2010학년도 고려대학교 수시 논술 (자연계)                                             2009년 11월 21일

논 술 (자연계)

(가)

그림 1과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2`} +1`]위에 두 점 [eqn: P _{1} `(a _{1} ,``a _{1} ^{2`} `+1)]과 [eqn: P _{2} ``(a _{2} `,``a _{`2} ^{2} `+1)]가 있다. (단 [eqn: a _{1`} ``<0<``a _{2}] 이고 [eqn: a _{1} `+`a _{2} ` != 0] 이다.) 점 [eqn: P _{1}]에서의 접선과 점 [eqn: P _{2}]에서의 접선 그리고 곡선에 의해 둘러싸인 부분을 [eqn: S``]라 하자. 점 [eqn: P _{1}]에서의 접선과 [eqn: x]축과의 교점을 [eqn: Q _{1}], 점 [eqn: P _{1}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: R _{1}], 그리고 각 [eqn: ANGLE Q _{1`} `P _{1} `R _{1}]의 이등분선이 [eqn: x]축과 만나는 교점을 [eqn: T _{1}]이라 하자.

또한 두 점 [eqn: P _{1}]과 [eqn: P _{2`}]로부터 시작해서 곡선 위의 점 [eqn: P _{n+2} `][eqn: (n GEQ `1)]를 그 점에서의 접선이 직선 [eqn: P _{n} `P _{n+1}]과 평행이 되도록 계속 반복해서 택하여 나간다고 하자. 그림 2는 이렇게 얻어지는 세 점 [eqn: P _{n`} ,``P _{n+1} `,``P _{n+2} `]를 표시한 것이다. 이 세 점으로 만들어진 삼각형 [eqn: TRIANGLE `P _{n} `P _{n+1} `P _{n+2} `]의 넓이를 [eqn: A _{n}]이라 하고 선분 [eqn: bar{P _{n} `P _{n+1}}]과 선분 [eqn: bar{P _{n+1} `P _{n+2}}]가 이루는 각을 [eqn: theta _{n}]이라 하자.

그림 1

그림 2

뒷장에 계속 ☞                                           - / -

논제 1.

(a) 그림 1의 [eqn: S``]의 넓이를 [eqn: a _{2} -a _{1} `]의 식으로 나타내시오.

(b) 벡터를 활용하여 [eqn: T _{1} `]의 [eqn: x`]좌표를 구하시오.

(c) 삼각형 [eqn: TRIANGLE `P _{n} `P _{n+1} `P _{n+2} `]의 넓이 [eqn: A _{n}]을 [eqn: a _{2} -a _{1} `]의 식으로 나타내시오.

(d) 점 [eqn: P _{1} `,`P _{2`} ,` CDOTS ,`P _{n} `,` CDOTS `]들이 수렴하는 점을 [eqn: P(a,`a ^{2} +1)`]라 하자. 이때 극한값 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT . ```` LEFT | {tan` theta _{n}} over {a _{n+1} -a _{n}} RIGHT . RIGHT |}]을 [eqn: a`]의 식으로
나타내시오.

2010학년도 고려대학교 수시 논술 (자연계)                                             2009년 11월 21일

(나)

탄소 원자 간의 결합이 모두 단일결합으로 구성된 탄화수소를 포화 탄화수소라 한다. 사슬모양 포화 탄화수소인 알칸의 일반식은 CnH2n+2이다 (n 은 탄소 원자의 수). 탄소 원자 간의 결합 중 이중결합과 삼중결합을 가지고 있는 불포화 탄화수소를 각각 알켄과 알킨이라 한다. 이중결합 하나를 가지고 있는 알켄(일반식 CnH2n)은 이중결합 주변 원자들의 공간상에서의 배치에 따라 시스형과 트랜스형의 기하 이성질체로 존재할 수 있다. 아래의 화합물 A와 B는 시스형 및 트랜스형 기하 이성질체의 예이다.

