자연계열 출제의도 및 평가 기준

[문제 1]

초ㆍ중등학교에서 배운 도형에 대한 지식을 활용하여, 동아시아의 전통 수학인 산학에서 활꼴의 넓이를 구하는 데 이용했던 근사 공식을 분석하고 그와 같은 공식을 이용하게 된 이유를 설명할 수 있는지를 알아보려는 문제이다. 도형에 대한 지식의 활용과 공간 지각력을 평가하려 하였다.

(1) 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있는 다각형의 예를 적절히 들 수 있는가?

(2) (1)에서 제시한 다각형과 주어진 활꼴의 넓이가 비슷한 이유를 그림으로 나타낼 수 있는가?

[문제 2]

좌표평면에서 방정식으로 주어진 원과 직선으로 둘러싸인 활꼴의 넓이를 산학의 근사 공식 및 정적분으로 각각 구할 수 있는지를 알아보려는 문제이다. 방정식으로 주어진 도형을 정확하게 파악하고, 근사 공식을 적용할 수 있는 능력을 평가한다. 특히, 활꼴의 넓이를 구하기 위해, 정적분을 제대로 적용하고 그 계산 과정에서 필요한 치환적분법 등을 적절하게 활용할 수 있는지를 평가하려 하였다.

(1) 원 [eqn: x ^{2} +(y+3) ^{2} =25]와 [eqn: x `]축으로 둘러싸인 작은 부분의 활꼴의 현의 길이와 시의 길이를 정확하게 구할 수 있는가? 공식 ①을 정확하게 적용할 수 있는가?

(2) 활꼴의 넓이를 정적분으로 정확하게 나타낼 수 있는가? 정적분의 값을 구하기 위해 치환적분법을 적절히 적용할 수 있는가?

■ 답 예시

[문제 1] 두 밑변의 길이가  [eqn: a`]와 [eqn: b`]이고 높이가 [eqn: b`]인 사다리꼴의 넓이는 [eqn: S = { ab + b^2 } over 2]이다.

이런 사다리꼴을 주어진 활꼴과 겹쳐 그린 오른쪽 그림에서 두 도형의 넓이가 비슷함을 확인할 수 있다.

또는 밑변의 길이가 [eqn: a + b]이고 높이가 [eqn: b`]인 이등변삼각형의 넓이도 [eqn: S = { ab + b^2 } over 2]이다.

이런 이등변삼각형과 주어진 활꼴을 겹쳐 그린 오른쪽 그림에서 두 두형의 넓이가 비슷함을 확인할 수 있다.

[문제 2]

O

4

2

-4

x

y

-3

좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +(y+3) ^{2} =25]의 중심은 (0, -3)이고 반지름의 길이는 5이며, [eqn: x `]축을 두 점 (-4, 0)과 (4, 0)에서 지난다. 그러므로 구하는 활꼴의 현의 길이는 8이고 시의 길이가 2이다. 따라서 공식 ①에 따른 넓이는 [eqn: { 16 + 2^2} over 2 = 10]이다.

또 이 활꼴의 넓이를 정적분으로 구하는 식은 다음과 같다.

[eqn: 2 int from 0 to 4 ( sqrt { 5^2 - x^2 ` } - 3 ) dx `]  또는 [eqn: 2 int from 0 to 4 sqrt { 5^2 - x^2 ` } dx - 2 int from 0 to 4 3 ` dx `]

[eqn: x = 5 `sin `theta`]로 치환하면 [eqn: dx over {d theta} = 5 ` cos theta `]이고, [eqn: x = 0]일 때 [eqn: theta =0]이며 [eqn: x = 4]일 때 [eqn: theta = 0.925]이므로, 위의 정적분의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: 2 int from 0 to 4 sqrt { 5^2 - x^2 ` } dx - 2 int from 0 to 4 3 ` dx ` = 2 int from 0 to 0.925 sqrt { 5^2 - 5^2 sin^2 theta `} ``5 ` cos ` theta ` d theta - 2 left [ 3x right ]_0^4]

[eqn: = 2 int from 0 to 0.925 5^2 ` cos^2 theta ` d theta - 24]

[eqn: = 5^2 int from 0 to 0.925 ( 1 + cos `2 theta )` d theta - 24]

[eqn: = 5^2 left [ theta + { sin ` 2 theta } over 2 right ]_0^0.925 - 24]

[eqn: = 5^2 left [ theta + sin ` theta `` cos theta right ]_0^0.925 - 24]

[eqn: = 5^2 left ( 0.925 + 0.8 cdot 0.6 right ) - 24]

