2018학년도 온라인 모의논술고사 예시답안 (자연계)

수학

(1)

삼각형 [eqn: AA _{1} B]은 각[eqn: ABA _{1}]이 [eqn: {2 pi } over {3}]이고 [eqn: bar{AB} `= bar{A _{1} B} `=2]인 이등변삼각형이다.

선분 [eqn: AA _{1}]의 중점을 [eqn: P _{1}]이라 하면 삼각형 [eqn: ABP _{1}]은 각 [eqn: ABP _{1}]이 [eqn: { pi } over {3}]이고 [eqn: bar{AB} `=2]인 직각삼각형이다. 따라서 [eqn: bar{AP _{1}} = bar{AB} `sin {pi } over {3} `= sqrt {3}] 이고, [eqn: l _{1`} =2 bar{AP _{1}} =2 sqrt {3}] 이다.

삼각형 [eqn: A _{1} A _{2} C]는 각 [eqn: A _{1} CA _{2}]가 [eqn: {pi } over {2}]이고 [eqn: bar{A _{1} C} ``= bar{A _{2} C} ``]인 직각이등변삼각형이다. [eqn: bar{A _{1} C} ``= bar{A _{1} B} `+ bar{BC} `= bar{AB} `+ bar{BC} `=2+1=3] 이므로 [eqn: l _{2`} = sqrt {{bar{A _{1} C`}} ^{2} `+ bar{A _{2} C `}} ^{2}} =3 sqrt {2}]이다.

삼각형 [eqn: AA _{2} A _{3}]는 각 [eqn: A _{2} AA _{3}]가 [eqn: pi - {pi } over {6} = {5 pi } over {6}]이고 [eqn: bar{AA _{2}} ``= bar{AA _{3}} ``]인 이등변삼각형이다.

선분 [eqn: A _{2} A _{3}]의 중점을 [eqn: P _{3}]이라 하면, 삼각형 [eqn: AA _{3} P _{3}]은 각 [eqn: A _{3} AP _{3}]가 [eqn: {5pi } over {12}]이고

[eqn: bar{AA _{3}} =3+ sqrt {3}](삼각형 [eqn: ABC] 의 둘레의 길이)인 직각삼각형이므로 [eqn: bar{A _{3} P _{3}} = bar{AA _{3}} `sin {5pi } over {12} `]이다.

한편 [eqn: {5 pi } over {12} = {pi } over {6} + {pi } over {4}]이므로 사인함수의 덧셈정리에 의해

[eqn: `sin {5 pi } over {12} `=sin {pi } over {6} `cos {pi } over {4} +cos {pi } over {6} `sin {pi } over {4} = {1+ sqrt {3}} over {2 sqrt {2}}]

이다. 따라서 [eqn: l _{3} =2 bar{A _{3} P _{3}} =3 sqrt {2} +2 sqrt {6}] 이고, [eqn: L _{3} =l _{1} +l _{2} +l _{3} =6 sqrt {2} +2 sqrt {3} +2 sqrt {6}]이다.

(2)

삼각형[eqn: ABC]의 중점을 [eqn: O]라 하면 삼각형[eqn: AOB]는 [eqn: bar{OA} `= bar{OB`} `=r]이고 각[eqn: AOB]가 [eqn: {2 pi } over {3}] 인 이등변삼각형이다. 선분 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: P _{0}]라 하면 삼각형[eqn: AOP _{0}]는 각[eqn: AOP _{0}]가 [eqn: {pi } over {3}], 각[eqn: OP _{0} A]가 [eqn: {pi } over {2}]  그리고 [eqn: bar{OA} =r]인 직각삼각형이다. 따라서 [eqn: bar{AB} `=`2 bar{OA} `sin {pi } over {3} = sqrt {3} r]이다.

삼각형[eqn: AA _{1} B]는 각[eqn: ABA _{1}]이 [eqn: {2 pi } over {3}]이고 [eqn: bar{AB} `=` bar{A _{1} B} `= sqrt {3} r]인 이등변삼각형이므로, 삼각형[eqn: AOB]와 닮은 삼각형이다. 따라서 [eqn: l _{1} `=` bar{AA _{1}} `=2 bar{AB} `sin {pi } over {3} =3r] 이다.

