[경희대학교 문항정보]

일반정보

유형	☑ 논술고사 □ 면접 및 구술고사
전형명	2018 온라인 모의논술고사
해당 대학의 계열(과목) / 문항번호	의학계(수학)
출제 범위	수학과 교육과정 과목명	수학II, 미적분I
	핵심개념 및 용어	수열의 합, 급수의 수렴과 발산, 등비급수의 활용
예상 소요 시간	60분

문항 및 제시문

Ⅰ. 다음 제시문과 그림을 참조하여 논제에 답하시오. (60점)

[가] 일반적으로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: n]이 한없이 커질 때 [eqn: a _{n}]의 값이 일정한 값 [eqn: alpha]에 한없이 가까워지면, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: alpha]에 수렴한다고 한다. 이때 [eqn: alpha]를 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 극한값 또는 극한이라고 하며, 이것을 기호로

[eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} = alpha] 또는 [eqn: n` -> ` INF]일 때 [eqn: a _{n} ` -> ` alpha]

와 같이 나나낸다. 여기서 [eqn: INF]는 한없이 커지는 상태를 나타내는 기호로 무한대라고 읽는다.

수열이 수렴하지 않을 때, 그 수열은 발산한다고 한다.

[나] 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 각 항을 차례로 덧셈 기호 [eqn: +]를 사용하여 연결한 식

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} + CDOTS]

을 급수라고 하며, 이것을 기호 [eqn: sum _{} ^{}]를 사용하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]과 같이 나타낸다. 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합

[eqn: S _{n} =a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]

를 이 급수의 제[eqn: n]항까지의 부분합이라고 한다. 이 부분합으로 이루어진 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]이 일정한 값 [eqn: S]에 수렴할 때, 즉 [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} = lim _{n -> INF } {`sum _{k=1} ^{n}} a _{k} =S]일 때, 이 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]는 [eqn: S]에 수렴한다고 한다. 이때 [eqn: S]를 급수의 합이라 하고, 기호로

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} + CDOTS =S]  또는  [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =S]

와 같이 나타낸다. 한편 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]의 부분합으로 이루어진 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]이 발산할 때, 이 급수는 발산한다고 한다.

[다] 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구해 보자. 첫째항이 [eqn: a], 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 하면

[eqn: S _{n} =a+ar+ar ^{2} + CDOTS +ar ^{n-2} +ar ^{n-1}]              ………… (1)

이고, 양변에 [eqn: r]을 곱하면

[eqn: rS _{n} =ar+ar ^{2} +ar ^{3} + CDOTS +ar ^{n-1} +ar ^{n}]               ………… (2)

이다. (1)에서 (2)를 변끼리 빼면

[eqn: (1-r)S _{n} =a-ar ^{n} =a(1-r ^{n} )]

이므로 [eqn: S _{n}]은 다음과 같다.

[eqn: r != 1]일 때,          [eqn: S _{n} = {a(1-r ^{n} )} over {1-r} = {a(r ^{n} -1)} over {r-1}]

[eqn: r=1]일 때, (1)에서   [eqn: S _{n} = UNDERBRACE {n개} {a+a+a+ CDOTS +a} =na]

< 뒷면에 계속 >

[ 1 – 5 ]

[그림 1]

[그림 1]과 같이 선분 [eqn: OP _{1}]의 길이 [eqn: {bar{OP _{1}}}]는 1이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: ANGLE OP _{n} Q _{n}]은 직각이고, 점 [eqn: P _{n+1}]은 선분 [eqn: OQ _{n}]에 놓여 있는 좌표평면의 점 [eqn: P _{n}]과 점 [eqn: Q _{n}]을 생각하자. (단, [eqn: n GEQ 1]) 여기서, 기호의 편의를 위하여, [eqn: ANGLE P _{n} OQ _{n} = theta _{n}], [eqn: {bar{OP _{n+1}}} / {bar{OQ _{n}}} = alpha _{n}], [eqn: {bar{OP _{n}}} =p _{n}], [eqn: {bar{OQ _{n}}} =q _{n}], [eqn: {bar{P _{n} Q _{n}}} =t _{n}]이라고 표시하자.

