<2010학년도 수시 1차-자연계>

<논제 I-1>

(1) 공이 바닥과 충돌할 때, 지면에 평행한 속도성분 [eqn: v_x]는 변하지 않고 [eqn: 0.5{rm m/s}]로 유지된다. 즉, 충돌 직전/직후의 지면에 평행한 속도성분을 [eqn: v_{x,i}], [eqn: v_{x,f}]라 하면,

[eqn: v_{x,i}=v_{x,f}=0.5{rm m/s}]

그러나 수직 방향 성분, 즉 충돌 방향의 운동에너지는 충돌시 공의 탄성에너지로 변환되는 과정에서 일부가 열에너지로 손실되고, 농구공의 경우 그 비율은 0.81이다. 따라서 농구공의 질량을 [eqn: m], 충돌 직전/직후의 수직 방향 속도 성분을 [eqn: v_{y,i}], [eqn: v_{y,f}]라 하면, 충돌 전후의 운동 에너지의 비율은

[eqn: 0.81= {{1 over 2 m v_{y,f}^2} over {1 over 2 m v_{y,i}^2}} = left(v_{y,f} over v_{y,i} right)^2]

이 되고, 따라서

[eqn: v_{y,f} = -0.9 v_{y,i}]

이다. 여기서 (-)부호는 운동방향이 바뀌었음을 의미한다.

(2)

(가) 공이 던져진 순간부터 첫째 충돌까지의 운동:

첫 낙하에서 걸리는 시간은 중력에 의한 등가속도 운동식으로부터

[eqn: h= {1} over {2} gt_0 ^{2} ~~ ->~~ t _{0} = sqrt {{2h} over {g}} = sqrt {{2(20m)} over {10 rm m/s ^{2} it}} =2 {rm s} (2초)]

이고, 첫 충돌시 충돌 직전 수직 속력 성분은 등가속도 운동식으로부터 [eqn: v_{y0}=gt_0 = (10{rm m/s^2})(2{rm s})=20{rm m/s}]이다. 이 속력성분은 역학적 에너지 보존으로부터 구할 수도 있다.

[eqn: mgh= 1 over 2 m v_{y0}^2 ~~->~~ v_{y0} = sqrt{2gh}=sqrt{2(10{rm m/s^2})(20{rm m})}=20{rm m/s}]

(나) [eqn: n]번째 충돌과 [eqn: (n+1)]번째 충돌사이의 운동[eqn: (n=1,2,ldots)]:

(1)의 풀이에 따르면 [eqn: n]번째 충돌 직후 수직 방향 속력 성분은

[eqn: v_{y,n}=0.9v_{y,n-1}=0.9^2 v_{y,n-2}=cdots=0.9^n v_{y,0}=0.9^n cdot 20{rm m/s}]

이다. 충돌 후 위로 올라가 중력에 의해 결국 멈출 때까지 걸리는 시간과 그 이후 낙하하여 그 다음 충돌에 이를 때까지 걸리는 시간은 동일하므로, 두 충돌 사이 시간간격 [eqn: t_n]은

[eqn: 0=v _{y, n} -g {t _n} over {2} ~~->~~ t _{n}= {2v _{y,n}} over {g} = {2 CDOT 0.9^n CDOT 20 rm m/s} over {10 rm m/s ^{2}} =4 CDOT 0.9^n {rm s}(4 CDOT 0.9^n 초)]

이다.

(다) 따라서 수직 방향 운동이 멈출 때까지 걸리는 시간 [eqn: T]는 등비수열 합의 공식을 이용하여

[eqn: T=t_0 +t_1 + t_2 + cdots=left(2+4 sum_{n=1}^infty 0.9^n right){rm s}(초)=left(2+{{4 cdot 0.9} over{1 - 0.9} right){rm s(초)}=38{rm s}(38초)]

이다. 이 시간 동안 지면에 수직한 방향의 속도는 일정하므로, 지면 방향으로는

[eqn: v_x T=(0.5{rm m/s})(38{rm s})=19{rm m}]

만큼 이동하였다.

(3)

(가) 실제상황에서 무한 충돌이 발생하지 않는 이유:

실제 상황에서 농구공과 지면의 무한 충돌이 발생하지 않는 이유는 농구공이 유한한 크기를 가지고 있고, 이로 인해 농구공과 바닥의 충돌이 순간적으로 이뤄지지 않고 어느 정도의 시간을 필요로 하기 때문이다. 즉, 농구공이 바닥과 충돌하면서 농구공이 수축하고 복원력에 의해 다시 팽창하기까지 유한한 시간 [eqn: t_{rm c}(>0)]가 걸린다. 따라서 무한 충돌 가정에 의해 구한, [eqn: n]번째와 [eqn: n+1]번째 충돌 사이 시간간격 [eqn: t_n]이 충돌 진행 시간 [eqn: t_{rm c}]보다 작아지면, 사실상 시간간격 [eqn: t_n]동안 농구공은 지면에서 떨어지지 않는다. 따라서 그때부터 농구공은 다시 지면으로부터 튕기지 않는다.

