예시답안(자연계 2009 -수시 2-1)

<논제 I-1>

(1) 주어진 함수[eqn: P(t)]는 미분가능하며,

[eqn: P'(t)`=`-3t ^{2} `+`66t`-336] = [eqn: -3(t ^{2} -22t`+112)`=`-3(t-8)(t-14)]

이므로  [eqn: t]=8, 14에서 극값을 가짐을 알수있다. 함수의 증감표를 구성하면 다음과 같다.

[eqn: t]	0		8		14		24
[eqn: P'(t)]		-	0	+	0	-
[eqn: P(t)]	4000	감소	2912	증가	3020	감소	1120

따라서 함수[eqn: P(t)] 의 값이 최대가 되는곳은 [eqn: t]=0에서 가지게 됨을 알수있다.

(2)

[eqn: int _{0} ^{24} {P(t)dt} `] 의 근사값은 3개 시점에서 정확한 값을 알고 있으므로 근사값은

[eqn: int _{0} ^{24} {P(t)dt} `] [eqn: APPROX] {P(4) + P(12) + P(20)}[eqn: TIMES] 8

= {3120 + 2992 + 2480} [eqn: TIMES] 8  = 8592  [eqn: TIMES] 8 = 68,736

메가와트 로 추정할수 있다.

(3)  전력[eqn: P]는 에너지의 변화율이므로 [eqn: P(t)`=`E ^{'} (t)] 이다. 따라서

[eqn: int _{0} ^{24} {P(t)dt} `=` int _{0} ^{24} {E ^{'} (t)dt}]  = [eqn: E(24)`-`E(0)] 이다.

[eqn: int _{0} ^{24} {P(t)dt} `]  =  [eqn: [- {1} over {4} t ^{4} +`11t ^{3} `-`168t ^{2} `+`4000t] pile{24#0} `=`68352``메가와트``````````````````````````````````````]

<논제 I-2>

(1) 주기 T를 산정 할 때 다리의 실제길이 [eqn: bold{L}]이 아니라 유효길이 [eqn: bold { L prime }]을 사용해야 한다.

다리 길이 1m인 사람의 유효길이는 0.4m이므로 주기 T는1.26초이다.

([eqn: bold{T=`2`pi`sqrt{(0.4m)/(10m/s^2 ) } ` SIMEQ1.26`` s }])

대부분의 사람은 두발로 걷고 있으므로 1/2 주기에 한 걸음 전진한다.

따라서 한걸음에 걸리는 시간은 주기의 1/2인 0.63초이다.

그러므로 보행속도는 [eqn: bold{v}` SIMEQ `(0.63`m)/(0.63`s)`=`bold{1.0`m`/s }] 또는 시속 [eqn: 3.6`km].

(2) 유효길이는 다리 길이에 비례하므로 ( [eqn: bold{L prime ` PROPTO `L}] )

주기는 다리 길이의 제곱근에 비례한다. ( [eqn: bold{T` PROPTO ` sqrt {L prime}`PROPTO`sqrt {L}}] )

또한 보폭은 다리 길이에 비례한다. ( [eqn: bold{보폭 ~ PROPTO ~`L}] )

보행속도는 보폭/주기에 비례하므로 ([eqn: bold{v``=` {보폭} over {T/2} PROPTO L over sqrt L }] )

따라서 보행속도는 다리 길이의 제곱근에 비례한다. [eqn: bold{v`` ` PROPTO ``sqrt`L}]

(∴ 다리가 긴 사람이 다리가 짧은 사람보다 보행속도가 빠르다.)

<논제 I-3>

(1) 첫째, 지방 분자는 덜 산화된 C-H 결합을 다수 함유하고 있는 반면에 글리코겐 분자는 상대적으로 더 산화된 C-O결합을 다수 함유한다. (C-H 결합이 C-O 결합에 비해서 더 많은 에너지를 저장함.) 따라서, 산화반응을 통해 분해되는 과정에서 지방 분자가 더 많은 에너지를 발생시킨다. (단위 질량 당 더 많은 에너지를 저장할 수 있음) 실제로 탄수화물은 체내에서 완전히 분해되면 4kcal/g의 에너지를 생성하고, 지방은 9kcal/g의 에너지를 낸다. 둘째, 극성의 수산화기를 많이 지니는 글리코겐은 물 분자와 결합된 수화물의 형태로 존재하지만, 비극성의 알킬기가 대부분인 지방은 물 분자와의 접촉을 최소화하기 위해서 분자들이 밀착된 형태로 존재하여 좁은 공간에 저장가능하다. 셋째, 극성을 지니는 글리코겐은 물에 쉽게 용해되는 데 비해, 상대적으로 극성이 작은 지방산 분자들은 물에 잘 녹지 않아서 손실될 염려가 적다.