[eqn: = 25 cdot 1.405 - 24 = 35.125 - 24 = 11.125]

[문제 4]

(1)에서

지구상 어디에서나 항상 네 개 이상의 GPS 위성이 관측되도록 한 이유를 설명하도록 한 것은 임의의 개수의 변수를 가지는 연립방정식을 풀 때 최소로 필요한 등식의 개수는 그 변수의 개수와 같아야 한다는 것을 아는 지를 파악하기 위함이다. 본 문제의 경우 변수의 개수가 공간 직교 좌표 (x, y, z)와 시각 t로 네 개의 변수를 가지고 있기 때문에 이를 구하기  위해서는 최소 네 개의 독립된(종속적이지 않은) 등식을 만들기 위해 최소 네 개의 위성으로부터의 정보가 필요하다.

네 개의 GPS 위성으로부터의 도착한 각 위성의 공간 직교 좌표 정보 (Xn, Yn, Zn) 및 시각정보 Tn 를 (n=1, 2, 3, 4) 이용하여, 수신기의 공간 직교 좌표 (x, y, z)로 표시되는 위치와 시각 t를 결정하는 방법을 설명하도록 한 것은 피타고라스 정리에 기반한 3차원 공간상에서의 두 점 (Xn, Yn, Zn)과 (x, y, z)사이의 유클리드 거리를 식으로 표현할 수 있음과 두 점사이의 (유클리드) 거리를 전파의 이동 속도인 빛의 속도 (c = 3×108 m/s)로 나누면 (t-Tn)과 같다는 물리 지식을 가지고 있음을 파악하기 위함이다. 주어진 네 개의 GPS 위성으로부터의 각 위성의 공간 직교 좌표 (Xn, Yn, Zn) 및 시각 정보 Tn (n=1, 2, 3, 4)을 이용하여 네 개의 미지수 (x, y, z) 및 t를 결정할 수 있는 네 개의 연랍방정식을 만들 수 있음을 보이고, 그 연립방정식의 해가 구하고자 하는 지구상에서의 GPS 수신기의 공간 직교 좌표 및 현재 시각이 된다.

* 지구상에서의 실제 공간 좌표는 고도, 위도, 경도에 기반한 공간 구형 좌표로 표시함이 더 적합하나 학생들의 교육 내용을 고려하여 이와 등가인 공간 직교 좌표를 대신 사용하였음.

(2)에서

단순한 공간 좌표와 시각만을 알려주는 GPS 수신기를 이용하여 구현된 차량용 네비게이터에는 어떠한 기능들이 더 추가적으로 부가됨으로써 원하는 목적지까지 길을 찾아가게 하는 지에 설명하게 함으로써 IT 기술에 대한 이해 및 평소 IT 제품에 대한 관찰정도 및 분석정도를 파악하기 위함이다. 길을 찾아감에 있어서 필수적인 기능인 지리정보시스템, 음성처리부, 화면처리부 등(각 기능부의 이름은 중요하지 않음)에서 2개 이상이 그 이유와 함께 설명되길 바랬다. 길을 찾아감에 있어서 필수적인 기능은 아니지만 사용자 편의를 위한 부가기능들 (예를 들면, 도로 소통 상황, 과속 방지 카메라 위치, 일기, 주변 볼 곳 등)이 설명과 함께 제시된 것은 부분 점수를 부여했다.

평가 기준

[문제 4] (1)

수신기의 3 차원 위치좌표(x, y, z)와 현재 시각 t의 4 개의 미지수의 값을 결정하기 위해서는 적어도 네 개의 GPS 위성으로부터의 정보가 필요하기 때문이다.

위의 4 개의 연립방정식에 네 개의 GPS 위성으로부터의 획득된 정보 (Xn, Yn, Zn, Tn), (n=1,2,3,4)를 대입하여 미지수 (x, y, z, t)를 구하면 그것이 수신기의 3차원 좌표 (x, y, z) 및 현재 시각 t가 된다.

(2)

* 지리정보시스템: 자동차는 도로를 통하여만 이동할 수 있기 때문에 도로 및 지도 정보를 제공

* 음성 처리부: 운전자가 이동할 방향에 대한 지시를 음성으로 제공

* 화면 처리부: 지도상에서 현재 위치를 표시

* 기타 정보 처리부:

�  TPEG: 현재 위치와 목적지사이의 이동 예정 도로의 소통상황을 제공

�  과속 방지 카메라 위치 정보: 과속 방지 카메라의 위치를 제공

[문제 5]

(1)은 문제와 제시문을 읽고 제시문에 부분적으로 흩어져서 주어져 있는 정보를 분석하여 검증이 필요한 문제에 대한 논리적으로 판단의 근거를 제시할 수 있는 능력을 지니고 있는지를 파악하기 위한 것이다.  각 변수들의 과학적인 의미를 살펴 수식을 필요한 형태로 정리할 수 있는지도 평가하려 하였다.

