가톨릭대학교 2009학년도 수시 2학기

논술고사【교과성적우수자 전형】(이과)

지원학부(과):                     수험번호:                    이 름:

<수험생 유의 사항>

▶ 수험생의 신원을 알리는 어떤 표시도 하지 마시오.

▶ 제목을 쓰지 말고 본문부터 시작하시오.

1. 다음에 주어진 제시문을 읽고 답하시오.(20점)

[제시문]

공장이나 가정에서 발생되는 폐수를 처리하는 방법 중에는 폐수 속의 유기물 형태의 오염물질을 먹이로 섭취하는 수중 미생물을 이용하여 처리하는 방법이 있다. 이 방법은 처리과정 중 폐수 속에 유입된 미생물을  분리하는 과정이 필요하다. 특히 중력을 이용하여 침강시킨 뒤 분리시키는 방법이 가장 많이 이용된다. 이 때 수중 미생물은 고형물의 형태로 물과 뚜렷한 경계면을 나타내면서 침강하며 미생물 개체수에 따라 달라지는 고형물 농도는 침강속도에 영향을 미친다.

아래 [표 1]은 1m 높이의 침전관에 각각 다른 고형물 농도의 시험폐수 시료(A), (B), (C) 및 (D)를 채워서 실험한 결과이다. 실험방법으로 침강하는 고형물의 경계면이 나타내는 높이의 변화를 15분 동안 관찰하여 기록하는 방법을 사용하였다. [그림 가]는 시료(A), (B), (C) 및 (D)에 대하여 시간에 따른 고형물 침강 높이를 초기 높이로 나누어 얻어지는 높이 비(ht/ho)와 침강시간과의 관계그래프로 나타낸 것이다. [그림 나]는 침강속도(cm/min)의 변화를 농도에 따른 그래프로 나타낸 것이다. 이 때 침강속도는 [그림 가]의 그래프를 참고하여 직선구간으로 나타나는 실험자료를 선형최적화를 통하여 얻어지는 직선의 기울기로부터 구할 수 있다.

(조건1: ht: 침강시간 t분일 때 고형물 높이, ho: 침강시간 0분일 때 처음 고형물 높이를 나타냄)

[표 1] 고형물 경계면 높이변화 (단위: cm)
시험폐수 시간(분)	(A)	(B)	(C)	(D)
0	95.0	61.5	98.0	66.0
1	93.0	55.0	84.0	63.7
2	89.8	47.0	67.5	62.4
3	86.5	39.0	51.1	61.1
4	83.0	30.0	34.6	59.5
5	79.4	22.5	23.9	57.9
6	75.8	20.0	21.4	56.3
7	72.1	18.0	19.8	54.7
8	68.3	17.1	18.9	53.3
9	64.6	16.4	18.0	52.0
10	61.3	15.7	17.1	50.6
11	58.5	15.1	16.3	49.0
12	56.0	14.7	15.6	47.7
13	53.8	14.3	15.0	46.3
14	52.1	13.8	14.3	45.0
15	50.5	13.5	13.7	43.9

(조건2: 미생물의 자기산화에 의한 개체 수 변화에 따른 고형물 농도변화는 없는 것으로 가정한다.)

↯

~

[논제 1] (10점) [그림 가]에 나타난 곡선 그래프를 참고하여 시료(A), (B), (C) 및 (D)의 고형물 침강 속도를 크기 순서대로 나열하고 그 차이를 비교 설명하시오.

[논제 2] (10점) 고형물 농도와 속도와의 관계를 도식화하여 나타낸 [그림 나]를 이용하여 시료(A), (B), (C) 및 (D)의 고형물 농도를 크기 순서대로 나열하고 고형물 농도와 침강속도와의 관계를 비교 설명하시오.

2. 제시문을 읽고  답하시오. (30점)

[제시문]

(가) 우리 주변에는 불규칙하고 복잡한 도형을 쉽게 관찰할 수 있다. 예를 들어, 아래 그림과 같은 해안선, 고사리 잎, 먼 산의 윤곽선, 구름의 경계선, 벽의 갈라진 틈 및 주가 그래프 등은 매우 복잡하고 불규칙한 형태를 갖고 있다. 이러한 도형과 관련된 연구로서 1975년에 프랑스의 수학자 베노이트 만델브로트 박사는 프랙탈이라는 개념을 발표하였다. 그는 울퉁불퉁한 바위로 이루어진 해안선의 길이가 궁금해서 바위를 단계적으로 확대해 들여다봤다. 그러자 마치 나뭇가지처럼 비슷한 모양이 계속 반복된다는 사실을 발견했다.