삼각형[eqn: A _{1} A _{2} C]는 각[eqn: A _{1} CA _{2}]가 [eqn: {2 pi } over {3}]이고 [eqn: bar{A _{1} C} `=` bar{A _{2} C} `=2 sqrt {3} r]인 이등변삼각형이므로, 삼각형[eqn: AOB]와 닮은 삼각형이다. 따라서 [eqn: l _{2} `=` bar{A _{1} A _{2}} `=2 bar{A _{1} C} `sin {pi } over {3} =6r] 이다.

삼각형[eqn: AA _{2} A _{3}]는 각[eqn: A _{2} AA _{3}]가 [eqn: {2 pi } over {3}]이고 [eqn: bar{AA _{2}} `=` bar{AA _{3}} `=3 sqrt {3} r]인 이등변삼각형이므로, 삼각형[eqn: AOB]와 닮은 삼각형이다. 따라서 [eqn: l _{3} `=` bar{A _{2} A _{3}} `=2 bar{AA _{3}} `sin {pi } over {3} =9r] 이고

[eqn: L _{3} =l _{1} +l _{2} +l _{3} =3r+6r+9r=18r]이다.

(3)

정 [eqn: n]각형 [eqn: A _{0} B _{1} B _{2} LDOTS B _{n-1}]의 중점을 [eqn: O]라 하면 삼각형[eqn: A _{0} B _{1} O]는 [eqn: bar{OA _{0}} = bar{OB _{1}} =r]이고 각[eqn: A _{0} OB _{1}]이 [eqn: {2 pi } over {n}] 인 이등변삼각형이다. 선분 [eqn: A _{0} B _{1}]의 중점을 [eqn: P _{0}]라 하면 삼각형[eqn: A _{0} OP _{0}]는 각[eqn: A _{0} OP _{0}]가 [eqn: {pi } over {n}],  각[eqn: OP _{0} A _{0}]가 [eqn: {pi } over {2}] 그리고 [eqn: bar{OA _{0}} =r]인 직각삼각형이다. 따라서 [eqn: bar{A _{0} B _{1}} `=`2 bar{OA _{0}} `sin {pi } over {n} =2r`sin {pi } over {n}] 이고 마찬가지로 [eqn: bar{B _{1} B _{2}} `=` CDOTS `= bar{B _{n-2} B _{n-1}} `=` bar{B _{n-1} A _{0}} `=`2r`sin {pi } over {n}] 이다. 여기서 [eqn: a=sin {pi } over {n} `]라 하면

[eqn: bar{A _{0} B _{1}} = bar{B _{1} B _{2}} `=` CDOTS `= bar{B _{n-2} B _{n-1}} `=` bar{B _{n-1} A _{0}} `=`2r`a]이다.

정[eqn: n]각형의 한 내각의 크기는 [eqn: {n-2} over {n} pi]이므로 삼각형[eqn: A _{0} A _{1} B _{1}]은 각[eqn: A _{0} B _{1} A _{1}]이 [eqn: {2 pi } over {n}]이고 [eqn: bar{A _{0} B _{1}} `=` bar{A _{1} B _{1}} `=2ra]인 이등변삼각형이다. 따라서 삼각형[eqn: A _{0} A _{1} B _{1}]은 삼각형[eqn: A _{0} B _{1} O]와 닮은 삼각형이다. 그러므로 [eqn: l _{1} `=` bar{A _{0} A _{1}} `=2 bar{A _{1} B _{1}} `sin {pi } over {n} =2 LEFT ( 2ra RIGHT ) `a] 이다.

삼각형[eqn: A _{1} A _{2} B _{2}]은 각[eqn: A _{1} B _{2} A _{2}]가 [eqn: {2 pi } over {n}]이고 [eqn: bar{A _{1} B _{2}} `=` bar{A _{2} B _{2}} `=2 LEFT ( 2ra RIGHT )]인 이등변삼각형이다. 따라서 삼각형[eqn: A _{1} A _{2} B _{2}]은 삼각형[eqn: A _{0} B _{1} O]와 닮은 삼각형이다. 그러므로 [eqn: l _{2} `=` bar{A _{1} A _{2}} `=2 bar{A _{2} B _{2}} `sin {pi } over {n} =2 LEFT ( 4ra RIGHT ) `a] 이다. 비슷한 방법으로 [eqn: k=3, LDOTS ,n]에 대하여, [eqn: l _{k}]는 두변의 길이가 [eqn: 2kra]이고 그 사잇각이 [eqn: {2 pi } over {n}]인 이등변삼각형의 나머지 한 변의 길이이므로 [eqn: l _{k} `=2 LEFT ( 2kra RIGHT ) `a]이다.