A(시스형)            B(트랜스형)

(다)

물체를 거울에 비추었을 때 거울 안에 맺히는 상을 그 물체의 거울상이라 한다. 물체와 그 거울상이 동일한 모양을 가지는 경우도 있지만, 그렇지 않은 경우도 있다. 예를 들면 왼손은 어떠한 회전을 하여도 거울상인 오른손의 모양과 같아질 수 없는 물체이다 (아래 그림 참조). 네 개의 서로 다른 원자 또는 원자단이 결합된 탄소를 비대칭 탄소라 하며, 비대칭 탄소를 가지는 화합물은 거울상 화합물과 서로 겹쳐지지 않는 경우가 생기게 된다. 이렇듯 자신의 거울상과 서로 다른 구조를 가지는 화합물을 거울상 이성질체라 한다. 아래의 화합물 C와 D는 이러한 거울상 이성질체의 예이며, 화합물의 중심에 위치한 탄소가 비대칭 탄소에 해당한다.

C                D

(라)

생명현상에 중요한 역할을 하는 DNA, 효소, 호르몬과 같은 생체물질의 대부분은 비대칭 탄소를 가지는 화합물로 구성되어 있다. 흥미롭게도 이러한 화합물들이 생체 내에서 만들어질 때 특정한 한쪽 거울상 이성질체만 만들어지며, 반대쪽 이성질체는 만들어지지 않는다. 한편, 인공적으로 합성된 화합물 중에도 비대칭 탄소를 가지고 있는 경우가 많이 있다. 이러한 합성 화합물을 의약품으로 사용할 경우 한쪽 거울상 이성질체는 원하는 약효를 나타내지만 반대쪽은 효과가 없거나 부작용을 나타내기도 한다. 이러한 이유로 제약회사에서 새로운 의약품을 개발할 때는 약효가 있는 한쪽 거울상 이성질체만을 선택적으로 합성하거나 양쪽 이성질체의 혼합물로부터 한쪽 이성질체만을 분리하기 위해 노력하고 있다.

논제 2.

(a) 제시문 (나)의 알켄 화합물(C4H8) A와 B를 각각 충분한 양의 산소와 혼합하여 동일한 조건에서 연소시켰 을 때, 두 연소반응의 반응열을 비교하고 이에 대하여 설명하시오. 같은 조건에서 제시문 (다)의 알칸 화합물(C7H16) C와 D의 연소반응의 반응열을 비교하고 이에 대하여 설명하시오.

(b) A와 B의 혼합물을 성분별로 분리하는 방법을 제안하고 그 원리에 대하여 설명하시오.

(c) 제시문 (라)에 근거하여 거울상 이성질체의 혼합물을 성분별로 분리하는 방법을 제안하고 그 원리에 대하여 설명하시오.

(마)

신체를 구성하고 있는 세포들은 조화롭게 작용하며 살아가기 위해 서로 많은 정보를 교환한다. 이를 위해 세포는 전기 신호, 화학 신호 등을 통해 멀리 떨어진 세포에도 정보를 전달한다. 신체의 내분비세포가 분비하는 호르몬은 세포간의 정보 교환을 위한 주요 신호 물질이며, 혈액을 통해 신체의 여러 기관으로 이동하여 표적세포의 수용체와 결합함으로써 신호를 전달한다.

(바)

과학자들은 돌연변이체를 만들고 그 돌연변이체의 표현형을 분석함으로써 유전자의 기능을 밝힌다. 예를 들어 유전자 C와 E에 돌연변이가 일어난 생쥐는 체중이 증가하는 것이 관찰되었다. 이로부터 유전자 C와 E는 비만을 조절할 수 있는 유전자라는 것을 알 수 있다. 유전자 C와 E의 상호 관련성을 규명하기 위해 과학자들이 외과적 수술을 통해 두 생쥐의 혈관을 연결하고 충분한 기간이 지난 뒤 체중의 변화를 관찰하였다. 그 결과는 아래의 그림 및 표와 같다.