그림. 해안선 및 고사리 잎의 모습

(나) 프랙탈이란 철저히 “조각난” 도형을 뜻하는 것으로서, 단순한 구조가 계속 반복되면서 복잡한 전체 구조를 이루고 있는 형태이다. 자기 유사성(Self-Similarity), 순환성(Recursiveness) 및 소수 차원이라는 특징을 가지는 것이 프랙탈 구조이다. 자기 유사성이란 어떤 도형의 형태가 전체의 도형과 같은 성질을 갖는다는 것을 뜻한다. 흔히 도형이 닮았다고 하는 것은 형태가 같은 것을 뜻하는 것으로서 프랙탈 도형은 각 단계 도형의 일부분이 바로 전 단계의 도형과 유사하며, 단계가 증가할수록 도형의 부분과 전체가 유사하게 된다. 프랙탈 기하에서 소수 차원이라는 것은 거친 정도, 불규칙 정도, 공간을 채우는 정도를 표현하는 척도이다. 예를들어, 공처럼 구겨진 종이는 2차원과 3차원 사이의 소수로 차원을 표시할 수 있다.

(다) 이러한 프랙탈 기하는 당시 유클리드 기하의 관점에서 보면 매우 이상한 개념의 대상으로 여겨져 “괴물 곡선”으로 취급되었으며, 수학이나 과학에서 중요하지 않은 것으로 여겨졌다. 하지만 오늘날에는 수학분야 뿐만 아니라 물리, 생물, 화학, 기상학, 의학, 컴퓨터 공학 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.

[논제 1](20점) [제시문(가)]와 [제시문(나)]를 읽고 아래의 질문에 답하시오.

a) 아래 그림 (A)와 같은 복잡한 해안선을 간단한 선분으로부터 프랙탈 개념을 활용하여 구현하려고 한다.   즉, 그림 (B)와 같은 1차원 선분을 3등분 한 다음, 정삼각형을 덧붙여 (C)처럼 만든 후, 이를 바탕으로  (A)와 같은 해안선을 구축하는 방법을 기술하시오.

(A)                           (B)                          (C)

b) 그림 (B)의 선분의 길이가 λ 라고 할 때, 무한정 뻗어 있는 그림 (A)와 같은 해안선을 위와 같은 방식으로 구현할 경우, 해안선의 길이를 구할 수 있는 방법을 기술하시오.

[논제 2](10점) [제시문(다)]에서처럼 프랙탈 개념은 다양한 분야에서의 응용이 가능하다. 프랙탈 개념을 이용하여 인터넷 상에서 복잡한 영상을 효율적으로 전송하고 복원할 수 있는 방법을 설계하시오.

3. 제시문을 읽고 답하시오. (30점)

[제시문]

도미노 게임이란 도미노 블록을 일정한 간격으로 세운 후 한쪽 끝의 첫 번째 블록을 쓰러뜨리면 연쇄적으로 다음 블록들이 쓰러지는 것을 말한다. 도미노 게임의 원리를 알아보기 위하여 3개의 도미노 블록을 실패 없이 쓰러지도록 늘어놓기로 하자. 첫 번째 블록을 쓰러뜨리면 두 번째 블록이 넘어지고, 두 번째 블록이 넘어지면 세 번째 블록이 넘어진다는 사실을 알 수 있다. 블록이 무한히 많이 있는 도미노 게임에서 ‘도미노 블록이 쓰러진다’는 것을 알기 위해서는 무한 개의 사실을 알아야 하는데, 사람은 무한 개의 사실을 알 수가 없다.

그렇다면 유한 개의 블록에 관한 사실만을 가지고 무한 개의 도미노가 쓰러진다는 것을 어떻게 알 수 있을까? 다음과 같은 두 가지 사실을 증명할 수 있다면, ‘무한 개의 도미노 블록이 쓰러진다’는 명제가 성립함을 보여줄 수 있다.

(i)  첫 번째 블록은 확실히 쓰러진다.

(ii) 하나의 블록이 쓰러지면, 인접한 그 다음 블록은 반드시 쓰러진다.

즉, k번째 블록이 쓰러지면 (k+1)번째 블록이 쓰러진다.

첫 번째 블록을 넘어뜨리면 위의 (i)에 의하여 첫 번째 블록은 반드시 넘어지고, (ii)에 의하여 두 번째 블록이 쓰러질 것이고, 두 번째 블록이 넘어졌으므로 세 번째 블록도 넘어질 것이다. 이 같은 현상은 계속되어 무한 개의 도미노가 모두 쓰러질 것이다.

[논제]

어느 부부가 사람들을 집으로 초대하여 파티를 열었다. 초대한 사람들이 도착하고 나서 집 주인은 파티에 참석한 모든 사람들에게 서로 한 번씩만 악수하기를 제안하였다.

1) (10점) 이때, 파티가 열린 집에서 이루어진 악수의 총 횟수를 파티에 참석한 사람들의 수(n)를 이용하여 일반화하시오. 일반식을 구하는 과정은 n=2일 때, n=3일 때, ..., n=k일 때의 순서로 설명하시오.

2) (20점) 위의 1)에서 일반화한 식을 [제시문]에 제시된 방법을 이용하여, 모든 참석한 사람들의 수(n)에 대하여 성립함을 증명하시오.