농구공의 회전운동은 무한 충돌과 상관이 없다. 단지 에너지의 일부가 농구공의 회전에너지로 전환되면, 충돌 사이의 시간 간격 또는 충돌 사이 튕겨 올라간 거리가 줄어들 뿐이다.

농구공과 공기(또는 지면)의 마찰 또한 그 자체가 무한 충돌을 없애지 않는다. 다만 회전운동의 효과와 마찬가지로 농구공의 에너지 일부가 공기와의 마찰로 열에너지로 감소하여 충돌 사이 시간 간격이나 충돌 사이 높이만이 줄어들 뿐이다.

(나) 무한 충돌 예측의 유효성

예를 들어 [eqn: t_{rm c}=0.1{rm s}]라 하면, 충돌은 [eqn: t_n = 4 cdot 0.9^n {rm s}= t_c], 대략 [eqn: n =n_{rm c} approx 35]번째에서 멈춘다. 따라서 무한 충돌 예측과 실제 충돌 사이의 시간 오차는

[eqn: Delta T approx sum_{n=n_{rm c}}^infty t_n = {4 cdot 0.9^{n_{rm c}}}over {1-0.9} {rm s}]

로, 무한 충돌 가정에 의한 예측 시간에 비해

[eqn: {Delta T} over T = {{4 cdot 0.9^35} over {1 - 0.9}} over {2 + {4 cdot 0.9} over {1 - 0.9}} approx 1 over 38 = 0.026]

으로 매우 작다. 임의의 충돌시간에 대해서 [eqn: t_{n_{rm c}} = t_{rm c}]로부터, 시간 오차는

[eqn: DELTA T APPROX sum _{n=n _{rm c it}} ^{INF } t _{n} = {t _{rm c it}} over {1-0.9}]

이므로,

[eqn: {Delta T} over T approx {{t_{rm c}} over {1 - 0.9}} over {2 + {4 cdot 0.9} over {1 - 0.9}} = t_{rm c} over 3.8]

가 되어, 공과 지면의 충돌진행시간이 충분히 작으면, 다시 말해 공의 탄성이 매우 좋아 짧은 시간 내에 충돌이 이루어지면, 무한 충돌 예측은 실제 관측 결과와 거의 오차가 없다고 할 수 있다.

이렇듯이 오차가 작은 이유는 충돌 사이의 시간 간격이 등비수열로 주어져 [eqn: t_n]의 [eqn: n=1]부터 [eqn: n=n_{rm c}-1]까지의 합이 [eqn: n=n_{rm c}]부터 [eqn: n=inf]까지의 합에 비해 대략적으로

[eqn: t_{n_c} over t_0 = 0.9^{n_c}]

의 비율만큼 작기 때문이다. 즉, 시간간격이 등비수열로 일정한 비율로 줄어들기 때문이다.

<논제 I-2>

(1)

구리 도선과 구리 막대 내를 투과하는 자속은

[eqn: Phi(t) = BA(t)=BLl(t)]

이고, 회로에 유도되는 유도 기전력의 크기는 패러데이 법칙에 의해서

[eqn: V(t)={{d Phi(t)} over dt} = BL {dl(t)} over dt = BL^2 over tau 2(t/tau-1)]

이고, 회로의 저항은 [eqn: R(t)=rho(2l(t)+2L)]이므로, 유도 기전력에 의한 유도 전류는

[eqn: i(t)= {V(t)} over {R(t)} = {BL} over {2 tau rho } {2(t/ tau -1)} over {(t/ tau - 1)^2 +1}]

이다. 이때 유도 기전력과 유도 전류는 회로내 자속의 변화를 방해하는 방향으로 유도되어야 하므로, [eqn: t<tau]에서는 자기장이 지면 뒷 방향으로 유도되도록 유도 전류는 시계방향으로 흐르고, [eqn: t>tau]에서는 자기장이 지면 윗 방향으로 유도되도록 유도 전류는 반시계방향으로 흐른다.