(2) 근육세포에는 즉시 사용할 수 있는 ATP가 조금 있지만 이것만으로는 단지 몇 초 만을 견딜 뿐이다. 따라서, 다른 방법이 필요하고 크레아틴 키나아제를 이용하여 크레아틴인산을  크레아틴으로 분해하면서 ADP를 ATP로 바꾸는 1단계 반응을 통하여 ATP를 재빨리 공급해 줄 수 있다. 따라서 첫째 단계는 ATP 공급 속도 면에서 가장 큰 장점을 가지고 있다. 글리코겐을 분해하여 포도당을 만들고 이로부터 젖산과 ATP를 생성하는 무산소 대사 방법은 12단계를 거치므로 첫째 반응보다는 느리지만 심장과 허파가 산소를 공급할 준비가 될 때까지 중간 단계로서의 역할을 수행할 수 있다. 따라서 둘째 단계는 근육 속에 있는 상당량 존재하는 글리코겐을 이용할 수 있으므로 첫째 단계보다는 오래 지속될 수 있고 ATP 생성량도 반응물 1분자당 첫째 단계보다 맣으며 셋째 단계보다는 ATP 공급속도가 빠르다. 산소가 충분히 공급되는 셋째 단계는 포도당을 이산화탄소와 물로 완전히 분해하므로 ATP 공급 속도는 가장 느리지만 반응물 1분자당 32ATP를 생성하므로 생성 에너지 면에서는 가장 효율적인 단계이다. 또한 포도당 뿐만 아니라 지방산까지도 사용하므로 가장 오랫동안 에너지를 공급할 수 있다.

<논제 II-1>

(1)  1년동안 복리 10% 이면 P(1+0.1),

6 개월(= [eqn: {1} over {2}]년)마다 복리 5%이면 P(1+[eqn: {0.1} over {2}])[eqn: (1+ {0.1} over {2} )],

3 개월(=[eqn: {1} over {4}]년)마다 복리 2.5%이면P(1+[eqn: {0.1} over {4}])[eqn: (1+ {0.1} over {4} )](1+[eqn: {0.1} over {4}])[eqn: (1+ {0.1} over {4} )]

이다.

(2)  (1) 과 같이 생각하면  복리산정기간이 [eqn: {1} over {m}]년이면 [eqn: {1} over {m}]년마다 복리[eqn: {10%} over {m}] 이므로

원리합계의 식은   [eqn: P(1+ {0.1} over {m} ) ^{m}]  이 됨을 알수있다. 복리산정기간(즉[eqn: {1} over {m}]년) 을 무한히 작게한다는것은 [eqn: m] 을 무한히 크게 하는것 이므로 원리합계는  [eqn: lim _{t-> INF } {(1+` {x} over {t} ) ^{t} `=`e ^{x}}] 를 이용하여

[eqn: lim _{m -> INF } {P(1+ {0.1} over {m} ) ^{m}}]  = [eqn: P][eqn: lim _{m-> INF } {(1+ {0.1} over {m} ) ^{m}}] = [eqn: Pe ^{0.1}] 임을 알수있다.

(3)  (2) 에 의해 [eqn: Q(x)=`Pe ^{{x} over {100}} `], [eqn: Q(2x)=`Pe ^{{2x} over {100}} `],  ..., [eqn: Q(nx)=`Pe ^{{nx} over {100}} `] 임을 알수있다.

[eqn: f(x)`=`ln]{[eqn: `e ^{{x} over {100}} `+e ^{{2x} over {100}} `...`+`e ^{{nx} over {100}} ``] }  라 두면  [eqn: f(0)`=ln`n] 이다. P=1 이므로

극한 값  [eqn: lim _{x -> 0} {{1} over {x} ln {Q(x)+Q(2x)+ CDOTS +Q(nx)} over {n}}]

= [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)-f(0)} over {x}} ``=`f'(0)`=`][eqn: {n+1} over {200}] 이다.

