2015학년도 논술고사 예시답안(자연계II)

논제 I-수학

[논제 I-1]

[eqn: n]번째 단계에서 물의 양은 다음 점화식으로 표현될 수 있다.

[eqn: V_1 =1], [eqn: V_{n+1}=V_n - 1 over4 V_n^{```2}+1 ```(n ge 1)]

명제 [eqn: 0<V_n <2]가 모든 [eqn: n]에 대하여 성립함을 보이자.

[eqn: n=1]일 때, [eqn: V_1 =1]이므로 만족한다.

[eqn: n=k]일 때,  [eqn: 0<V_k <2]가 성립한다고 가정하면,

[eqn: V_{k+1}=V_k - 1 over4 V_k^{```2} +1]에서 [eqn: V_{k+1}=- 1 over4 (V_k -2)^2 + 2]이고

[eqn: 0<V_k <2]이므로 [eqn: 1< -{1} over {4} (V _{k} -2) ^{2} +2<2]이다.

그러므로 [eqn: 0 < V_{k+1} <2]이고 [eqn: n=k+1]일 때 명제가 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0<V_n <2`]이 성립한다.

[논제 I-2]

임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: V_{n+1} > V_n`]임을 보이자.

[eqn: V_{n+1}-V_n = - 1 over4 V_n^{```2}+1`]이고 [논제 I-1]의 결과로부터

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 0<V_n <2`]이다.

이를 이용하면 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: - 1 over4 V_n^{```2} +1 >0`]이므로 [eqn: V_{n+1} - V_n >0`]이다.

따라서 용기에 담긴 물의 양 [eqn: V_n]은 [eqn: n`]이 커짐에 따라 증가한다.

[논제 I-3]

점화식 [eqn: V_{n+1}=V_n - 1 over4 V_n^{```2} +1`]을 [eqn: 2-V_{n+1} = {1}over{4} (2-V_n )^2`]로 변형한다.

여기서 [eqn: a_n = 2-V_n]이라고 두면 [eqn: a_{n+1} = 1 over4 a_n^{```2]이다.

[논제I-1]의 결과로부터 모든 [eqn: n ge 1]에 관하여 [eqn: a_n >0]이다.

따라서 등식 [eqn: a_{n+1} = 1 over4 a_n^{```2]의 양변에 [eqn: log_2]를 취하면, [eqn: log_2 `` a_n+1 = -2 + 2 log_2```a_n]이다.

이때, [eqn: b_n = log_2 `` a_n]으로 두면 [eqn: b_{n+1} -2 = 2 ( b_n - 2 )]이므로

수열 [eqn: \{ it b_n -2 \}]는 공비가 2이고 초항이 [eqn: b_1 -2=-2]인 등비수열이다.

즉, [eqn: b_n - 2 = (-2) cdot 2^{n-1}=-2^{n}]이고 [eqn: a_n = 2^ b_n = 2^{2-2^n}]이다.

따라서 [eqn: V_n = 2-a_n = 2-2^{2-2^n}]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {V_n}=2]이다.

[논제 I-4]

원기둥의 밑면의 반지름을 [eqn: r], 원기둥의 높이를 [eqn: h]라 하자.

물이 넘치지 않게 최소의 겉넓이를 가지도록 용기를 만들려면,

아래 두 조건을 만족하는

[eqn: theta], [eqn: h], [eqn: r] 중 용기의 겉넓이가 최소가 되는 값을 찾으면 된다.

조건 1. [eqn: tan ``theta = 2r over h]

조건 2. [eqn: 1 over 2 TIMES 원기둥의~부피=2]

[eqn: 1 over2 pi r^2 h = 2], [eqn: tan ``theta = 2r over h], 그리고 용기의 겉넓이는 [eqn: f= pi r^2 + pi r h] 이다.

[eqn: 1 over2 pi r^2 h = 2]를 이용하면, [eqn: h= 4 over {pi r^2]이므로 [eqn: f=pi r^2 + 4 overr]이다.