[논제 I-1] [eqn: theta _{n}]이 모두 상수 [eqn: theta]로 일정하고 [eqn: alpha _{n}]도 모두 상수 [eqn: alpha]로 일정할 때, [eqn: p _{n}]을 [eqn: theta], [eqn: alpha], [eqn: n]에 대한 식으로 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}], [eqn: 0< alpha]) (5점)

[논제 I-2] 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: alpha _{n} = {n} over {n+1}]이고 [eqn: t _{n} = {sqrt {n ^{2} -(n-1) ^{2}}} over {n}]일 때, [eqn: sin ^{2} ` theta _{n}]을 [eqn: n]에 대한 식으로 나타내시오. 또한 [eqn: lim _{n -> INF } {`sin ^{2} ` theta _{n}}]의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (20점)

[논제 I-3] 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: alpha _{n}]이 상수 [eqn: sqrt {a}]로 일정하고, 어떤 상수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: t _{n}]이 [eqn: sqrt {r ^{n}}]일 때, [eqn: p _{n}^{2}]을 [eqn: n]에 대한 식으로 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (단, [eqn: r>0], [eqn: a>0]) (20점)

[논제 I-4] [논제 I-3]에서 구한 식을 이용하여 [eqn: lim _{n -> INF } {`sin ^{2} ` theta _{n}}]이 수렴하는 [eqn: a]와 [eqn: r]의 범위를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

출제 의도

본 문제는 도형이 어떤 규칙적인 방법으로 순차적으로 만들어질 때 생성되는 수열에 대하여 그 규칙성을 수학식으로 적절하게 표현하여 수열의 연속 항들의 관계를 밝히고 이를 이용하여  일반항의 식을 구할 수 있고 그 극한의 수렴, 발산 여부를 판단할 수 있는지를 평가하고자 한다.

I-1. 순차적으로 만들어지는 도형의 선분들의 길이로 구성된 수열을 삼각비 성질의 기본적인 적용으로 등비수열로 나타낼 수 있는지를 평가하는 문제이다.

I-2. 다른 규칙이 주어졌을 때 적절한 계산을 통하여 수열의 일반항을 유추하고 그 극한을 찾을 수 있는지를 평가하는 문제이다.

I-3. 또 다른 규칙이 주어졌을 때 등비수열의 합 공식을 적용하여 수열의 일반항을 모든 경우에 다 찾을 수 있는지를 평가하는 문제이다.

I-4. 등비수열이 포함된 수열의 극한의 수렴, 발산을 모든 경우에 대하여 판별할 수 있는지를 평가하는 문제이다.

출제 근거

1. 교육과정 근거

문항 및 제시문		관련 성취기준
제시문 가	교육과정*	[미적분I] - (가) 수열의 극한 - □ 수열의 극한 ① 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이름 판별할 수 있다. ② 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이해하고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.
	성취기준･성취수준**	[미적분I] - (가) 수열의 극한 - □ 수열의 극한 미적1111. 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이름 판별할 수 있다. 미적1112. 수열의 극한에 관한 기본 성질을 이해하고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.
제시문 나	교육과정	[미적분I] - (가) 수열의 극한 - □ 급수 ① 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다.
	성취기준･성취수준	[미적분I] - (가) 수열의 극한 - □ 급수 미적1121. 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다.
제시문 다	교육과정	[수학II] - (다) 수열 - □ 등차수열과 등비수열 ③ 등비수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.
	성취기준･성취수준	[수학II] - (다) 수열 - □ 등차수열과 등비수열 수학2313-1. 등비수열의 뜻을 알고, 일반항을 구할 수 있다. 수학2313-2. 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.
논제 1-1	교육과정	[중학교] - (마) 기하 - □ 피타고라스 정리 ② 피타고라스 정리를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다. [중학교] - (마) 기하 - □ 삼각비 ② 삼각비를 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다. [수학II] - (다) 수열 - □ 등차수열과 등비수열 ③ 등비수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.
	성취기준･성취수준	[중학교] - (마) 기하 - □ 피타고라스 정리 수95082. 피타고라스 정리를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다. [중학교] - (마) 기하 - □ 삼각비 수95092. 삼각비를 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다. [수학II] - (다) 수열 - □ 등차수열과 등비수열 수학2313-1. 등비수열의 뜻을 알고, 일반항을 구할 수 있다.
논제 1-2	교육과정	[수학II] - (다) 수열 - □ 수열의 합 ② 여러 가지 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다. [미적분I] - (가) 수열의 극한 - □ 수열의 극한 ① 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이름 판별할 수 있다. ② 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이해하고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.
	성취기준･성취수준	[수학II] - (다) 수열 - □ 수열의 합 수학2322. 여러 가지 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다. [미적분I] - (가) 수열의 극한 - □ 수열의 극한 미적1111. 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이름 판별할 수 있다. 미적1112. 수열의 극한에 관한 기본 성질을 이해하고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.
논제 I-3	교육과정	[수학II] - (다) 수열 - □ 등차수열과 등비수열 ③ 등비수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.
	성취기준･성취수준	[수학II] - (다) 수열 - □ 등차수열과 등비수열 수학2313-1. 등비수열의 뜻을 알고, 일반항을 구할 수 있다. 수학2313-2. 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.
논제 I-4	교육과정	[미적분I] - (가) 수열의 극한 - □ 급수 ① 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다. ② 등비급수의 뜻을 알고, 그 합을 구할 수 있다. ③ 등비급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.
	성취기준･성취수준	[미적분I] - (가) 수열의 극한 - □ 급수 미적1121. 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다. 미적1122. 등비급수의 뜻을 알고, 그 합을 구할 수 있다. 미적1123. 등비급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.
*: 교육과학기술부 고시 제 2011-361호 [별책 8] “수학과 교육과정” **: 교육과학기술부 발간 「2009 개정 교육과정에 따른 성취기준･성취수준: 고등학교 수학」(교육과학기술부 발간등록번호 11-1341000-002322-01)