이 때 저항에서는 단위시간 당

[eqn: P _{R} (t) =[i(t)] ^{2} R(t) = V(t)^2 over R(t) = {B ^{2} L ^{3}} over {2 tau ^{2} rho } {(2(t/ tau -1)) ^{2}} over {(t/ tau -1) ^2 +1}]

의 열에너지가 발생하는데, 이 에너지는 외부 전동 장치가 구리막대에 가한 역학적 일로부터 온다.

구리 막대에 유도 전류가 흐면 자기장 내에서 구리 막대는 플레밍의 왼손 법칙에 의해서 [eqn: t<tau]에서는 오른쪽 방향으로, [eqn: t>tau]에서는 왼쪽 방향으로 힘을 받는다. 따라서 외부 전동 장치는 자기장에 의한 힘의 반대 방향으로 각 시간 구간에서 왼쪽과 오른쪽으로 각각 힘을 가해야 하고, 그 힘의 크기는

[eqn: F(t)=BLi(t)={BLV(t)} over R(t) ={B^2 L^2} over {2tau rho} {2(t/tau-1)} over {(t/tau-1)^2 + 1}]

이다. 따라서 이 힘이 행하는 일률은

[eqn: P_M (t)= F(t)v(t) = {BLV(t)} over R(t) {dl over dt} = {V(t)^2} over R(t) = {B ^{2} L ^{3}} over {2 tau^{2} rho } {(2(t/ tau - 1))^{2}} over {(t/ tau -1)^2 +1}]

이 되어, [eqn: P_R (t)= P_M (t)]이므로, 저항에서 단위시간당 소모되는 열에너지와 같다. 따라서 외부에서 가해준 역학적 일이 그대로 전기에너지로 변환되어 저항에서 열에너지로 소모된다.

(2)

점 [eqn: (x_1 , f(x_1 ))]에서의 접선의 방정식 [eqn: L_1]은 [eqn: y-f(x_1 ) = f`'(x_1 ) (x-x_1 )] 이므로 [eqn: L_1]의 [eqn: x]절편을 [eqn: x_2]라 하면

[eqn: x_2 =x_1 - { f(x_1 )}over {f`'(x_1 ) }]

이다. 마찬가지로 점 [eqn: (x_2 , f(x_2 ))]에서의 접선의 방정식 [eqn: L_2]은 [eqn: y-f(x_2 ) = f`'(x_2 ) (x-x_2 )] 이므로 [eqn: L_2]의 [eqn: x]절편을 [eqn: x_3]라 하면

[eqn: x_3 =x_2 - { f(x_2 )}over {f`'(x_2 ) }]

이다. 이 과정을 반복하면 다음을 얻는다.

[eqn: x _{n+1} =x _{n} - {f(x _{n} )} over {f` prime (x _{n} )}]

(3)

유도전류가 반시계방향으로 [eqn: BL/2 tau rho]로 흐를 때

[eqn: BL over {2tau rho} {2(t/tau-1)} over {(t/tau-1)^2 + 1} = BL over {2tau rho}]

으로, 이를 풀어쓰면,

[eqn: (t/ tau )^2 -4(t/ tau ) +4=0 ~~->~~ (t/ tau -2)^2 =0~~또는~~(t- tau )^2 =0]

가 된다. [eqn: x=t/tau]로 변수 치환을 하고, 좌변을 함수 [eqn: f(x)]로 잡으면,

[eqn: f(x)=(x-2)^2]

을 얻어 [eqn: f(x )=0]은 쉽게 풀리고 해는 [eqn: x_0 = 2]로 유일하다. [eqn: x_1]을 [eqn: x_1 != 2]인 임의의 값이라 하자. 그러면,

[eqn: f prime (x)=2(x-2)]

이므로 (2)에서 구한 관계식에 의하여

[eqn: x _{n+1} =&x _{n} - {f(x _{n} )} over {f` prime (x _{n} )}# =&x _{n} - {(x_n -2)^2} over {2(x_n -2)}# =&x _{n} - {x_n -2} over {2}# =&{x_n +2} over {2}~~~~{or}~~~~1 over2 x_n + 1]

이다. 또한 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: x _{n+1} -2 = 1over2 ( x_n -2)]이므로 [eqn: LEFT | x _{n+1} -2 RIGHT | = 1over2 LEFT | x_n -2RIGHT |]를 얻는다.  따라서 [eqn: 0le 1over2 <1] 이므로 제시문 [다]에 의하여 수열 [eqn: left{ x_n right}]은 해 [eqn: x_0 = 2]로 수렴한다.

<논제 II-1>

(1) 결합반응 R + D ⇄ RD의 평형상수(KRD)는 [eqn: K _{RD} = {LEFT [ RD RIGHT ]} over {LEFT [ R RIGHT ] LEFT [ D RIGHT ]}] 으로 표현되므로 [R], [D], [RD] 를 구하여야 한다.

