배로 줄어야 한다. 그러면, 도선의 저항을 구하는 식 [eqn: R= rho {L} over {A}] 에서 저항의 길이 [eqn: L] 은 [eqn: 2L], 면적 [eqn: A] 는 [eqn: {A} over {2}]가 되어 도선의 저항이 4배로 커진다. 다른 장치들은 모두 동일한 상태로 유지하였으므로 오옴의 법칙 [eqn: V=IR] 에 따라 전류의 크기는 [eqn: {I} over {4}] 로 작아진다.  그리고, 도선 중에 자기장 안에 놓인 부분의 길이도 변하지 않았으므로 여전히 [eqn: l] 로 일정하다. 따라서, 자기장 안에서 도선이 받는 힘의 크기는 [eqn: B` LEFT ( {I} over {4} RIGHT ) `l]이 된다. 이는 원래 크기([eqn: F=B`I``l])의 [eqn: {1} over {4}]배에 해당한다.

(3) 그림 (2)의 전극의 음극에 붙인 자석과 그 위에 올린 금속나사는 자기력을 받아 금속나사의 꼬리 끝점에서 [eqn: z]축에 나란한 방향을 중심축으로 c 방향으로 회전운동을 한다. b 위치에 접촉된 도선으로부터 자석 내부로 들어온 전류는 b 점에서 자석의 중심을 이은 방향, 즉 음의 [eqn: x]축 방향을 따라 흐른다.  또한, 자기장의 방향은 양의 [eqn: z]축 방향이다. 제시문 (나)에서 설명한 대로 적용하면 자기력은 양의 [eqn: y]축 방향으로 작용하여 자석을 c 방향으로 회전시킨다.

【 문제 3 】

(1)

- 광합성을 통한 이산화탄소 고정화(나무와 같은 광합성 생물을 대량 증식)

- 이산화탄소의 용해 및 탄산칼슘 형성 (이산화탄소의 저장, 무기질화)

(2)

1) 증가된 이산화탄소 부피 결정

(390-315) ml CO2/m3공기 * 1 m3 공기 = 75 ml CO2

2) 이산화탄소 부피를 몰로 전환

75 ml CO2/(22.4 * 1000 ml) = 3.348 *10-3 mol = 3.348 mmol CO2

3) 이산화탄소 생성에 필요한 프로판가스 필요량

3.488 mmol/3 = 1.116 mmol 프로판가스

4) 프로판가스 질량 전환

프로판가스 분자량 = 3*12 + 8 = 44 mg/mmol

1.116 * 44 = 49.1 mg 프로판가스 (즉 0.049 g 프로판가스)

(3)

1) 1 단계

2) 1 단계 반응은 평형반응이며, 탄산무수화효소가 작용할 경우 속도가 빨라질 수 있는 반응임

3) 염기성화

4) 염기성화 될 시 수소이온(프로톤) 소모를 통하여 반응평형이 정반응 방향으로 이동