[eqn: f]는 [eqn: r]에 관한 함수이고 [eqn: r>0]에서 미분가능하므로, [eqn: f{`'}(r)={2 pi} over r^{2} LEFT(r^3 - 2 overpi RIGHT )] 이다.

미분의 결과로서 [eqn: r>0]인 구간에서 [eqn: f(r)]은 [eqn: r= root {3} of { 2 overpi}]에서 최댓값을 가진다.

이때, [eqn: h= {4} over {pi r^2} =2 root {3} of {2 over pi}]이고, [eqn: tan ``theta = 2r over h =1]이다.

용기를 물로 가득 채웠을 때 용기의 밑면은 물의 표면의 정사영이 되므로,

두 넓이는 [eqn: S_0 = S `` cos LEFT( pi over 2 - thetaRIGHT) = S ``sin` theta]를 만족한다.

따라서 [eqn: S over S_0 = 1 over {sin` theta} = sqrt2]이고 두 넓이의 비와 가장 가까운 자연수는 1이다.

2015학년도 논술고사 예시답안(자연계II)

논제 II-과학-물리

[논제 II-1]

(1) 상자가 이동하여 용수철과 충돌하면서 상자의 운동에너지가 용수철의 위치에너지로 변환이 되므로, [eqn: K _{상자} = {1} over {2} m _{상자} v _{상자} ^{2} = {1} over {2} TIMES 1(kg) TIMES (2(m/s)) ^{2} = {1} over {2} kx ^{2} = {1} over {2} TIMES 4(N/m) TIMES x ^{2} =2(J)]로 주어진다.

여기서 용수철의 변위의 크기 [eqn: x=1(m)]를 얻게 된다.

상자가 용수철과 충돌한 후 순간속도가 0이 되는 데 걸리는 시간(t충돌후)은 상자가 용수철에 작용할 때의 1/4 주기에 해당하므로,

[eqn: t _{충돌후} = {T} over {4} = {2 pi } over {4} sqrt {{m _{상자}} over {k}} = {2 TIMES 3} over {4} sqrt {{1(kg)} over {4(N/m)}} = {3} over {4} (s)]로 주어진다.

평균 속도는 [eqn: v _{평균} = {s _{충돌전} +s _{출동후}} over {t _{충돌전} +t _{충돌후}} = {s _{충돌전} +x} over {s _{충돌전} /v _{충돌전} +T/4} = {2+1} over {1+3/4} = {12} over {7} (m/s)]를 얻게 된다.

(2) 상자가 갑자기 정지할 경우 상자와 함께 등속도 운동하고 있는 추는 단진자 운동을 하게 된다. 이 단진자 운동에서 추가 최고높이에 도달하는 순간, 추의 위치에너지는 상자가 정지하기 전 추의 운동에너지와 같다.

즉,  [eqn: U _{추} =mgh=K _{추} = {1} over {2} mv ^{2} =1(kg) TIMES 10(m/s ^{2} ) TIMES 0.1(m)= {1} over {2} TIMES 1(kg) TIMES v ^{2} =1(J)]로부터

상자의 속도 [eqn: v= sqrt {2} (m/s)]임을 알 수 있다.

또한, 단진자의 주기를 [eqn: 3]초로 만들기 위해서는 [eqn: T=2 pi sqrt {{l} over {g}} =2 TIMES 3 TIMES sqrt {{l} over {10}} =3(s)]으로부터 [eqn: l``=`` rm 2.5`m it]을 얻을 수 있다. 즉, 단진자의 실의 길이 [eqn: 2.5(m)]로 두면 된다.

[논제 II-2]

(1) 평행판 축전기의 전기 용량은 [eqn: epsilon _{0} TIMES {S`(축전기`의`면적)} over {d(전극판`사이의`거리)}] 이므로 전극판 사이의 거리를 3배로 증가 시키면 축전기의 전기 용량은 [eqn: {1} over {3} C] 이다. 따라서 병렬 연결된 두 축전기의 전체 전기 용량은 [eqn: C+ {1} over {3} C= {4} over {3} C] 이다. 두 축전기에 충전된 전체 전하량 [eqn: 2Q= {4} over {3} CV] 이므로 [eqn: V= {3Q} over {2C}] 이다.