따라서 [eqn: L _{n} = sum _{k=1} ^{n} l _{k} = sum _{k=1} ^{n} 2 LEFT ( 2kra RIGHT ) a=2rn LEFT ( n+1 RIGHT ) a ^{2} `]이다.

(4) 반지름이 [eqn: r]인 원은 그에 내접하는 정 [eqn: n]각형으로 근사할 수 있으므로, 실의 끝점이 움직인 거리 [eqn: L]은 논제 (3)에서 [eqn: L _{n} `]의 [eqn: n]이 무한대로 갈 때의 극한

[eqn: L= lim _{n -> INF } {L _{n}} = lim _{n -> INF } {2rn LEFT ( n+1 RIGHT ) a ^{2}} = lim _{n -> INF } {2rn LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( sin {pi } over {n} RIGHT ) ^{2}} `]

이다.

또한 제시문 [다]에서 [eqn: lim _{theta -> 0} {` {sin theta } over {theta }} =1`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {2rn LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( sin {pi } over {n} RIGHT ) ^{2} =`2r pi ^{2} lim _{n -> INF } {LEFT { {n+1} over {n} LEFT ( {sin {pi } over {n}} over {{pi } over {n}} RIGHT ) ` LEFT ( {sin {pi } over {n}} over {{pi } over {n}} RIGHT ) ` RIGHT } `}}# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=2r pi ^{2} lim _{n -> INF } {{n+1} over {n} `} lim _{n -> INF } {LEFT ( {sin {pi } over {n}} over {{pi } over {n}} RIGHT )} lim _{n -> INF } {LEFT ( {sin {pi } over {n}} over {{pi } over {n}} RIGHT )}# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=`2r pi ^{2}]

이고, 따라서 [eqn: L=2r pi ^{2}]이다.

2018학년도 모의논술고사 예시답안 (자연계)

물리

[논제 II-1-(1)]

경사면을 기준으로 평행 방향 및 수직 방향을 각각 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 설정하면, 공은 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축 방향에 대해 모두 등가속도 직선 운동을 하게 된다. 공을 던진 뒤 [eqn: t]초 후 공의 위치 [eqn: x(t)] 및 [eqn: y(t)]를 계산하면,

[eqn: x]축 좌표 [eqn: x(t)=v`cos` theta `t+ {1} over {2} g`sin` theta `t ^{2} = {sqrt {3}} over {2} vt+ {g} over {4} t ^{2}]       (1)

[eqn: y]축 좌표 [eqn: y(t)=v`sin` theta `t- {1} over {2} g`cos` theta `t ^{2} = {1} over {2} vt- {sqrt {3}} over {4} gt ^{2}]       (2)

[논제 II-1-(2)]

물체는 경사면에서 [eqn: y] 방향으로 등가속도 운동을 하므로 [eqn: y]축 방향의 속도 [eqn: v _{y`} =vsin theta -gcos theta t]가 되고, 최고점에서 [eqn: v _{y} =0]이므로, 최고점까지 도달하는 시간 [eqn: t _{h} = {vsin theta } over {gcos theta }]이 된다. 따라서 [eqn: t _{h}]를 식(2)에 대입하여 최고점 높이 [eqn: h]를 구하면,

[eqn: h=`vsin theta LEFT ( {vsin theta } over {gcos theta } RIGHT ) `-` {1} over {2} gcos theta LEFT ( {vsin theta } over {gcos theta } RIGHT ) ^{2} = {v ^{2} sin ^{2} theta } over {2gcos theta } = {sqrt {3} v ^{2}} over {12g}]

[논제 II-1-(3)]

공이 경사면에 떨어졌을 때 초기 위치부터 떨어진 거리 [eqn: d]를 구하기 위해 [eqn: S _{y}]가 0이 될 때의 시각 [eqn: t]를 구한다.