2. 자료 출처

참고자료	도서명	저자	발행처	발행년도	쪽수
고등학교 교과서	미적분I	황선욱 외	좋은책 신사고	2016	13 14
	미적분I	신항균 외	지학사	2015	30
	수학II	황선욱 외	좋은책 신사고	2016	112
기타

문항 해설

수열과 급수는 극한과 구분적분법 등의 개념 정립을 위한 핵심적인 수학적 도구이고, 수렴, 발산 여부의 판별은 그 중에서 가장 중요한 부분이다. 본 문제의 주요 내용은 「중학수학」의 ‘기하’, 「수학II」의 ‘수열’, 「미적분I」의 ‘수열의 극한’ 단원에서 다루어진다. 본 문항을 통하여 학생들이 제시문을 정확하게 읽고 적절히 활용하여 도형이 어떤 규칙적인 방법으로 순차적으로 만들어질 때 생성되는 수열의 일반항을 구할 수 있는지를 평가한다. 또한, 수열의 극한의 수렴, 발산 여부를 판단할 수 있는지와 그 풀이 과정을 체계적이고 논리적으로 논술할 수 있는지를 평가한다.

예시 답안

I-1. 아래 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: TRIANGLE P _{n} OQ _{n}]에서 다음의 식을 알 수 있다.

	[eqn: {bar{OQ _{n}}} ^{2} = {bar{OP _{n}}} ^{2} + {bar{P _{n} Q _{n}}} ^{2} ,```즉,```q _{n}^{2} =p _{n}^{2} +t _{n}^{2}# # {bar{OP _{n+1}}} = alpha _{n} {bar{OQ _{n}}} ,```즉,```p _{n+1} = alpha _{n} q _{n}# # {bar{OP _{n+1}}} ^{2} = alpha _{n}^{2} {bar{OP _{n}}} ^{2} + alpha _{n}^{2} {bar{P _{n} Q _{n}}} ^{2} ,```즉,```p _{n+1}^{2} = LEFT ( alpha _{n} `p _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( alpha _{n} `t _{n} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: ANGLE P _{n} OQ _{n} = theta]이므로 [eqn: q _{n} = {p _{n}} over {cos` theta }]이다. 한편, [eqn: alpha _{n} = alpha]이므로, [eqn: p _{n+1} = alpha `q _{n} = LEFT ( {alpha } over {cos` theta } RIGHT ) `p _{n}]이 되어 [eqn: p _{n}]이 공비 [eqn: {alpha } over {cos` theta }]이고 첫째항이 [eqn: p _{1} = {bar{OP _{1}}} =1]인 등비수열임을 알 수 있다. 이 등비수열의 일반항은 [eqn: p _{n} = LEFT ( {alpha } over {cos` theta } RIGHT ) ^{n-1}]이다.

I-2. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: alpha _{n} = {n} over {n+1}]이고 [eqn: t _{n} = {sqrt {n ^{2} -(n-1) ^{2}}} over {n}]이므로, 식 [eqn: p _{n+1}^{2} = LEFT ( alpha _{n} `p _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( alpha _{n} `t _{n} RIGHT ) ^{2}]으로부터 [eqn: p _{n+1}^{2} = LEFT ( {n} over {n+1} RIGHT ) ^{2} p _{n}^{2} + LEFT ( {n} over {n+1} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {n-1} over {n+1} RIGHT ) ^{2}]을 얻는다. 이 항등식으로부터 [eqn: p _{n+1}^{2}]을 구하는 것은 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.