두 축전기를 도선으로 연결시킨 후의 전기 에너지 [eqn: U`=` {1} over {2} ( {4} over {3} C)V ^{2} = {1} over {2} ( {4} over {3} C) TIMES ( {9Q ^{2}} over {4C ^{2}} )=` {3} over {2} {Q ^{2}} over {C}]   이다.

초기 두 축전기의 전기 에너지 [eqn: U _{0} =`2 TIMES ( {Q ^{2}} over {2C} )= {Q ^{2}} over {C}] 이다.

그러므로 필요한 일 [eqn: W=U-U _{0} = {3Q ^{2}} over {2C} - {Q ^{2}} over {C} = {1} over {2} {Q ^{2}} over {C}] 이다.

(2) 가변저항이 R일 때, 직렬 연결된 저항값이 같으므로 각 저항에 4V의 전압이 걸린다. 이 때 병렬로 연결된 축전기에도 같은 전압이 걸리게 되므로 축전기 A, B에 각각 4V씩 전압이 걸린다. 따라서 축전기 A에 충전된 전하량 [eqn: Q _{A} =30 TIMES 10 ^{-6} rm `F TIMES 4`V=1.2 TIMES 10 ^{-4} `C]  이고 축전기 B에 충전된 전하량 [eqn: Q _{B} =40 TIMES 10 ^{-6} ` rm F TIMES 4`V=1.6 TIMES 10 ^{-4} `C]이다.

가변저항이 3R일 때, 직렬 연결된 저항의 비가 1:3이 되어 R과 3R인 저항에 각각 2V와 6V의 전압이 걸리게 되므로 축전기 A에는 2V의 전압이 걸리고 축전기 B에는 6V의 전압이 걸린다. 따라서 축전기 A에 저장된 전기 에너지 [eqn: U_{A} = {1} over {2} TIMES 30 TIMES 10 ^{-6} rm `F TIMES (2 rm `V) ^{2} =6 TIMES 10 ^{-5} `J`(=60` mu J)]이고 축전기 B에 저장된 전기 에너지 [eqn: U _{B} = {1} over {2} TIMES 40 TIMES 10 ^{-6} ` rm F TIMES (6` rm V) ^{2} =7.2 TIMES 10 ^{-4} `J`(=`720`` mu J)]이다.

2015학년도 논술고사 예시답안(자연계II)

논제 II-과학-화학

[논제 II-1]

(1) 전자쌍 반발 원리를 고려하면 공유 결합 전자 간 반발을 최소화하기 위하여, C를 중심으로 하는 사면체 구조 (결합각 ~109.5°)를 갖고, 양쪽 말단의 ―OH는 두 쌍의 비공유 전자쌍과 두 쌍의 공유 전자쌍 간 반발을 최소화하기 위하여 O를 중심으로 굽은형 구조 (결합각 ~104.5°)를 이루어 입체적인 구조를 이루게 된다.

O의 높은 전기 음성도로 인하여 C―O 간 극성 공유 결합이 있지만, 에틸렌 글라이콜 분자의 ―OH가 대칭으로 배치된 구조이므로 분자 내 쌍극자 모멘트의 합이 0이 되므로 에틸렌 글라이콜은 무극성 분자이다.

(2) 에틸렌 글라이콜 분자는 전기 음성도가 큰 O와 결합된 H가 있어서 물 분자와 수소 결합이 가능한 분자이다. 따라서 에틸렌 글라이콜 분자는 물 분자와 수소 결합을 형성하여, 물 분자 간의 인력을 방해하므로 얼음의 육각고리 구조 형성을 막아주어 냉각수의 어는점을 낮추는 효과를 준다.

[논제 II-2]

(1) 환원 반쪽 반응의 금속 원소의 산화수 변화는 다음과 같다.