식(2)으로부터 [eqn: S _{y} =0]일 때의 시각 [eqn: t= {2v`sin` theta } over {g`cos` theta }]

따라서 [eqn: d=S _{x} (t= {2v`sin` theta } over {g`cos` theta } )= {2v ^{2`} `sin` theta } over {g} (1+tan ^{2} ` theta )]

문제에서 [eqn: theta =30 DEG]이므로, [eqn: d= {4v ^{2}} over {3g}]

[논제 II-1-(4)]

답안에서 설정한 좌표계에서 사람이 경사면을 미끄러진 뒤 [eqn: t]초 후의 위치 [eqn: (P _{x} ,`P _{y} )]를 계산하면,

[eqn: x]축 위치 [eqn: P _{x} = {1} over {2} g`sin` theta `t ^{2}]       (3)

[eqn: y]축 위치 [eqn: P _{y} =0]               (4)

(1)과 (3)을 비교하면, 경사면의 각도 [eqn: theta ( != 90 DEG )] 및 시각에 관계없이 [eqn: S _{x} >P _{x}]이므로 사람이 공을 잡는 것은 불가능하다. ([eqn: x]축 방향의 가속도가 같은 상황에서 공의 경우 [eqn: x]축 방향으로 초기 속력이 더해지므로 사람은 공을 잡을 수 없다.)

[논제 II-1]

용기 내 액체의 수면과 관의 가장 위쪽(1번 위치)과 아래쪽 끝(2번 위치)에 대해 베르누이 법칙을 각각 적용하면, (여기서, [eqn: P _{1}]은 1번 위치에서의 액체의 압력, [eqn: v]는 액체의 속력이다.)

[eqn: P+ rho gh _{2} =P _{1} + rho g(h _{1} +h _{2} )+ {1} over {2} rho v ^{2} =P+ {1} over {2} rho v ^{2}]       (5)

[논제 II-1-(1)]

관의 아래쪽 끝에서 흘러나오는 액체의 속력 [eqn: v]는 식(5)로부터

[eqn: rho gh _{2} = {1} over {2} rho v ^{2}] 이므로, 따라서 [eqn: v= sqrt {2gh _{2}}]이다.

[논제 II-1-(2)]

관의 아래쪽 끝에서 물이 흘러나올 수 있기 위한 높이 [eqn: h _{1}]는 식(5)로부터

[eqn: P _{1} =P- rho gh _{1} - {1} over {2} rho v ^{2} =P- rho gh _{1} - rho gh _{2} GEQ 0]를 만족해야 하므로,

따라서 최대 높이 [eqn: h _{1} = {P} over {rho g} -h _{2}]이다.

[논제 II-1-(3)]

[eqn: h _{2}]가 커지면 관을 통해 빠져나오는 액체의 속력이 커져 단위 시간 당 더 많은 양의 액체를 아래로 빼낼 수 있다. 하지만 구부러진 관에서 액체를 퍼 올릴 수 있는 최대 높이가 낮아져 용기 깊숙이 담겨있는 액체를 퍼낼 수 없다.

2018학년도 모의논술고사 예시답안 (자연계)

화학

[논제 II-1]

<논제 II-1> (20점)

(1) (8점)

쌓음 원리, 파울리 배타원리와 훈트 규칙에 의해  7N와 8O의 바닥상태 전자 배치는 다음과 같다.

이때, N과 O는 모두 같은 2주기 원소이고, N의 양성자수는 7개인 반면, O의 양성자수는 8개이므로 N의 경우 유효 핵전하가 작다. 즉 핵이 전자에 미치는 인력이 작게 되므로 원자 반지름은 N의 경우가 크다.

(2) (6점)

이온화 에너지의 경우, 전자를 1개 제거 할 때의 에너지로, 상기의 전자배치로부터 N의 경우에는 짝짓지 않은 상대적으로 안정한 전자를 제거하는 반면, O의 경우에는 상대적으로 불안정한 짝지은 전자를 제거하게 되므로 N대비 쉽게 이온화가 되어 이온화 에너지가 작다. 따라서 N가 더 큰 이온화 에너지를 갖게 된다.

(3) (6점)

7N3-와 11Na+는 모두 10개의 전자를 갖는 이온들이다. 그런데 N3-에는 양성자가 7개가 있고, Na+에는 양성자 11개가 있다. 따라서, N3-의 경우에는 유효 핵전하가 작게 되어, 핵이 전자에 미치는 인력이 작게 되므로, N3-의 이온 반지름이 더 크다.