[방법 1] 이 식의 양변에 [eqn: (n +1) ^{2}]을 곱하고 [eqn: n^2]을 오른쪽으로 이항하면,

[eqn: (n+1) ^{2} p _{n+1}^{2} -n ^{2} =n ^{2} p _{n}^{2} -(n-1) ^{2}]

을 얻는다. 이 항등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립하므로, 수열 [eqn: (n+1) ^{2} p _{n+1}^{2} -n ^{2}]은 [eqn: n]에 상관없이 값이 일정함을 알 수 있다. 특히 [eqn: n=1]일 때의 값과 같아지게 되므로

[eqn: (n+1) ^{2} p _{n+1}^{2} -n ^{2} =1 ^{2} p _{1}^{2} -(1-1) ^{2} =1].

이를 정리하여 [eqn: p _{n+1}^{2} = {n ^{2} +1} over {(n+1) ^{2}}]을 구할 수 있다.

[방법 2] 위 항등식에 [eqn: n]의 값을 1부터 순차적으로 대입하면,

[eqn: p _{1}^{2} =1]

[eqn: p _{2}^{2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} (1) ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {0} over {2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: p _{3}^{2} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: p _{4}^{2} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {2} over {4} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2]

[eqn: p _{5}^{2} = LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: ``````````` VDOTS]

[eqn: p _{n+1}^{2} = LEFT ( {1} over {n+1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {n} over {n+1} RIGHT ) ^{2} = {n ^{2} +1} over {(n+1) ^{2}}]을 유추할 수 있다.

이렇게 구한 [eqn: p _{n+1}^{2}]을 이용하여 [eqn: q _{n}^{2} = {1} over {alpha _{n}^{2}} `p _{n+1}^{2} = {n ^{2} +1} over {n ^{2}}]이고, [eqn: sin ^{2} ` theta _{n} = {t _{n}^{2}} over {q _{n}^{2}} = {2n-1} over {n ^{2} +1}]을 구할 수 있다. [eqn: n -> INF]일 때, 그 극한은 [eqn: lim _{n-> INF } {`sin ^{2} ` theta _{n}} = lim _{n-> INF } {{{2} over {n} - {1} over {n ^{2}}} over {{1} over {n ^{2}} +1} = {0} over {1} =0}]으로 수렴한다.

I-3. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: alpha _{n} = sqrt {a}]이고 [eqn: t _{n} = sqrt {r ^{n}}]이므로, 식 [eqn: p _{n+1}^{2} = LEFT ( alpha _{n} `p _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( alpha _{n} `t _{n} RIGHT ) ^{2}]으로부터 식 [eqn: p _{n+1}^{2} =a`p _{n}^{2} +a`r ^{n}]을 얻는다. 이를 이용하여 [eqn: p _{n}^{2}]을 구하는 것은 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.

[방법 1] 위 항등식에 [eqn: n]의 값을 1부터 순차적으로 대입하면,

[eqn: p _{1}^{2} =1]

[eqn: p _{2}^{2} =a+a`r]

[eqn: p _{3}^{2} =a ^{2} +a ^{2} r+a`r ^{2}]

[eqn: p _{4}^{2} =a ^{3} +a ^{3} r+a ^{2} r ^{2} +ar ^{3}]

[eqn: p _{5}^{2} =a ^{4} +a ^{4} r+a ^{3} r ^{2} +a ^{2} r ^{3} +a`r ^{4}]

[eqn: ``````` VDOTS]

[eqn: p _{n}^{2} =a ^{n-1} +a ^{n-1} r+a ^{n-2} r ^{2} +a ^{n-3} r ^{3} + CDOTS +a`r ^{n-1}]을 유추할 수 있다.

여기서, [eqn: a ^{n-1} r+a ^{n-2} r ^{2} +a ^{n-3} r ^{3} + CDOTS +a`r ^{n-1}]는 첫째항이 [eqn: a ^{n-1} r], 공비 [eqn: r/a]인 등비수열의 [eqn: n-1]번째 합이므로

[eqn: p _{n}^{2} = {cases{a ^{n-1} + {a ^{n-1} r LEFT ( (r/a) ^{n-1} -1 RIGHT )} over {r/a-1} ,&````r/a != 1#a ^{n-1} + UNDERBRACE {n-1개} {a ^{n} +a ^{n} + CDOTS +a ^{n}} ,&````r/a=1}}][eqn: ````````= {cases{a ^{n-1} + {ar ^{n} -a ^{n} r} over {r-a} ,&````r != a#a ^{n-1} +(n-1)a^{n} ,&````r=a}}]

