2014학년도

모의논술고사 해설지

(자연계)

[ 교사용 ]

경 희 대 학 교

논술문제 해설지(자연계) - 출제개요

■ 출제 개요

2014학년도 경희대학교 모의논술고사는 자연계 고교 교과과목의 수학과 과학과목의 기본 개념들에 대한 이해도와 응용력에 기반하여, 통합적 사고틀 안에서 학생들의 창의력, 이해능력, 논리적 사고능력과 해석력 그리고 설명능력을 측정할 수 있도록 출제되었다. 따라서 고등학교 교과 교육을 충실히 이수한 학생이라면 누구든지 풀 수 있는 문제들로 구성하였지만 단순한 암기능력을 검사하는 것은 피하였다.

<논제 I> 에서는 역사적으로 잘 알려진 수학적 대상을 소개하고, 교과과정에서 학습한 내용을 적용하여 그 대상의 특성을 스스로 유도하는 과정을 서술하게 하고 수학적 특성을 발견하도록 하였다. 이를 이용하여 첫 번째 논제에서 유도한 타원 공식과 두 번째 논제에서 찾은 타원의 특성을 함께 이용하여 서술하는 것으로 이전 두 논제의 내용을 얼마나 잘 이해하고 활용할 수 있는지를 파악할 수 있도록 출제하였다.

<논제 Ⅱ> 에서는 제시문의 기본개념들을 이해하고, 뉴턴의 제2법칙과 역학적 에너지 및 에너지 보존의 법칙, 에너지의 변환 등을 이해하고 이용하여 논리적으로 설명할 수 있는지 평가하고자 하였다. 또한 완충용액에 대한 종합적인 사고능력과 혈액 내 완충용액의 생리적 기능에 대한 이해를 묻고자 하였으며, 마지막으로 인간의 건강증진을 위한 각종 질환 검사를 위해 이미 실용화되어 활용되고 있는 대표적인 유전자검사 과정인 중합효소연쇄반응법에 대한 이해와 실질적인 활용에 대한 응용력을 평가하고자 하였다.

[제시문 출처]

<논제 I>

제시문 [가]: 고등학교 기하와 벡터 (좋은책 신사고 2011)

제시문 [나]: C. Stanley Ogilvy, "Excursions in Geometry", Dover Publications,

December 1, 1990

<논제 Ⅱ>

제시문 [가]: 고등학교 물리I (교학사)

제시문 [나]: 자체 출제

제시문 [다]: 고등학교 화학Ⅱ (천재교육)

제시문 [라]: 고등학교 화학Ⅱ (천재교육),

(Structure and Function of the Body, Thibodeau & Patton, Chapter 19)

제시문 [마]: 고등학교 화학Ⅱ (천재교육)

제시문 [바]: (EBS수능특강 생명과학Ⅱ, Principle of Biochemistry, Voet, Voet & Pratt, p.189)

제시문 [사]: 자체 출제

제시문 [아]: 국립보건연구원 희귀난치병질환센터 교육자료#39

제시문 [자]: 자체 출제

논술문제 해설지(자연계) - 예시답안

<논제 Ⅰ>

<논제 I-1>

[eqn: n]이 증가할수록 각 다각형의 넓이가 원과 타원의 넓이에 수렴하므로 원과 타원의 넓이비는 원에 내접하는 정[eqn: 2n]각형의 넓이와 타원에 내접하는 [eqn: 2n]각형의 넓이비와 같다.

각각의 [eqn: 2n]각형은 제시문 [가]의 그림처럼 [eqn: 2]개의 삼각형과 [eqn: n-2]개의 사다리꼴로 나눌 수 있다.

이 때, 각각의 대응되는 삼각형과 사다리꼴들은 높이가 같다.

따라서 삼각형의 넓이비는 밑변의 길이비와 같다.

[eqn: TRIANGLE GHF``: TRIANGLE GH` prime F`` prime = bar{HF``} : bar{H` prime F`` prime }]

[eqn: H`]와 [eqn: H`']의 [eqn: x]좌표를 [eqn: h]라고 할 때, [eqn: y]좌표는 각각 [eqn: sqrt {a ^{2} -h ^{2}}], [eqn: LEFT | {b} over {a} RIGHT | sqrt {a ^{2} -h ^{2}}]이다.

따라서 [eqn: TRIANGLE GHF``: TRIANGLE GH` prime F`` prime = bar{HF``} : bar{H` prime F`` prime } =a:b]이다.

사다리꼴[eqn: AHFE`]와 사다리꼴[eqn: A'H`'F``'E``'`]의 경우도 마찬가지로 밑변과 윗변의 길이비가

모두 [eqn: a:b]이므로 넓이비도 [eqn: a:b]이다.