그림 3 외과적 수술로 두 생쥐의 혈관을 연결하고 키운 결과

표 1 실험한 내용과 관찰한 결과

	실험한 내용	관찰한 결과
갑	유전자 C에 돌연변이가 일어난 생쥐와 야생형 생쥐의 혈관을 연결함	유전자 C에 돌연변이가 일어난 생쥐	체중 감소
		야생형 생쥐	체중 변화 없음
을	유전자 E에 돌연변이가 일어난 생쥐와 야생형 생쥐의 혈관을 연결함	유전자 E에 돌연변이가 일어난 생쥐	체중 변화 없음
		야생형 생쥐	체중 감소
병	유전자 C에 돌연변이가 일어난 생쥐와 유전자 E에 돌연변이가 일어난 생쥐의 혈관을 연결함	유전자 C에 돌연변이가 일어난 생쥐	체중 감소
		유전자 E에 돌연변이가 일어난 생쥐	체중 변화 없음

과학자들은 후속 연구를 통해 유전자 C와 E의 상호작용에 의해 생성된 유전자 A는 유전자 C에 의해 만들어지는 단백질의 생성을 조절한다는 것을 밝혀냈다. 아울러 유전자 A, C, E의 돌연변이는 모두 열성이며, 우열관계는 멘델의 우열의 법칙을 따른다는 것도 밝혀냈다.

(사)

자동차의 파워 스티어링(power steering) 시스템은 조절 작용의 한 예이다. 운전자는 운전대를 돌림으로써 바퀴의 방향을 조절한다. 이 조절을 쉽게 할 수 있도록 개발된 장치중의 하나가 파워 스티어링 시스템이다. 파워 스티어링 시스템은 엔진으로 유압 펌프를 작동하여 유압을 축적해놓고, 운전자가 운전대를 돌렸을 때 유압 밸브가 열리면서 보조 힘이 발생하도록 만들어져 있다. 따라서 파워 스티어링 시스템이 장착된 자동차는 그렇지 않은 자동차에 비해서 작은 힘으로 운전대를 돌리는 것이 가능하다.

논제 3.

(a) 제시문 (마)와 (바)에 기반하여 유전자 C와 E는 각각 어떤 기능을 하는 단백질을 생성하는지 추론하고, 이로부터 실험 (을)과 (병)의 각 생쥐에서 왜 그런 결과가 나왔는지 설명하시오.

(b) 어떤 과학자는 제시문 (사)에 나온 운전대와 바퀴간의 조절 작용을 제시문 (바)에 나온 유전자간의 조절 작용으로 설명할 수 있다고 주장했다. 이 과학자의 주장을 제시문 (바)와 (사)에 나오는 조절 작용의 차이에 근거하여 반박해 보시오.

(c) 호르몬은 화학적 구성 성분에 따라 글루카곤이 포함된 종류와 코르티코이드가 포함된 종류로 크게 나뉜다. 호르몬의 작용 원리를 연구하기 위해 미세 주사기를 이용하여 세포의 내부로 이 두 종류의 호르몬을 각각 주입하는 실험을 했다고 가정하자. 이때 주입된 호르몬이 세포 내에서 정상적으로 기능할 수 있을지 판단하고 그 이유를 논술하시오.

(아)

목적지에 가장 빨리 가려면 최단거리인 직선을 따라 이동하는 것이 상식이다. 하지만 어떤 경우에는 다른 경로로 이동하는 것이 더 빠르다. 예를 들어 출발점과 도착점이 정해진 경우, 내려오는데 시간이 가장 짧게 걸리는 미끄럼틀의 모양은 곡선이다. 다음에 소개된 단순한 모형을 통해 이와 같이 신기한 현상이 왜 일어나는지 알아보자. 먼저, 곧은 철사에 구슬을 꿰어 마찰이 없이 오갈 수 있도록 하자.

그림 4

단계 1   정지 상태의 구슬이 중력가속도 [eqn: g]로 높이 [eqn: H``]에서 떨어져 지면에 닿을 때의 속력은 [eqn: V _{0} = sqrt {2gH}], 걸린 시간은 [eqn: T _{0} `= sqrt {{2H} over {g}}]이다. 그림 4와 같이 초기 속도 [eqn: v]로 출발하는 경우 걸린 시간 [eqn: T_1`]을 [eqn: T _{0} `]의 잣대로 표현하면 [eqn: T _{1} ``=`T _{0`} `f _{1} ( alpha )`]의 형태로 쓸 수 있다. [eqn: f _{1} ( alpha )`]는 초기 속도 [eqn: v]를 [eqn: V _{0} `]의 잣대로 표현한 변수 [eqn: alpha =` {v} over {V _{0} `}]만의 함수이다.