[방법 2] 먼저 [eqn: r=a]일 때, [eqn: p _{n+1}^{2} =a`p _{n}^{2} +a` ^{n+1}]이 되고 [eqn: a ^{n+1}]을 양변에 나누면 [eqn: {p _{n+1}^{2}} over {a ^{n+1}} = {p _{n}^{2}} over {a ^{n}} +1]을 얻는다. 이로부터 수열 [eqn: {p _{n}^{2}} over {a ^{n}}]이 첫째항이 [eqn: {1} over {a}], 공차가 1인 등차수열임을 알 수 있으므로, [eqn: {p _{n}^{2}} over {a ^{n}} = {1} over {a} +(n-1)]과 [eqn: p _{n}^{2} =a ^{n-1} +(n-1)a ^{n}]임을 밝힐 수 있다.

한편, [eqn: r != a]일 때, [eqn: p _{n+1}^{2} =a`p _{n}^{2} +a`r ^{n}]이 [eqn: p _{n+1}^{2} - {ar ^{n+1}} over {r-a} =a LEFT ( p _{n}^{2} - {ar ^{n}} over {r-a} RIGHT )]로 바뀌고, 수열 [eqn: p _{n}^{2} - {ar ^{n}} over {r-a}]이 첫째항이 [eqn: 1- {ar} over {r-a}], 공비가 [eqn: a]인 등비수열임을 알 수 있다. 이로부터 [eqn: p _{n}^{2} - {ar ^{n}} over {r-a} = LEFT ( 1- {ar} over {r-a} RIGHT ) a ^{n-1}]을 얻고 [eqn: p _{n}^{2} =a ^{n-1} + {ar ^{n} -a ^{n} r} over {r-a}]임을 밝힐 수 있다. 이는 [방법 1]의 결과와 같다.

I-4. [논제 I-3]의 답으로부터, [eqn: q _{n}^{2} = {1} over {a} p _{n+1}^{2} = {cases{a ^{n-1} + {r ^{n+1} -a ^{n} r} over {r-a} ,&````r != a#a ^{n-1} LEFT ( 1+an RIGHT ) ,&````r=a}}]

[eqn: sin ^{2} ` theta _{n} = {t _{n}^{2}} over {q _{n}^{2}} = {cases{{r ^{n}} over {a ^{n-1} + {r ^{n+1} -a ^{n} r} over {r-a}} ,&````r != a#{r ^{n}} over {a ^{n-1} LEFT ( 1+an RIGHT )} ,&````r=a}}````= {cases{{(r-a)r ^{n}} over {a ^{n-1} (r-a-ar)+r ^{n+1}} ,&````r != a#{a} over {1+an} ,&````r=a}}]

먼저, [eqn: r=a]일 때, 극한 [eqn: lim _{n -> INF } {`sin ^{2} ` theta _{n}} = lim _{n -> INF } {{a} over {1+an}} =0]으로 수렴한다.

[eqn: r>a]일 때, [eqn: 0< {a} over {r} <1]이고 [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( {a} over {r} RIGHT ) ^{n}} =0]이다. 이때,

[eqn: lim _{n -> INF } {`sin ^{2} theta _{n}} = lim _{n -> INF } {{(r-a)r} over {LEFT ( {a} over {r} RIGHT ) ^{n-1} (r-a-ar)+r ^{2}}} = {(r-a)r} over {r ^{2}} =1- {a} over {r}]으로 수렴한다.

[eqn: r<a]일 때, [eqn: 0< {r} over {a} <1]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( {r} over {a} RIGHT ) ^{n}} =0]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {`sin ^{2} theta _{n}} = lim _{n -> INF } {{(r-a)r LEFT ( {r} over {a} RIGHT ) ^{n-1}} over {(r-a-ar)+r ^{2} LEFT ( {r} over {a} RIGHT ) ^{n-1}}} = {0} over {r-a-ar} =0]으로 수렴한다. 여기서, 분모 [eqn: r-a-ar]는 영이 될 수 없다. 왜냐하면, [eqn: r<a<(1+r)a]이므로, [eqn: r-(1+r)a<0]이기 때문이다.

이를 종합하면 [eqn: lim _{n -> INF } {`sin ^{2} ` theta _{n}}]는 모든 [eqn: a>0], [eqn: r>0]에 대하여 수렴함을 알 수 있다.