그러므로 원에 내접하는 정[eqn: 2n]각형의 넓이와 타원에 내접하는 [eqn: 2n]각형의 넓이비가 [eqn: a:b]가 되며,

원과 타원의 넓이비도 [eqn: a:b]이므로, 타원의 넓이는 [eqn: pi a ^{2} TIMES {b} over {a} = pi ab]이다.

<논제 I-2>

큰 원과 작은 원의 반지름을 각각 [eqn: R]과 [eqn: r]이라 하고, 파푸스 체인의 원[eqn: O _{k}]의 반지름을 [eqn: x _{k}]라고 하자. 원[eqn: O _{k}]는 작은 원과 외접하고, 큰 원에 내접하므로, 작은 원과 원[eqn: O _{k}]의 중심거리는 [eqn: r+x _{k}]이고, 큰 원과 원[eqn: O _{k}]의 중심거리는 [eqn: R-x _{k}]이다.

이 두 중심거리의 합 [eqn: (R-x _{k} )+(r+x _{k} )=R+r]은 모든 원[eqn: O _{k}]에 대하여 일정하므로,

원[eqn: O _{k}]의 중심에서 작은 원의 중심과 큰 원의 중심에 이르는 거리의 합이 모든 [eqn: k]에 대하여 같다고 할 수 있다.

따라서 타원의 정의에 의하여 원[eqn: O _{k}]의 중심은 작은 원의 중심과 큰 원의 중심을 초점으로 갖는 타원 위에 있다.

큰 원과 작은 원의 중심거리는 [eqn: R-r]이므로,

장축의 길이는 [eqn: 2 LEFT ( {R+r} over {2} RIGHT ) =R+r]이고, 단축의 길이는 [eqn: 2 sqrt {LEFT ( {R+r} over {2} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {R-r} over {2} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {Rr}]이다.

<논제 I-3>

[eqn: R=12], [eqn: r=8]이므로 장축의 길이는 [eqn: 20]이고, 단축의 길이는 [eqn: 8 sqrt {6}]이다.

따라서 타원의 넓이는 [eqn: pi TIMES 10 TIMES 4 sqrt {6} = LEFT ( 40 sqrt {6} RIGHT ) pi `]이다.

논술문제 해설지(자연계) - 예시답안

<논제 Ⅱ-1>

(1) 잠수함이 등속운동을 할 때 추진력의 크기와 물에 의한 저항력의 크기가 같아야 한다.

따라서 추진력의 크기는

[eqn: F=Bv=1000`Ns/m TIMES `5m/s=5000N````]

와 같고 추진력에 의한 일률은 다음과 같다.

[eqn: P _{추진} =Fv=Bv ^{2} =5000`N` TIMES 5`m/s=25kW].

열 명의 승무원을 위한 산소공급기를 작동하는데 필요한 전기 에너지의 일률은

[eqn: P _{산소공급} =10 TIMES 1`kW=`10`kW]

와 같고 발전기의 효율이 20%이므로 산소공급기에 일률을 공급하기 위해 발전기에 공급해야 할 일률은 다음과 같다.

[eqn: P _{발전} =10`kW` TIMES {1} over {0.2} =50kW]

따라서 잠수함의 추진과 산소공급기의 작동을 위해 엔진으로 부터 공급되는 총 일률은

[eqn: P _{총합} =P _{추진} +P _{발전} =25`kW+50kW=75kW]

와 같다.

(2) 총 일률이 잠수함의 추진에만 사용된다면 다음의 추진 일률 [eqn: P _{추진``}]

[eqn: P _{추진} =Fv=Bv ^{2}]

와 [eqn: P _{총합}]인 [eqn: 75kW`]가 같으므로

[eqn: Bv ^{2} =75kW]

로부터 속도의 제곱은

[eqn: v ^{2} =P/B=75`(m/s) ^{2``}]

이고 잠수함은 속도 [eqn: sqrt {75} m/s`]로 등속운동을 하게 된다.

논술문제 해설지(자연계) - 예시답안

<논제 Ⅱ-2>

(1) 우선 탄산완충용액의 화학반응식은 다음과 같다.

H2CO3 + H2O  ⇄  HCO3- + H3O+

제시문[다]에서의 Ka 정의와 제시문 [라]에서의 완충용액 평형상태에서의 평형농도를 사용하여,

Ka = [H3O+]([A-]+a)/([HA]-a)

제시문 [라]에서 a는 무시할 수 있을 만큼 작다고 하였으므로,

Ka = [H3O+][A-]/[HA]

(log를 취하면) => logKa = log[H3O+] + log ([A-]/[HA])

(정리하면)   => pH = pKa + log ([A-]/[HA])

논제에서 도출된 위 관계식과 탄산완충용액의 화학반응식을 사용하면,

pH = pKa + log ([A-]/[HA])  = 6.4 + log ([HCO3-]/[H2CO3])

탄산과 탄산수소이온의 몰농도 비율이 1:1 일 때,

log ([A-]/[HA]) = 0. 따라서 pH = pKa = 6.4

또는 Ka = [H3O+][A-]/[HA] 에서 pH = pKa를 바로 유도할 수도 있음.