[eqn: bold{rm Ag}]: +1 → 0, [eqn: bold{rm Au it}]: +3 → 0, [eqn: bold{rm Pd it}]: +2 → 0

그림과 같은 반응이 일어나려면 금속 은 입자는 산화되고, 금속 [eqn: bold{rm M] 이온은 환원 되어야 한다. 따라서 [eqn: bold{rm Ag rm ^{+}}]의 표준 환원 전위보다 높은 표준 환원 전위를 갖는 금속 [eqn: bold{rm M] 이온에 금속 은 입자를 넣어주어야 한다. [eqn: bold{rm Ag rm ^{+}}]의 표준 환원 전위 ([eqn: bold{rm 0.80``V it}]) < [eqn: bold{rm AuCl _{4} rm ^{ -}}] 의 표준 환원 전위 ([eqn: bold{rm 0.99``V it}]).

따라서 금속 은 입자는 산화되어 [eqn: bold{rm Ag rm ^{+}}]이 되는 동시에, [eqn: bold{rm AuCl _{4} rm ^{ -}}]([eqn: bold{rm Au rm ^{3+} it}])은 환원되어 [eqn: bold{rm Au it}] 금속이 될 것이다.

(2) 반응에 참여하는 금속 원소의 환원 반쪽 반응은 다음과 같다.

[eqn: bold{rmAg ^{`+} ( it aq)`+`e ^{`-} ``` -> ``` rm Ag( it s)}]

[eqn: bold{rm AuCl _{4} ^{`-} (it aq)`+`3e^{`-} ``` -> ``` rm Au(it s)`+` rm 4Cl it ^{`-} (itaq)]

산화-환원 반응에서 산화되는 물질이 잃는 전자의 수는 환원되는 물질이 받는 전자의 수와 같아야 함을 고려하여 두 반쪽 전지 반응을 결합하면, 아래와 같은 화학 반응식을 얻을 수 있다.

[eqn: bold{rm 3Ag( it s)`+` rm AuCl _{4} ^{``-} ( it aq)```` -> ``` rm Au( it s)`+` rm 3Ag ^{+} ( it aq)`+` rm 4Cl ^{-} ( it aq)]

반응 시간의 경과에 따른 입자의 모양의 변화는 다음과 같다.

초기) 금속 은 입자가 [eqn: bold{rm AuCl _{4} rm ^{ -}}] 용액에 담가지면 금속 은 입자는 서서히 산화되어 [eqn: bold{rm Ag rm ^{+}}]으로 됨과 동시에, [eqn: bold{rm AuCl _{4} rm ^{ -}}]([eqn: bold{rm Au rm ^{3+} it}])은 환원되어 금속 은 입자 표면에 [eqn: bold{rm Au it}] 금속 막을 형성하기 시작한다.

중기) 반응이 더욱 진행되면서 금속 은 입자의 산화(부식)는 더욱 심하게 진행되고, [eqn: bold{rm AuCl _{4} rm ^{ -}}]([eqn: bold{rm Au rm ^{3+} it}])의 환원은 계속 진행되어 [eqn: bold{rm Au it}] 금속 막은 더욱 두꺼워진다.

최종) 최종적으로 매우 작은 금속 은 입자는 모두 산화되어 소모되고, 내부가 비어있는 [eqn: bold{rm Au it}] 금속 입자가 만들어진다.

2015학년도 논술고사 예시답안(자연계II)

논제 II-과학-생명과학

[논제 II-1]

(1) 광합성에서 태양의 빛에너지가 포도당의 화학 에너지로 전환되는 과정과, 세포 호흡에서 포도당의 화학 에너지가 ATP의 화학 에너지로 저장되는 과정을 산화-환원 반응의 관점에서 논술하시오. (15점)

광합성 과정에서 태양의 빛에너지에 의하여 물은 산화되어 산소를 생성하고, 물에서 나온 전자는 높은 에너지 궤도의 준위로 도약한 후, 전자 전달계를 거쳐 ATP를 생성하는 한편, NADP+를 환원시켜 전자 전달체인 NADPH를 생성한다. 이어서 NADPH는 ATP와 함께 이산화탄소를 고정 및 환원하여 포도당을 생성한다. 특히, 엽록체의 틸라코이드 막에 존재하는 전자 전달계를 따라 전자가 단계적으로 내려가면서 산화-환원 반응으로 전달될 때 나오는 에너지는 막안팍에서 H+의 농도 기울기로 변환되어 저장되었다가 다시 ATP의 화학 에너지로 저장된다.