(2)는 실제로 접할 수 있는 상황에서 창의적이고 과학적인 간단한 아이디어를 내어 문제를 해결할 수 있는 능력이 있는지 알아보기 위한 것이다. 해결방법을 제시하지 못하더라도 또는 정확한 측정값을 알지 못하더라도, 알고 있는 정보를 최대한 이용하여 근사적으로 결과를 예측할 수 있는 능력이 있는지도 확인하려 하였다.

<평가 기준>

[문제 5]

유리판은 부도체로 전기저항이 매우 크므로 전류를 물질A에 흘려주면 유리판으로는 전류가 거의 흐르지 않고 물질A로만 흐르므로 전압강하를 측정하여 전압강하를 전류로 나누면 물질A의 전기저항을 구할 수 있다고 주장할 수 있다.

물질A는 반도체이기 때문에 전류가 흐르므로, 전류는 물질A를 통하여 유리판에 도달할 수 있다.  물질A가 유리판에 붙어 있는 경우 대신 물질A와 유리판을 분리해서 각각의 저항 둘을 병렬로 연결해 놓았을 때로 바꾸어 생각해 보자.  이 경우 저항은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: {1} over {R} = {1} over {R _{물질A}} + {1} over {R _{유리판}}# = {S _{물질A}} over {L _{물질A} `` rho _{물질A}} + {S _{유리판}} over {L _{유리판} `` rho _{유리}}# = {1` mu m TIMES 1`cm} over {전압`측정`단자`간`거리 TIMES rho _{물질A}} + {3`mm TIMES 1`cm} over {전압`측정`단자`간`거리 TIMES rho _{유리}}]

유리판이 물질A보다 3000배 두껍고 길이와 너비는 같으므로 유리와 물질A의 비저항의 차이에 따라 유리판을 무시할 수 있을지가 결정된다.  만약 유리의 비저항이 물질A보다 3000배 정도 크다면 두 저항이 같은 값을 주므로 무시할 수 없어서 이 한 번의 실험으로는 물질A의 비저항을 계산할 수 없다.  만일 유리의 비저항이 물질A보다 3 ☓ 106 배 크다면 유효숫자 3자리까지 유리판의 영향은 무시해도 좋을 것이고 측정값으로부터 물질A의 비저항을 구할 수 있다.  즉 측정하려 하는 값에 따라 측정이 가능할지가 결정된다.

[참고로, 부도체는 실험실에서 일반적으로 이용할 수 있는 전압계, 테스터로는 상온에서 측정이 불가능하다.  이 사실은 일반적인 측정장치로 저항을 측정하는 것이 가능했다면, 물질A의 비저항이 부도체인 유리의 비저항보다 매우 작았을 것이라는 추측을 가능하게 한다.  따라서 저항 값을 얻을 수 있다면 유리판을 무시할 수 있고 물질A의 비저항을 측정할 수 있다고 주장할 수 있다. ]

유리판을 무시할 수 있을 때, 전압을 측정하는 전압계의 측정 단자 사이의 거리와 물질A의 두께를 이용하여 물질A만의 비저항을 계산할 수 있다.

[eqn: rho = {V} over {I} {두께`1` mu m` TIMES `너비`1`cm} over {전압`측정`단자`간`거리`(최대`10`cm)}] .

물질A만의 투과율을 구하려면 같은 두께의 유리판을 하나 더 준비하여 같은 실험(투과율 측정)을 하면 된다.  빛을 쪼여주었을 때 각각의 파장에서 얼마나 많은 양의 빛이 투과되는 지를 관찰하고 기록하여 각 파장에서의 물질A가 입혀진 유리판의 투과율과 유리판만의 투과율의 비를 이용하여 구한다.  물질A가 입혀진 유리판의 투과율(T)은 물질A를 투과한 빛만이 유리에 입사되는 빛의 세기가 되어 (T = TA ☓ T유리)로 주어지므로, 유리판만의 투과율을 T유리를 측정하여, 물질A만의 투과율을 (TA = T / T유리)로 구할 수 있다.

T유리가 가시광선 영역에서 90% 이상(즉 90-100%)이라는 정보를 이용하여, 물질A만의 투과율은 빨간색에서 노란색 영역에서는 85-94%, 초록색에서 파란색 영역에서는 50-56%, 보라색 영역에서는 10-11%로 예측할 수 있다.