<논제 II-2>

(1) 코일 내부에서 자석이 단진동하면, 코일을 통과하는 자력선속(또는 자기장)이 시간에 따라 변화하므로 유도기전력이 발생한다. 이는 역학적 에너지를 전기에너지로 바꾸는 발전기의 동작 원리와 같다. 유도기전력에 의한 전류, 즉 유도전류는 자기선속의 시간적 변화에 저항하는 방향으로 흐른다 (렌쯔의 법칙). 스위치를 닫으면 발생한 유도전류가 전구 필라멘트에서 열로 전환된다. 단진동의 운동에너지가 전구에서 열에너지로 소모되므로 단진동의 진폭은 시간에 따라 감소(감쇠 진동)한다.  전동차의 자기 브레이크는 이를 이용한 예이다.

(2) 제시문 [다]에 나온 바와 같이 목성의 자기장을 통과 할 때만 유로파에서 자기장이 측정되므로 유로파에 유도 전류가 생겼음을 알 수 있다. 유도 전류의 형성은 도선과 같은 전기 전도성 물체에 자기선속(또는 자기장)이 시간에 따라 변하는 경우에 가능하므로, 유로파 내부에는 전도성 물질(소금물로 추정)이 존재한다는 것을 유추할 수 있다. 또한 유로파가 강한 자기장을 가진 목성을 타원 궤도로 공전하므로(또한 목성의 자기장 축은 자전축과 기울어져 있고 자전주기는 10시간) 목성에 근접하면 유로파를 통과하는 자기선속(자기장)은 시간에 따라 크게 변한다. 그러므로 유로파가 목성에 (공전에 의해 주기적으로) 근접하는 것은 마치 제시문 [나]에서 스위치를 (주기적으로) 닫는 것과 같다. 따라서 논제 II-2-(1)에서 유도전류에 의해 전구가 가열되는 것과 같이 유도전류에 의해 유로파 내부의 전기 전도체가 가열되어 열원으로 작동한다. 이런 현상을 유도가열 이라 하고 가정용 무선 커피포트, 전자조리기의 원리와 같다. 이를테면, 유로파라는 거대한 커피포트의 전원을 주기적으로 키고 끄는 것으로 비유할 수 있다.

<논제 II-3>

생체를 구성하는 키랄분자들의 대부분은 한쪽 종류의 거울상이성질체의 형태로 존재한다. 예로, 아미노산은 경우 L 형태의 거울상이성질체 만이 생체 내에 존재하고, 당(糖)의 경우에는 D 형태의 거울상이성질체만이 존재하며, 이들로 이루어진 단백질(효소, 펩타이드)이나 핵산 또한 한쪽 거울상만을 지닌다. 한쪽 거울상만을 지니는 물질이 다른 키랄분자와 결합할 때에는 거울상이성질체 쌍을 각각 다르게 인지한다. (어떤 사람이 오른손을 뻗어 악수를 할 때에 상대방의 오른손과 왼손을 다르게 인식하는 것과 마찬가지로 생각할 수 있다. 즉, 오른손을 맞잡고 악수하는 것은 자연스럽지만 상대의 왼손을 잡고 악수하는 것이 부자연스러운 것과 같다.) 생체물질들은 대상 분자의 구조를 정확하게 인지하고 특정 분자에 선택적으로 결합하여 반응할 수 있는 구조를 지니는데, 생체물질(효소)는 한쪽 거울상만으로 이루어졌기 때문에 인공 합성된 분자의 거울상이성질체 쌍을 각각 다르게 인지하고 선택적인 반응성을 보이게 된다. 즉, 한쪽 거울상이성질체는 효소와 같은 생체물질과 결합하여 특정 반응을 진행하지만 반대쪽 거울상이성질체는 반응하지 않거나 다른 형식으로 반응이 진행될 수 있고 이의 결과로 인공합성된 거울상이성질체 쌍이 생체 내에서 각각 다른 생리적 효과를 보이게 된다.