① [R]을 구하는 방법

20 mV의 시냅스후 전압이 발생하는 진통제 복용전 평형상태에서의 [RN] 의 값을 구한다.

R + N ⇄ RN에서 [eqn: K _{RN} = {LEFT [ RN RIGHT ]} over {LEFT [ R RIGHT ] LEFT [ N RIGHT ]}]= 1 nM-1

평형상태의 [N] = 1 nM 이다. [R] + [RN] = 10 nM에서 [RN] = x 로 놓으면 [R] = 10-x 이다.

[eqn: K _{RN} = {LEFT [ RN RIGHT ]} over {LEFT [ R RIGHT ] LEFT [ N RIGHT ]} = {x} over {(10-x)(1)} =1]

따라서 [RN] = 5 nM 이다.

(진통제 복용전 평형상태의 [Ntotal] = [N] + [RN] =  1 nM + 5 nM = 6 nM 도 구할 수 있다.)

진통제를 복용하여 통증의 제거하기 위한 시냅스후 전압의 역치는 12 mV 이므로 진통제 복용 후 [RN] =[eqn: 5`nM` TIMES ` {12`mV} over {20`mV}] = 3 nM 이 된다. (시냅스후 전압의 크기는 [RN]에만 선형적으로 비례한다고 가정됨)

진통제 복용후에도 평형상수(KRD)는 변하지 않으므로 (상수이므로) [eqn: K _{RN} = {LEFT [ RN RIGHT ]} over {LEFT [ R RIGHT ] LEFT [ N RIGHT ]}]= 1 nM-1  을 이용하여 [R] 을 구한다. 진통제 복용후 [N] 은 [Ntotal] 이 변하지 않는 성질,
[Ntotal] = [N] + [RN] = 6 nM 을 이용한다.

[RN] = 3 nM 일때, [N] = 3 nM 이므로

[eqn: K _{RN} = {LEFT [ RN RIGHT ]} over {LEFT [ R RIGHT ] LEFT [ N RIGHT ]} = {3} over {(x)(3)} =1]이어서 [R] = 1 nM 이다.

② [RD] 를 구하는 방법

진통제 복용후 [RD] 는 [Rtotal] 이 변하지 않는 성질, [Rtotal] = [R] + [RN] + [RD] = 10 nM 을 이용하여 구할 수 있다.

[R] = 1 nM 이고 [RN] = 3 nM 이므로 [RD] = 6 nM 이다.

③ [D] 를 구하는 방법

진통제 복용후 [D] 는 [D] + [RD] = 8 nM 을 이용하여 구할 수 있다.

[RD] = 6 nM 이므로 [D] = 2 nM 이다.

④ 진통제 복용후 [R] = 1 nM, [RD] = 6 nM, [D] = 2 nM 이므로

[eqn: K _{RD} = {LEFT [ RD RIGHT ]} over {LEFT [ R RIGHT ] LEFT [ D RIGHT ]} = {6} over {(1)(2)} =3] 이므로 평형상수(KRD)는 3 nM-1 이다.

(2) 시냅스후 뉴런에서 활동전위를 생성하기 위한 역치인 12 mV, 즉 1.2 x 10-2 V 를 생성하기 위한 Na+ 이온의 최소 개수를 추정하기 위해서는 전하량(Q)을 구하여야 한다.

① [eqn: Q``=CV] 를 이용하려면 전기용량(C)를 구하여야 한다.

세포막의 단위면적당 전기용량은 1 μF/cm2 으로 주어져 있고

구의 전기 용량은 [eqn: C`=`4 pi epsilon {ab} over {b-a}] 라는 식으로부터 구의 전기용량은 구의 면적에 비례함을 찾아낼 수 있으므로 반경이 5 μm 인 구의 면적([eqn: S`=4 pi r ^{2} =314] μm2)을 이용한다.

[eqn: C= {1 mu F} over {1cm ^{2}} TIMES 314 mu m ^{2} TIMES {1cm ^{2}} over {10 ^{8} mu m ^{2}} TIMES {1F} over {10 ^{6} mu F} =3.14 TIMES 10 ^{-12}] F = 3.14 x 10-12 C/V

② 전기용량(C)와 전압(V)을 이용하여 전하량(Q)을 구한다.

[eqn: Q``=CV] = (3.14 x 10-12 C/V)(1.2 x 10-2 V) = 3.77 x 10-14 C

전하량(3.77 x 10-14 C)으로부터 Na+ 이온의 개수를 구할 수 있다.