[논제 II-2]

<논제 II-2> (20점)

(1) (8점)

철광석(Fe2O3)과 코크스(C)의 철광석과 화학 반응은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

2Fe2O3(s) + 3C(s) →  4Fe(s) + 3CO2(g)

또는

2C(s) + O2(g) → 2CO(g)

Fe2O3(s) + 3CO(g)  → 2Fe(s) +3CO2(g)

위 반응에서 철광석은 산소를 잃고 철(Fe)이 되면서 환원되고 탄소는 산소와 결합하여 이산화탄소가 되면서 산화된다.

산화수 개념을 이용하여 산화-환원 반응을 설명하면 철의 산화수는 +3에서 0으로 감소하면서 환원되고 탄소의 산화수는 0에서 +4 (또는 0 → +2 → +4)로 증가하면서 산화된다.

반면에 석회석은 철광석에 포함된 불순물과 반응하여 슬래그를 형성하면서 불순물을 제거한다.

(2) (8점)

NO, NO2, NH3가 반응하면서 질소와 물이 생성되는 반응식은 다음과 같다.

NO(g) + NO2(g) + 2NH3(g)  ⇄  2N2(g)+ 3H2O(g)

NO와 NO2는 산소를 잃고 N2(g)가 되면서 환원된다.

반응 전 NO, NO2, NH3에 있는 N의 산화수는 각각 +2, +4, -3이다. 반응 후 N의 산화수는 0이다.

따라서 NO와 NO2는 환원되고 NH3는 산화된다.

반면에 반응 전후 산소와 수소의 산화수는 각각 –2, +1로 일정하다. 따라서 질소만 산화-환원 반응에 참여한다.

(3) (4점)

H2O2에서 수소의 산화수는 +1이고 전체 산화수 합은 0이어야 하므로 산소의 산화수는 –1이 된다.

OF2에서 플루오린 (F)의 전기음성도는 산소보다 더 크다. 따라서 플루오린의 산화수가 –1이고 산소의 산화수는 +2가 된다.

2018학년도 모의논술고사 예시답안 (자연계)

생명과학

1. 각각의 대립 유전자쌍이 서로 독립적으로 행동하므로 이 사성잡종 교배를 네 개의 각기 다른 단성잡종 교배로 생각할 수 있다.

Aa x Aa: aa가 태어날 확률 = 1/4 (1/2 x 1/2)

Bb x Bb: bb가 태어날 확률 = 1/4

Cc x Cc: cc가 태어날 확률 = 1/4

Dd x Dd: dd가 태어날 확률 = 1/4

따라서 각 대립유전자 쌍이 분리되는 현상은 서로 독립적으로 일어나므로 자손이 aabbccdd일 확률은 1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4= 1/256이다.

각각의 대립 유전자쌍이 이형접합인 자손을 만드는 방법은 두 가지가 있다. 즉, A 대립유전자는 난자에서, a 대립유전자는 정자에서 오는 경우가 있을 수 있고 그와 반대인 경우도 가능하다. 따라서 이형접합자가 나올 확률은 (1/2 x 1/2) + (1/2 x 1/2) = 1/2이다. 각각의 대립 유전자쌍은 서로 독립적으로 행동하므로 이 사성잡종 교배를 네 개의 각기 다른 단성잡종 교배로 생각할 수 있다. 따라서 각 대립유전자 쌍이 분리되는 현상은 서로 독립적으로 일어나므로, 자손이  AaBbCcDd일 확률은 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2= 1/16이다.

2. 잡종 1대에서 생식 세포의 유전자형이 ABCD, ABCd, abcD, abcd인 4종류의 생식세포가 같은 비율로 형성되었으므로, 유전자형이 ABC와 abc는 각각 연관되어 유전됨을 알 수 있다. 따라서 2유전자 쌍의 독립의 법칙과 동일하게 유전됨을 알 수 있다. 이 교배 결과에서 태어날 자손이 네 가지 유전자 모두에 대해서 열성인 동형접합(aabbccdd)은 1/16이며, 이형접합(AaBbCcDd)을 갖게 될 확률은 1/4 (= 4/16)이다. (10점)

3. 식물 Y는 가을에 개화하므로 일조 시간이 짧아지면 꽃이 피는 단일 식물이다. 따라서 식물 Y의 재배 동안에 밤 동안에 전등을 켜서 빛이 비치는 시간을 적절하게 늘려주면 일조 시간이 늘어나게 된다. 이로 인하여 식물 Y가 꽃 피는 시기가 지연되며, 이듬해 봄에 꽃이 피도록 할 수 있다.