그리고, pH = pKa + log ([A-]/[HA]) 의 관계식에 따라, 탄산수소이온을 추가적으로 넣어줌에 따라 log ([HCO3-]/[H2CO3])가 커짐으로 pH는 증가할 것이다.

위의 결과에서 보듯이 탄산수소이온의 양이 증가함에 따라 탄산완충용액에서의 pH는 증가한다. 이는 제시문 [마]의 르 샤틀리에의 법칙에 의해, 탄산수소이온이 추가적으로 존재함으로서 위에서 서술한 탄산완충용액 화학반응의 평형이 왼쪽으로 이동하기 때문이다. 따라서 수소이온의 농도는 줄어들게 된다. (즉 산성도 감소, pH 증가)

(2) 제시문 [바]에서 설명하였듯이 우리 몸의 세포는 산소호흡의 결과에 따라 CO2를 생성해 내고 이는 H2CO3의 형태로 정맥을 이동하다가 폐에 의해서 내보내어진다. 따라서 정맥은 동맥보다 더 많은 H2CO3 (즉, 더 작은 HCO3-/H2CO3의 값, pH = pKa + log([HCO3-]/[H2CO3])를 다시 참고)를 가지고 있을 것이고, 더 작은 pH 값을 가질 것으로 예상된다.

pH = pKa + log ([HCO3-]/[H2CO3])

즉, 동맥의 pH가 정맥의 pH보다 높다. 실제로 동맥의 pH는 약 7.45, 정맥의 pH는 약 7.35이다.

(3) 문제 (2)에서 얻어진 식을 사용하면

pH = pKa + log ([A-]/[HA])

=> 7.4 =  6.4 + log ([HCO3-]/[H2CO3])

논술문제 해설지(자연계) - 예시답안

<논제 Ⅱ-2>

[HCO3-]는 [H2CO3]보다 10배 많아야한다.

따라서 [HCO3-]=0.025 M

위의 결과에서와 같이 혈액 내 HCO3-의 농도가 H2CO3의 농도보다 10배가량 높다. 이는 제시문 [라]에서 설명된 완충용액의 최대 완충용량을 얻을 수는 있는 농도가 아니다.

그렇지만, H2CO3보다 과량의 염기 HCO3-는

운동과정에서 생성되는 젖산(이는 약산임)에 의한 혈액 산성화, 그리고 근육세포의 산소호흡에 의한 CO2 생성과 이로 인한 H2CO3 등의 다양한 산성물질을 중화시키는 데 더욱 효과적으로 기능할 것으로 예상된다.

<논제 Ⅱ-3>

(1) 주어진 문항에서 중합효소연쇄반응과정은 이중나선의 DNA를 단일가닥으로 분리하고, DNA 주형에 상보적인 한 쌍의 시발체를 결합시키고, DNA 주형을 따라서 상보적인 염기를 붙여 새로운 딸 DNA를 합성하는 1회의 복제단계를 수행하는데 2분이 소요된다고 한다. 따라서 12 동안 전체 6회의 복제단계를 수행하게 된다. 제시문 [아]에 주어진 그림을 통하여 1회의 복제 후에 DNA 분자는 1개에서 2개로 늘어나고, 2회의 복제 후에는 2개에서 4개로 늘어남을 알 수 있다. 결국 이와 같은 과정을 반복하면 DNA 분자 수는 2n 으로 증가하게 됨을 알 수 있다. 결국 전체 6회의 복제단계를 거치게 되어, 26 (=64) 개의 DNA 분자 수가 생성되게 된다.

(2) 제시문 [자]에서 주어진 왼쪽 시발체는 주형 DNA의 왼쪽 아랫 가닥과 상보적인 서열을 가지고 있어 결합 후 윗 가닥을 새롭게 합성 할 수 있으나, 오른쪽 시발체의 경우 주형 DNA의 오른쪽 윗 가닥과 상보적인 염기서열을 가지고 있지 않아 대상 주형 DNA 가닥과 결합하지 못하여 DNA 합성에 부적합하다. 이런 이유로 주어진 시발체 조합은 중합효소연쇄반응법에 의한 DNA 합성에는 적합하지 않다. 해결방법으로는 오른쪽 시발체를 5’-TAATGTATCG-3’로 새롭게 제작하여 주어진 왼쪽 시발체와 같이 사용하면 성공적인 중합효소연쇄반응법에 의한 주어진 DNA의 합성을 수행할 수 있다.

- 더 나은 인간, 더 나은 세계  경희대학교 -