세포 호흡은 이러한 화학 에너지를 가진 포도당을 해당 과정, 피루브산 산화, TCA 회로를 차례로 통과시키면서 이산화 탄소로 산화시키고 ATP를 생성하는 한편, 빼어낸 전자로 NAD+와 FAD를 환원시켜 각각 전자 전달체인 NADH와 FADH2를 생성한다. 이어서 NADH와 FADH2의 전자가 전자 전달계를 거친 후 마지막으로 산소를 환원시켜 물을 생성시킨다. 특히, 미토콘드리아의 내막에 존재하는 전자 전달계를 따라 전자가 단계적으로 내려가면서 산화-환원 반응으로 전달될 때 나오는 에너지는 막안팍에서 H+의 농도 기울기로 변환되어 저장되었다가 다시 ATP의 화학 에너지로 저장된다.

(2) 광합성에서 발생하는 산소가 이산화 탄소가 아니라 물에서 유래한다는 것을 확인할 수 있는 실험 방법을 제시하고 논술하시오. (5점)

(실험 1)	분리한 엽록체에 옥살산철(III)을 넣고 시험관 내의 공기를 빼낸 다음 빛을 비추어, 산소가 발생하고 옥살산철(III)이 옥살산철(II)로 환원됨을 관찰하는 실험을 수행한다.

(실험 2) 산소의 동위 원소인 18O로 표지된 물(H218O)과 정상의 이산화 탄소(CO2)를 광합성 식물에 공급하고 빛을 쬔 후 발생하는 산소에는 18O 동위원소가 존재함을 확인하고, 18O으로 표지된 이산화탄소(C18O2)와 정상의 물(H2O)을 공급하고 같은 실험을 반복한 실험에서 발생하는 산소에는 18O 동위원소가 존재하지 않음을 확인한다.

[논제 II-2]

(1) 발효에서 ATP를 계속 얻기 위하여 선택한 산화-환원 반응의 전략을 전자 공여체 및 전자 수용체의 관점에서 논술하시오. (10점)

해당 과정에서 생성된 NADH가 전자를 잃으면서 전자 공여체로 작용하는 산화 반응과 해당 과정에서 생성된 내부의 피루브산 또는 피루브산 대사물이 전자를 받는 전자 수용체로 작용하는 환원 반응이 서로 산화-환원 짝을 이루도록 한다. 이러한 산화-환원 짝 반응에서 전자 수용체인 NAD+가 재생되고 NADH와 피루브산은 제거(예; 젖산, 에탄올이 생성되고 분비)됨으로써 해당 반응이 계속 진행될 수 있다.

(2) 효소가 관여하는 생명체 내의 화학 반응은 온도, pH 등의 환경 조건이 최적일 때 가장 효과적으로 일어난다. 이러한 조건이 변하면 효소에 의한 화학 반응이 효과적으로 일어나지 못하는 이유에 대하여 논술하시오. (10점)

효소와 반응물들은 온도, pH 등의 환경 조건이 변하면 구조 또는 전하에서 변화를 겪게 된다. 더욱이 효소는 단백질이기 때문에 이러한 조건이 과도하게 변화면 효소의 구조는 결국 완전히 변성되고 효소 활성은 사라지게 된다. 또한, 효소와 반응 분자들의 운동성과 용해도에도 변화를 줌으로써 효소 반응의 효율성에 영향을 주게 된다. 반응 분자들과의 결합이 이뤄져서 화학 반응이 실제로 일어나는 효소의 활성 부위(active site)에서는 이러한 환경 조건의 변화가 더욱더 예민하게 영향을 주게 된다. 따라서 이 활성 부위에서 구조, 전하, 운동성이 변하면 효소와 반응물들 간의 결합에 더욱더 많은 영향을 주어서 효소의 활성을 현저히 떨어뜨리게 된다.