이온 1개 : e = 1.6 × 10-19 C = 이온 x 개 : 3.77 x 10-14 C

그러므로 Na+ 이온의 최소 개수는 [eqn: {3.77 TIMES 10 ^{-14} C} over {1.6 TIMES 10 ^{-19} C} =2.36 TIMES 10 ^{5}] 이다.

③ 절연체인 인지질의 세포막을 사이에 두고 세포 안팎으로는 도체의 역할을 하는 전해질이 풍부한 수용액으로 채워져 있으며 안쪽은 음전하로 바깥쪽은 양전하로 대전된 상태이므로 축전기가 갖추어야할 성질을 고루 갖추고 있다. 세포의 크기에 비해 세포막의 두께는 매우 얇기 때문에 제시문 [나]의 구형 축전기의 전기용량 식에서 a와 b는 매우 유사한 값을 갖는다. 따라서 반지름이 [eqn: r]이고 막의 두께가 [eqn: d]인 세포[eqn: (a SIMEQ b=r,```b-a=d)]의 전기용량은 [eqn: C=4 pi epsilon {r ^{2}} over {d}]로서 표현될 수 있다. [eqn: 4 pi r ^{2}]은 세포막의 표면적이므로 세포의 전기용량은 막의 두께에 반비례하고 막의 면적에 비례하여 증가함을 알 수 있다. 세포막은 수 nm로서 매우 얇기 때문에 매우 우수한 축전기의 조건을 갖추고 있다. 세포막의 두께는 세포에 따라서 큰 차이가 없으므로, 세포의 전기용량은 일반적으로 세포의 크기가 클수록 증가한다고 볼 수 있다.

<논제 II-2>

(1)

① A의 농도가 감소하는 반응에서 반응속도는 일반적으로

[eqn: v`=- {DELTA [A]} over {DELTA t}]

[eqn: v`=k LEFT [ A RIGHT ] ^{m}] (k는 상수) 로 표현된다.

여기서 m이 반응차수를 의미하므로 m의 값을 알아내면 반응차수를 추정할 수 있다.

② 0초부터 1초까지의 반응속도는 [eqn: v _{0 -> 1} `=- {7.93-10.0} over {1} =2.07] (mmol/Ls)

3초부터 4초까지의 반응속도는 [eqn: v _{3 -> 4} `=- {3.97-4.99} over {1} =1.02] (mmol/Ls)

6초부터 7초까지의 반응속도는 [eqn: v _{6 -> 7} `=- {1.98-2.49} over {1} =0.51] (mmol/Ls) 임을 분석하면

③ 농도가 반으로 감소하였을 때

(0초일때 10.0 mmol/L, 3초일때 4.99 mmol/L, 6초일때 2.49 mmol/L 등)

반응속도도 반으로 감소한다.

(0초일때 2.07 mmol/Ls, 3초일때 1.02 mmol/Ls, 6초일때 0.51 mmol/Ls 등)

④ 그러므로 [eqn: v`=k LEFT [ A RIGHT ] ^{m}] 에서 m = 1 즉, 일차반응임을 확인할 수 있다.

(2)

① 육상선수가 100 m를 10초 동안 달릴 때 필요한 에너지는

육상선수의 에너지 소모량으로부터 구한다.

에너지 소모량은 [eqn: 360`kcal/h= {360`kcal} over {1h} TIMES {1h} over {3600s} =0.1`]kcal/s 이므로

10초에 필요한 에너지는 0.1 kcal/s x 10 s = 1.0 kcal 이다.

② 무기호흡에 의한 에너지는 10초 동안 소모한 포도당의 양으로부터 구할 수 있다.

포도당의 농도가 0초일때 10 mmol/L에서 10초일때 1 mmol/L로 감소하였으므로

소모한 포도당의 양은 (10 - 1) mmol/L x 6 L = 54 mmol 이다.

포도당 한분자당 2분자의 ATP를 생성하므로 108 mmol(0.108 mol)의 ATP가 생성되고

ATP 1 mol 당 7.3 kcal의 에너지가 발생하므로

7.3 kcal/mol x 0.108 mol = 0.79 kcal 의 에너지가 무기호흡을 통해 얻어진다.

③ 그러므로 100 m를 10 초 동안 달릴 때 필요한 에너지인 1.0 kcal 에 0.21 kcal (1.0 kcal - 0.79 kcal = 0.21 kcal) 부족하므로 이 부분은 유기호흡에 의해 얻어진다고 볼 수 있다.

④ (무기호흡으로 얻은 에너지):(유기호흡으로 얻은 에너지) = 0.79 kcal:0.21 kcal = 79:21 ≒ 4:1

예 시 답 안