그림 5

단계 2  단계 1의 결론을 그림 5와 같이 수직선과 이루는 각이 [eqn: theta]인 철사를 따라 미끄러지는 경우로 확장해 보자. 출발점의 높이 [eqn: H``]와 초기 속도 [eqn: v]의 크기가 단계 1의 경우와 같을 때 바닥에 닿는데 걸리는 시간 [eqn: T _{2}]를 [eqn: T _{0} `]의 잣대로 표현하면 [eqn: T _{2} ``=T _{0``} f _{1} ( alpha )`f _{2} ( theta )]의 형태가 된다. 이때 [eqn: f _{2} ( theta )`]는 각도 [eqn: theta]만의 함수이다. 따라서 초기 속도 [eqn: v`]와 기울어진 각도 [eqn: theta]의 효과는 서로 분리되어 곱의 형태로 나타난다.

그림 6

응용  단계 2의 결과를 단순한 미끄럼틀에 응용해보자. 그림 6과 같이 지표면에 수직인 평면상에 너비 [eqn: 2 LITER], 높이 [eqn: 2H`]의 직사각형 모양의 틀을 놓고 두 모서리 [eqn: A`]와 [eqn: C`]를 출발점과 도착점으로 잡는다. 대각선 [eqn: AC``]의 중점 [eqn: M``]으로부터 수평선을 따라 오른쪽으로 [eqn: x`]만큼 떨어진 점 [eqn: B`]를 지나도록 철사를 꺾어 [eqn: A`]와 [eqn: C`]를 연결한다. 꺾이는 점에서 구슬은 에너지를 잃지 않는다고 가정하자. 단계 2의 결과를 적용하여 구슬이 정지 상태에서 출발하여 바닥에 도착하는데 걸리는 시간 [eqn: T _{AC} ``]를 [eqn: T _{0} `]의 잣대로 표현하면 [eqn: T _{AC} ```=T` _{0} ``u(x)]의 형태가 된다.

결론  걸린 시간 [eqn: T _{AC} ``]가 가장 짧아질 때 점 [eqn: B`]는 최단거리가 되는 대각선 [eqn: AC``]상에 존재하지 않는다.

(자)

빛의 속력이 [eqn: v _{1}]과 [eqn: v _{2}]로 서로 다른 매질의 경계면에 입사각 [eqn: theta _{1}]으로 입사한 빛은 굴절각 [eqn: theta _{2}]로 굴절된다. 이때 속력과 각은 다음과 같이 스넬의 법칙을 따른다.

[eqn: LEFT . {sin` theta _{1}} over {sin` theta _{2}} ` RIGHT . = {v _{1}} over {v _{2}}]

2010학년도 고려대학교 수시 논술 (자연계)                                             2009년 11월 21일

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논제 4.

(a) 제시문 (아)의 단계 1과 단계 2가 타당함을 보이시오.

(b) 단계 1과 단계 2의 결과를 사용하여 제시문 (아)의 응용 부분에서 제시한 주장이 타당함을 보이시오.

(c) 시간 [eqn: T _{AC} ``]가 최소가 될 때 [eqn: theta _{1} `]과 [eqn: theta _{2} `]의 관계는 제시문 (아)의 함수 [eqn: u(x)]로부터 알아낼 수 있다. 이를 바탕으로 두 각의 대소를 판별하시오. 필요한 경우, 양의 값을 갖는 임의의 다항함수 [eqn: F``(x)`]에 대해 [eqn: LEFT . {d} over {dx} sqrt {F``(x)} ` RIGHT . = {F`` prime (x)} over {2 sqrt {F``(x)}}]임을 활용할 수 있음.

(d) 제시문 (아)의 접근방법을 적용하여 제시문 (자)에 기술한 스넬의 법칙을 시간의 관점에서 논술하시오.

수고하셨습니다.                                           - / -